Решатель Римана
| Вычислительная физика |
|---|
 |
Решатель Римана — это численный метод, используемый для решения задачи Римана . Они широко используются в вычислительной гидродинамике и вычислительной магнитогидродинамике .
Определение [ править ]
Вообще говоря, решатели Римана — это конкретные методы вычисления численного потока через разрыв в задаче Римана. [1] Они составляют важную часть схем высокого разрешения ; обычно правое и левое состояния задачи Римана вычисляются с использованием некоторой формы нелинейной реконструкции, такой как ограничитель потока или метод WENO , а затем используются в качестве входных данных для решателя Римана. [2]
Точные решатели [ править ]
Сергею Годунову приписывают создание первого точного решателя Римана для уравнений Эйлера: [3] расширив предыдущий метод CIR (Куранта-Исааксона-Риса) на нелинейные системы гиперболических законов сохранения. Современные решатели способны моделировать релятивистские эффекты и магнитные поля.
Более поздние исследования показывают, что существует точное рядное решение проблемы Римана, которое в некоторых случаях может сходиться достаточно быстро, чтобы избежать итерационных методов, требуемых в схеме Годунова. [4]
Приближенные решатели [ править ]
Поскольку итеративные решения слишком дороги, особенно в магнитной гидродинамике, необходимо сделать некоторые приближения. Некоторые популярные решатели:
Решатель икры [ править ]
Филип Л. Роу использовал линеаризацию якобиана, которую затем точно решил. [5]
Решатель HLLE [ править ]
Решатель HLLE (разработанный Ами Хартен , Питером Лаксом , Брэмом ван Лиром и Эйнфельдтом) представляет собой приближенное решение задачи Римана, которое основано только на интегральной форме законов сохранения и наибольшей и наименьшей скоростях сигнала на границе раздела. [6] [7] Стабильность и надежность решателя HLLE тесно связаны со скоростями сигналов и одним центральным средним состоянием, как было предложено Эйнфельдтом в оригинальной статье.
Решатель HLLC [ править ]
Решатель HLLC (Harten-Lax-van Leer-Contact) был представлен компанией Toro. [8] Он восстанавливает недостающую волну разрежения, используя такой метод оценки, как линеаризация. Существуют более продвинутые методы, такие как использование средней скорости Роу для определения скорости средней волны. Эти схемы достаточно надежны и эффективны, но несколько более диффузны. [9]
гибридные решатели Римана Поворотно -
Эти решатели были представлены Хироаки Нисикавой и Китамурой. [10] для решения проблем с карбункулами решателя Roe и чрезмерное распространение решателя HLLE одновременно. Они разработали надежные и точные решатели Римана, объединив решатель Роу и решатели HLLE/Русанова: они показывают, что при применении в двух ортогональных направлениях два решателя Римана могут быть объединены в один решатель типа Роу (решатель Рое с модифицированными скоростями волн). ). В частности, решатель, полученный на основе решателей Roe и HLLE, называемый решателем Rotated-RHLL, чрезвычайно надежен (без карбункулов для всех возможных тестовых случаев как на структурированных, так и на неструктурированных сетках) и точен (такой же точный, как решатель Roe для граничных расчет слоя).
Другие решатели [ править ]
Доступно множество других решателей, включая дополнительные варианты схемы HLL. [11] и решатели, основанные на расщеплении потока посредством характеристического разложения. [12]
Примечания [ править ]
- ^ ЛеВек, Рэндалл Дж., 1955- (1992). Численные методы исследования законов сохранения (2-е изд.). Базель: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2723-5 . ОСЛК 25281500 .
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка ) - ^ Торо, EF (2006). Решатели Римана и численные методы гидродинамики: практическое введение (3-е [ред.] Изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN 978-3-540-49834-6 . OCLC 405546150 .
- ^ Годунов С.К. (1959), "Разностная схема численного расчета разрывного решения гиперболического уравнения", Матем. Сборник , 47 : 271–306.
- ^ Ву, ГГ; Чунг, К.Ф. (2008), «Явное решение точной задачи Римана и его применение в нелинейных уравнениях мелкой воды», Int. Дж. Нумер. Methods Fluids , 57 (11): 1649–1668, Bibcode : 2008IJNMF..57.1649W , doi : 10.1002/fld.1696 , S2CID 122832179
- ^ Роу, PL (1981), "Приблизительные решатели Римана, векторы параметров и разностные схемы", J. Comput. Физ. , 43 (2): 357–372, Бибкод : 1981JCoPh..43..357R , doi : 10.1016/0021-9991(81)90128-5
- ^ Хартен, Амирам; Лакс, Питер Д.; Ван Леер, Брэм (1983). «О восходящем дифференцировании и схемах типа Годунова для гиперболических законов сохранения». Обзор СИАМ . 25 (1): 35–61. дои : 10.1137/1025002 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2030019 .
- ^ Эйнфельдт, Б. (1988), «О методах газовой динамики типа Годунова», SIAM J. Numer. Анальный. , 25 (2): 294–318, Бибкод : 1988SJNA...25..294E , doi : 10.1137/0725021
- ^ Торо, EF; Спрус, М.; Спирс, В. (1994), «Восстановление контактной поверхности в решателе HLL-Римана», Shock Waves , 4 (1): 25–34, Бибкод : 1994ShWav...4...25T , doi : 10.1007/ БФ01414629 , S2CID 119972653
- ^ Квирк, Дж. Дж. (1994), «Вклад в великие дебаты о решателе Римана», Int. Дж. Нумер. Methods Fluids , 18 (6): 555–574, Bibcode : 1994IJNMF..18..555Q , doi : 10.1002/fld.1650180603 , hdl : 2060/19930015894 .
- ^ Нисикава, Х.; Китамура, К. (2008), «Очень простые, без карбункулов, вращающиеся гибридные решатели Римана с разрешением пограничного слоя», J. Comput. Физ. , 227 (4): 2560–2581, Bibcode : 2008JCoPh.227.2560N , doi : 10.1016/j.jcp.2007.11.003
- ^ Миёси, Такахиро; Кусано, Канья (сентябрь 2005 г.). «Приближенный решатель Римана HLL с несколькими состояниями для идеальной магнитогидродинамики». Журнал вычислительной физики . 208 (1): 315–344. Бибкод : 2005JCoPh.208..315M . дои : 10.1016/j.jcp.2005.02.017 .
- ^ Донат, Р.; Шрифт, Дж.А.; Ибаньес, Х.Ма; Маркина, А. (октябрь 1998 г.). «Алгоритм разделения потока, примененный к релятивистским потокам». Журнал вычислительной физики . 146 (1): 58–81. Бибкод : 1998JCoPh.146...58D . дои : 10.1006/jcph.1998.5955 .
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Торо, Элеутерио Ф. (1999), Решатели Римана и численные методы гидродинамики , Берлин: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-65966-2
