Частица в ячейке

В физике плазмы метод частиц в ячейках ( PIC ) относится к методу, используемому для решения определенного класса уравнений в частных производных . В этом методе отдельные частицы (или жидкие элементы) в лагранжевой системе отсчета отслеживаются в непрерывном фазовом пространстве , тогда как моменты распределения, такие как плотности и токи, вычисляются одновременно в эйлеровой (стационарной) сетки точках .

Методы PIC использовались уже в 1955 году. первые компиляторы Фортрана еще до того, как появились . Метод приобрел популярность для моделирования плазмы в конце 1950-х и начале 1960-х годов благодаря Бунеману , Доусону , Хокни, Бердсоллу, Морсу и другим. В приложениях физики плазмы этот метод сводится к отслеживанию траекторий заряженных частиц в самосогласованных электромагнитных (или электростатических) полях, рассчитанных на фиксированной сетке.

Технические аспекты

Для многих типов задач классический метод PIC, изобретенный Бунеманом, Доусоном, Хокни, Бердсоллом, Морсом и другими, относительно интуитивен и прост в реализации. Вероятно, этим во многом объясняется его успех, особенно при моделировании плазмы, для которого метод обычно включает в себя следующие процедуры:

• Интегрирование уравнений движения.
• Интерполяция условий заряда и источника тока в сетку поля.
• Расчет полей в точках сетки.
• Интерполяция полей от сетки к местоположениям частиц.

Модели, учитывающие взаимодействие частиц только через средние поля, называются PM (particle-mesh). Те, которые включают в себя прямые бинарные взаимодействия, – это ПП (частица-частица). Модели с обоими типами взаимодействия называются ПП-ПМ или П. ³ М. ​

С самого начала было признано, что метод PIC подвержен ошибкам из-за так называемого шума дискретных частиц . Эта ошибка носит статистическую природу, и сегодня она остается менее изученной, чем традиционные методы с фиксированной сеткой, такие как эйлеровы или полулагранжевы схемы.

Современные геометрические алгоритмы PIC основаны на совершенно другой теоретической базе. Эти алгоритмы используют инструменты дискретного многообразия, интерполяционных дифференциальных форм и канонических или неканонических симплектических интеграторов, чтобы гарантировать калибровочный инвариант и сохранение заряда, энергии-импульса и, что более важно, бесконечномерной симплектической структуры системы частица-поле. Эти желаемые особенности объясняются тем фактом, что геометрические алгоритмы PIC построены на более фундаментальной теоретической основе и напрямую связаны с идеальной формой, то есть с вариационным принципом физики.

техники моделирования

В рамках сообщества исследователей плазмы исследуются системы разных видов (электроны, ионы, нейтралы, молекулы, частицы пыли и т. д.). Таким образом, набор уравнений, связанных с кодами PIC, представляет собой силу Лоренца как уравнение движения, решаемое в так называемом толкателе или двигателе частиц кода, и уравнения Максвелла , определяющие электрические и магнитные поля, рассчитанные в решателе (поля). .

Суперчастицы

Реальные изучаемые системы зачастую чрезвычайно велики по числу содержащихся в них частиц. Чтобы сделать моделирование эффективным или вообще возможным, так называемые суперчастицы используются . Суперчастица (или макрочастица ) — это вычислительная частица, которая представляет собой множество реальных частиц; это могут быть миллионы электронов или ионов в случае моделирования плазмы или, например, вихревой элемент в моделировании жидкости. Разрешено масштабировать количество частиц, поскольку ускорение силы Лоренца зависит только от отношения заряда к массе, поэтому суперчастица будет следовать той же траектории, что и реальная частица.

Число реальных частиц, соответствующих суперчастице, должно быть выбрано таким, чтобы можно было собрать достаточную статистику о движении частицы. Если существует значительная разница между плотностью различных частиц в системе (например, между ионами и нейтральными веществами), для них можно использовать отдельные отношения реальных частиц к суперчастицам.

Движитель частиц

Даже в случае суперчастиц число моделируемых частиц обычно очень велико (> 10 ⁵ ), и зачастую перемещение частиц является самой трудоемкой частью PIC, поскольку его приходится делать для каждой частицы отдельно. Таким образом, от толкателя требуется высокая точность и скорость и много усилий затрачивается на оптимизацию различных схем.

Схемы, используемые для перемещения частиц, можно разделить на две категории: неявные и явные решатели. В то время как неявные решатели (например, неявная схема Эйлера) вычисляют скорость частицы на основе уже обновленных полей, явные решатели используют только старую силу из предыдущего временного шага и, следовательно, проще и быстрее, но требуют меньшего временного шага. При моделировании PIC метод чехарды , явный метод второго порядка. используется Также используется алгоритм Бориса , который исключает магнитное поле в уравнении Ньютона-Лоренца.

Для плазменных приложений метод чехарды принимает следующую форму:

${\frac {\mathbf {x} _{k+1}-\mathbf {x} _{k}}{\Delta t}}=\mathbf {v} _{k+1/2},$

${\frac {\mathbf {v} _{k+1/2}-\mathbf {v} _{k-1/2}}{\Delta t}}={\frac {q}{m}}\left(\mathbf {E} _{k}+{\frac {\mathbf {v} _{k+1/2}+\mathbf {v} _{k-1/2}}{2}}\times \mathbf {B} _{k}\right),$

где индекс $k$ относится к «старым» количествам с предыдущего временного шага, $k+1$ к обновленным количествам со следующего временного шага (т. е. $t_{k+1}=t_{k}+\Delta t$), а скорости рассчитываются между обычными временными шагами $t_{k}$.

Уравнения схемы Бориса, которые заменяют приведенные выше уравнения:

$\mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {x} _{k}+{\Delta t}\mathbf {v} _{k+1/2},$

$\mathbf {v} _{k+1/2}=\mathbf {u} '+q'\mathbf {E} _{k},$

с

$\mathbf {u} '=\mathbf {u} +(\mathbf {u} +(\mathbf {u} \times \mathbf {h} ))\times \mathbf {s} ,$

$\mathbf {u} =\mathbf {v} _{k-1/2}+q'\mathbf {E} _{k},$

$\mathbf {h} =q'\mathbf {B} _{k},$

$\mathbf {s} =2\mathbf {h} /(1+h^{2})$

и $q'=\Delta t\times (q/2m)$.

Благодаря своей превосходной долгосрочной точности алгоритм Бориса является фактическим стандартом для продвижения заряженной частицы. Было осознано, что превосходная долговременная точность нерелятивистского алгоритма Бориса обусловлена ​​тем фактом, что он сохраняет объем фазового пространства, хотя и не является симплектическим. Глобальная граница энергетической ошибки, обычно связанная с симплектическими алгоритмами, по-прежнему сохраняется для алгоритма Бориса, что делает его эффективным алгоритмом для многомасштабной динамики плазмы. Также было показано что можно улучшить релятивистский подход Бориса, чтобы он сохранял объем и имел решение с постоянной скоростью в скрещенных полях E и B.

Решатель полей

Наиболее часто используемые методы решения уравнений Максвелла (или, в более общем плане, уравнений в частных производных (УЧП)) относятся к одной из следующих трех категорий:

• Методы конечных разностей (FDM)
• Методы конечных элементов (МКЭ)
• Спектральные методы

При использовании FDM непрерывная область заменяется дискретной сеткой точек, на которой электрические и магнитные рассчитываются поля. Затем производные аппроксимируются разностями между значениями соседних точек сетки, и, таким образом, УЧП превращаются в алгебраические уравнения.

Используя FEM, непрерывная область делится на дискретную сетку элементов. УЧП рассматриваются как задача собственных значений , и первоначально пробное решение рассчитывается с использованием базисных функций , локализованных в каждом элементе. Окончательное решение затем получается путем оптимизации до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Также спектральные методы, такие как быстрое преобразование Фурье (БПФ), преобразуют УЧП в задачу собственных значений, но на этот раз базисные функции имеют высокий порядок и определены глобально по всей области. Сама область при этом не дискретизируется, а остается непрерывной. Опять же, пробное решение находится путем вставки базисных функций в уравнение собственных значений, а затем оптимизируется для определения наилучших значений начальных параметров испытания.

Взвешивание частиц и полей

Название «частица в ячейке» происходит от того, что макровеличины плазмы ( числовая плотность , плотность тока и т. д.) присваиваются моделируемым частицам (т. е. вес частиц ). Частицы могут располагаться где угодно в непрерывной области, но макровеличины, как и поля, рассчитываются только по узлам сетки. Для получения макровеличин предполагается, что частицы имеют заданную «форму», определяемую функцией формы

$S(\mathbf {x} -\mathbf {X} ),$

где $\mathbf {x}$ - координата частицы и $\mathbf {X}$пункт наблюдения. Возможно, самым простым и наиболее часто используемым выбором функции формы является так называемая схема «облако в ячейке» (CIC), которая представляет собой схему взвешивания первого порядка (линейную). Какой бы ни была схема, функция формы должна удовлетворять следующим условиям: пространственная изотропия, сохранение заряда и повышение точности (сходимости) для членов более высокого порядка.

Поля, полученные с помощью решателя поля, определяются только в точках сетки и не могут использоваться непосредственно в двигателе частиц для расчета силы, действующей на частицы, а должны быть интерполированы посредством взвешивания поля :

$\mathbf {E} (\mathbf {x} )=\sum _{i}\mathbf {E} _{i}S(\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} ),$

где индекс $i$отмечает точку сетки. Чтобы гарантировать, что силы, действующие на частицы, получены самосогласованно, способ расчета макровеличин по положениям частиц в узлах сетки и интерполяции полей от точек сетки к положениям частиц также должен быть последовательным, поскольку они оба появляются в теории Максвелла. уравнения . Прежде всего, схема интерполяции поля должна сохранять импульс . обеспечив соответствующую пространственную симметрию (т. е. отсутствие силы собственного воздействия и выполнение закона действия-противодействия ) решателя поля. Этого можно достичь, выбрав одну и ту же схему взвешивания для частиц и полей и одновременно

Столкновения

Поскольку решатель поля должен быть свободен от собственных сил, внутри ячейки поле, создаваемое частицей, должно уменьшаться с уменьшением расстояния от частицы, и, следовательно, силы между частицами внутри ячеек недооцениваются. Это можно уравновесить с помощью кулоновских столкновений между заряженными частицами. Моделирование взаимодействия для каждой пары большой системы было бы слишком затратным в вычислительном отношении, поэтому несколько методов Монте-Карло вместо этого было разработано . Широко используемым методом является модель бинарных столкновений . в котором частицы группируются по их ячейке, затем эти частицы случайным образом соединяются в пары и, наконец, пары сталкиваются.

В реальной плазме могут играть роль многие другие реакции, от упругих столкновений, таких как столкновения между заряженными и нейтральными частицами, до неупругих столкновений, таких как электронно-нейтральное ионизационное столкновение, до химических реакций; каждый из них требует отдельного лечения. Большинство моделей столкновений, рассматривающих заряженно-нейтральные столкновения, используют либо прямую схему Монте-Карло , в которой все частицы несут информацию о вероятности их столкновения, либо нулевых столкновений , схему который не анализирует все частицы, а вместо этого использует максимальную вероятность столкновения для каждого заряженного вида.

Условия точности и стабильности

Как и в каждом методе моделирования, также и в PIC, шаг по времени и размер сетки должны быть правильно выбраны, чтобы интересующие явления масштаба времени и длины были должным образом решены в задаче. Кроме того, шаг по времени и размер сетки влияют на скорость и точность кода.

Для моделирования электростатической плазмы с использованием явной схемы интегрирования по времени (например, чехарда, которая наиболее часто используется), два важных условия, касающихся размера сетки: $\Delta x$ и шаг по времени $\Delta t$ необходимо выполнить для обеспечения устойчивости решения:

$\Delta x<3.4\lambda _{D},$

$\Delta t\leq 2\omega _{pe}^{-1},$

которое можно получить, рассматривая гармонические колебания одномерной незамагниченной плазмы. Последнее условие является строго обязательным, но практические соображения, связанные с сохранением энергии, предлагают использовать гораздо более строгое ограничение, при котором множитель 2 заменяется числом, меньшим на порядок. Использование $\Delta t\leq 0.1\omega _{pe}^{-1},$ является типичным. Неудивительно, что естественный масштаб времени в плазме определяется обратной плазменной частотой $\omega _{pe}^{-1}$ и масштаб длины по дебаевской длине $\lambda _{D}$.

Для явного моделирования электромагнитной плазмы шаг по времени также должен удовлетворять условию CFL :

$\Delta t<\Delta x/c,$

где $\Delta x\sim \lambda _{D}$, и $c$ это скорость света.

Приложения

В физике плазмы PIC-моделирование успешно используется для изучения лазерно-плазменных взаимодействий, ускорения электронов и нагрева ионов в авроральной ионосфере , магнитогидродинамики , магнитного пересоединения , а также градиента температуры ионов и других микронестабильностей в токамаках , а также вакуумных разрядов . и пылевая плазма .

Гибридные модели могут использовать метод PIC для кинетической обработки некоторых видов, в то время как другие виды (максвелловские ) моделируются с помощью жидкостной модели.

Моделирование PIC также применялось за пределами физики плазмы для решения задач механики твердого тела и жидкости .

ячейках

Вычислительное приложение	Веб-сайт	Лицензия	Доступность	Каноническая ссылка
ОСТРЫЙ		Собственный		два : 10.3847/1538-4357/aa6d13
АЛаДин		GPLv3+	Открыть репо:	дои : 10.5281/zenodo.49553
ЭПОХА		лицензия GPLv3	Открыть репо:	дои : 10.1088/0741-3335/57/11/113001
ФБПИК		3-пункт-BSD-LBNL	Открыть репо:	дои : 10.1016/j.cpc.2016.02.007
ЛСП		Собственный	Доступно в АТК	два : 10.1016/S0168-9002(01)00024-9
МАГИЯ		Собственный	Доступно в АТК	два : 10.1016/0010-4655(95)00010-D
ОСИРИС		ГНУ АГПЛ	Открытое репо	дои : 10.1007/3-540-47789-6_36
ОСТРЫЙ		GPLv3+	Открыть репо:	дои : 10.5281/zenodo.48703
ПИКЛы		GPLv3+	Открыть репо:	два : 10.1016/j.crme.2014.07.005 дои : 10.1063/1.5097638
ПИКонГПУ		GPLv3+	Открыть репо:	дои : 10.1145/2503210.2504564
СМАЙЛЕЙ		CeCILL-B	Открыть репо:	дои : 10.1016/j.cpc.2017.09.024
iPIC3D		Лицензия Апач 2.0	Открыть репо:	дои : 10.1016/j.matcom.2009.08.038
Виртуальная лаборатория лазерной плазмы (VLPL)		Собственный	Неизвестный	дои : 10.1017/S0022377899007515
Тристан v2		3-пункт-BSD	Открытый источник, но также имеет частную версию с QED/радиационным излучением модули	дои : 10.5281/zenodo.7566725
ВизГрейн		Собственный	Коммерчески доступен от Esgee Technologies Inc.
ВПИК		3-пункт-BSD	Открыть репо:	дои : 10.1063/1.2840133
ВСим (Ворпал)		Собственный	Доступно в корпорации Tech-X.	дои : 10.1016/j.jcp.2003.11.004
Деформация		3-пункт-BSD-LBNL	Открыть репо:	дои : 10.1063/1.860024
WarpX		3-пункт-BSD-LBNL	Открыть репо:	два : 10.1016/j.nima.2018.01.035
ЗПИК		AGPLv3+	Открыть репо:
ультраПИКА		Собственный	Коммерчески доступен от Plasma Taiwan Innovation Corporation.

См. также

• Плазменное моделирование
• Многофазный метод частиц в ячейках

Библиография

• Бердсолл, Чарльз К.; А. Брюс Лэнгдон (1985). Физика плазмы с помощью компьютерного моделирования . МакГроу-Хилл. ISBN  0-07-005371-5 .

• Хокни, Роджер В.; Джеймс В. Иствуд (1988). Компьютерное моделирование с использованием частиц . ЦРК Пресс. ISBN  0-85274-392-0 .

Внешние ссылки

• Набор инструментов для моделирования пучка, плазмы и ускорителей (BLAST)
• Центр программного обеспечения для моделирования частиц в ячейках и кинетического моделирования (PICKSC), Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе.
• 3D-код Particle-In-Cell с открытым исходным кодом для взаимодействия с плазмой космических аппаратов (требуется обязательная регистрация пользователя).
• Простой код частицы в ячейке в MATLAB
• Группа теории плазмы и моделирования (Беркли) Содержит ссылки на свободно доступное программное обеспечение.
• Введение в коды PIC (Техасский университет)
• open-pic - 3D гибридное моделирование динамики плазмы методом частиц в ячейках