Схема MUSCL

При изучении уравнений в частных производных схема MUSCL представляет собой метод конечных объемов , который может обеспечить высокоточные численные решения для данной системы даже в тех случаях, когда решения демонстрируют скачки, разрывы или большие градиенты. MUSCL означает « Монотонная схема законов сохранения, ориентированная вверх по течению» (ван Леер, 1979), и этот термин был введен в основополагающую статью Брэма ван Лира (ван Леер, 1979). В этой статье он построил первую TVD) высокого порядка ( схему уменьшения полной вариации , в которой получил пространственную точность второго порядка.

Идея состоит в том, чтобы заменить кусочно-постоянную аппроксимацию схемы Годунова восстановленными состояниями, полученными из усредненных по ячейке состояний, полученных на предыдущем временном шаге. Для каждой ячейки получаются восстановленные левое и правое состояния с ограниченным наклоном, которые используются для расчета потоков на границах ячейки (краях). Эти потоки, в свою очередь, могут быть использованы в качестве входных данных для решателя Римана , после чего решения усредняются и используются для продвижения решения во времени. В качестве альтернативы потоки могут использоваться в схемах без римановских решателей , которые по сути представляют собой схемы типа Русанова.

Линейная реконструкция

1D адвективное уравнение $u_{t}+u_{x}=0$ , со ступенчатой волной, распространяющейся вправо. Показывает аналитическое решение вместе с моделированием, основанным на схеме пространственной дискретизации против ветра первого порядка.

Мы рассмотрим основы схемы MUSCL, рассматривая следующую простую скалярную одномерную систему первого порядка, в которой предполагается, что волна распространяется в положительном направлении:

u_{t}+F_{x}\left(u\right)=0.\,

Где $u$ представляет переменную состояния и $F$ представляет собой переменную потока .

Базовая схема Годунова использует кусочно-постоянные аппроксимации для каждой ячейки и приводит к дискретизации вышеупомянутой задачи против ветра первого порядка с центрами ячеек, индексированными как $i$ . Полудискретная схема может быть определена следующим образом:

{\frac {\mathrm {d} u_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[F\left(u_{i}\right)-F\left(u_{i-1}\right)\right]=0.

Эта базовая схема не способна выдерживать потрясения или резкие разрывы, поскольку они имеют тенденцию размываться. Пример этого эффекта показан на диаграмме напротив, которая иллюстрирует одномерное уравнение адвекции со ступенчатой волной, распространяющейся вправо. Моделирование проводилось с сеткой из 200 ячеек и с использованием интегратора времени Рунге-Кутты 4-го порядка (RK4).

Чтобы обеспечить более высокое разрешение разрывов, схема Годунова может быть расширена за счет использования кусочно-линейных аппроксимаций каждой ячейки, что приводит к созданию центральной разностной схемы со вторым порядком точности в пространстве. Кусочно-линейные аппроксимации получаются из

u\left(x\right)=u_{i}+{\frac {\left(x-x_{i}\right)}{\left(x_{i+1}-x_{i}\right)}}\left(u_{i+1}-u_{i}\right)\qquad \forall x\in (x_{i},x_{i+1}].

Таким образом, оценивая потоки на краях ячейки, мы получаем следующую полудискретную схему

{\frac {\mathrm {d} u_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[F\left(u_{i+1/2}\right)-F\left(u_{i-1/2}\right)\right]=0,

где $u_{i+1/2}$ и $u_{i-1/2}$ являются кусочно-приближенными значениями краевых переменных ячейки т.е. ,

u_{i+1/2}=0.5\left(u_{i}+u_{i+1}\right),

u_{i-1/2}=0.5\left(u_{i-1}+u_{i}\right).

Хотя приведенная выше схема второго порядка обеспечивает большую точность для гладких решений, она не является схемой уменьшения общего отклонения (TVD) и вводит паразитные колебания в решение там, где присутствуют разрывы или скачки. Пример этого эффекта показан на диаграмме напротив, которая иллюстрирует одномерное уравнение адвективы. $\,u_{t}+u_{x}=0$ , со ступенчатой волной, распространяющейся вправо. Эту потерю точности следует ожидать из-за теоремы Годунова . Моделирование проводилось с сеткой из 200 ячеек и использованием RK4 для интегрирования по времени.

Пример линейной экстраполяции левого и правого состояний типа MUSCL.

Численные схемы на основе MUSCL расширяют идею использования линейной кусочной аппроксимации для каждой ячейки за счет использования с ограниченным наклоном экстраполированных состояний влево и вправо. В результате получается следующая схема дискретизации TVD с высоким разрешением:

{\frac {\mathrm {d} u_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[F\left(u_{i+1/2}^{*}\right)-F\left(u_{i-1/2}^{*}\right)\right]=0.

Что, альтернативно, можно записать в более сжатой форме:

{\frac {\mathrm {d} u_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[F_{i+1/2}^{*}-F_{i-1/2}^{*}\right]=0.

Числовые потоки $F_{i\pm 1/2}^{*}$ соответствуют нелинейной комбинации приближений первого и второго порядка функции непрерывного потока.

Символы $u_{i+1/2}^{*}$ и $u_{i-1/2}^{*}$ представляют функции, зависящие от схемы (ограниченных экстраполируемых переменных края ячейки) т.е. ,

u_{i+1/2}^{*}=u_{i+1/2}^{*}\left(u_{i+1/2}^{L},u_{i+1/2}^{R}\right),u_{i-1/2}^{*}=u_{i-1/2}^{*}\left(u_{i-1/2}^{L},u_{i-1/2}^{R}\right),

где, используя подветренные уклоны:

u_{i+1/2}^{L}=u_{i}+0.5\phi \left(r_{i}\right)\left(u_{i+1}-u_{i}\right),u_{i+1/2}^{R}=u_{i+1}-0.5\phi \left(r_{i+1}\right)\left(u_{i+2}-u_{i+1}\right),

u_{i-1/2}^{L}=u_{i-1}+0.5\phi \left(r_{i-1}\right)\left(u_{i}-u_{i-1}\right),u_{i-1/2}^{R}=u_{i}-0.5\phi \left(r_{i}\right)\left(u_{i+1}-u_{i}\right),

и

r_{i}={\frac {u_{i}-u_{i-1}}{u_{i+1}-u_{i}}}.

Функция $\phi \left(r_{i}\right)$ — это функция-ограничитель, которая ограничивает наклон кусочных аппроксимаций, чтобы гарантировать, что решение является TVD, тем самым избегая паразитных колебаний, которые в противном случае могли бы возникнуть вокруг разрывов или скачков — см. «Ограничитель потока» раздел . Ограничитель равен нулю, когда $r\leq 0$ и равен единице, когда $r=1$ . Таким образом, точность TVD-дискретизации снижается до первого порядка в локальных экстремумах, но стремится ко второму порядку на гладких участках области.

Алгоритм прост в реализации. Как только подходящая схема для $F_{i+1/2}^{*}$ Если выбрана схема Курганова и Тадмора (см. ниже), решение может быть продолжено с использованием стандартных методов численного интегрирования.

Kurganov and Tadmor central scheme

Предшественником Курганова и Тадмора (КТ) центральной схемы (Курганов и Тадмор, 2000) является Несяху и Тадмор шахматная центральная схема (NT) (Несяху и Тадмор, 1990). , не требующая решателя Римана Это схема второго порядка с высоким разрешением , которая использует реконструкцию MUSCL. Это полностью дискретный метод, который легко реализовать и который можно использовать для решения скалярных и векторных задач, и его можно рассматривать как поток Русанова (также называемый локальным потоком Лакса-Фридрихса), дополненный реконструкциями высокого порядка. Алгоритм основан на центральных различиях и имеет сравнимую производительность с решателями типа Римана, когда он используется для получения решений для систем, описывающих УЧП, которые демонстрируют явления с высоким градиентом.

Схема КТ расширяет схему NT и имеет меньшую числовую вязкость, чем исходная схема NT. Дополнительное преимущество состоит в том, что ее можно реализовать как полностью дискретную , так и полудискретную схему. Здесь мы рассматриваем полудискретную схему.

Расчет показан ниже:

F_{i-{\frac {1}{2}}}^{*}={\frac {1}{2}}\left\{\left[F\left(u_{i-{\frac {1}{2}}}^{R}\right)+F\left(u_{i-{\frac {1}{2}}}^{L}\right)\right]-a_{i-{\frac {1}{2}}}\left[u_{i-{\frac {1}{2}}}^{R}-u_{i-{\frac {1}{2}}}^{L}\right]\right\}.

F_{i+{\frac {1}{2}}}^{*}={\frac {1}{2}}\left\{\left[F\left(u_{i+{\frac {1}{2}}}^{R}\right)+F\left(u_{i+{\frac {1}{2}}}^{L}\right)\right]-a_{i+{\frac {1}{2}}}\left[u_{i+{\frac {1}{2}}}^{R}-u_{i+{\frac {1}{2}}}^{L}\right]\right\}.

1D адвективное уравнение $u_{t}+u_{x}=0$ , со ступенчатой волной, распространяющейся вправо. Показано аналитическое решение вместе с моделированием, основанным на центральной схеме Курганова и Тадмора с ограничителем SuperBee.

Где местная скорость распространения , $a_{i\pm {\frac {1}{2}}}\$ , — максимальное абсолютное значение собственного значения якобиана $F\left(u\left(x,t\right)\right)$ над клетками ${i},{i\pm 1}$ данный

a_{i+{\frac {1}{2}}}\left(t\right)=\max \left[\rho \left({\frac {\partial F\left(u_{i+1/2}^{L}\left(t\right)\right)}{\partial u}}\right),\rho \left({\frac {\partial F\left(u_{i+1/2}^{R}\left(t\right)\right)}{\partial u}}\right),\right]

и $\rho \left({\frac {\partial F\left(u\left(t\right)\right)}{\partial u}}\right)\$ представляет собой радиус спектральный ${\frac {\partial F\left(u\left(t\right)\right)}{\partial u}}.$

Помимо этих скоростей, связанных с КЛЛ , никакой характеристической информации не требуется.

Приведенный выше расчет потока чаще всего называют потоком Лакса-Фридрихса (хотя стоит отметить, что такое выражение потока встречается не у Лакса, 1954, а скорее у Русанова, 1961).

Пример эффективности использования схемы высокого разрешения показан на диаграмме напротив, которая иллюстрирует одномерное уравнение адвективы. $u_{t}+u_{x}=0\$ , со ступенчатой волной, распространяющейся вправо. Моделирование проводилось на сетке из 200 ячеек с использованием центральной схемы Курганова и Тадмора с ограничителем Superbee и использованием RK-4 для интегрирования по времени. Этот результат моделирования чрезвычайно хорошо контрастирует с приведенными выше результатами по наветренной разнице первого порядка и центральной разности второго порядка, показанными выше. Эта схема также дает хорошие результаты при применении к наборам уравнений — см. результаты ниже для этой схемы, примененной к уравнениям Эйлера. Однако следует проявлять осторожность при выборе подходящего ограничителя, поскольку, например, ограничитель Superbee может привести к нереалистичному повышению резкости некоторых плавных волн.

В схему можно легко включить диффузионные члены, если они присутствуют. Например, если вышеупомянутую одномерную скалярную задачу расширить, включив в нее диффузионный член, мы получим

u_{t}+F_{x}\left(u\right)=Q_{x}\left(u,u_{x}\right),

для которого Курганов и Тадмор предлагают следующую аппроксимацию центральной разности:

{\frac {\mathrm {d} u_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[F_{i+{\frac {1}{2}}}^{*}-F_{i-{\frac {1}{2}}}^{*}\right]+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[P_{i+{\frac {1}{2}}}-P_{i-{\frac {1}{2}}}\right].

Где,

P_{i+{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}\left[Q\left(u_{i},{\frac {u_{i+1}-u_{i}}{\Delta x_{i}}}\right)+Q\left(u_{i+1},{\frac {u_{i+1}-u_{i}}{\Delta x_{i}}}\right)\right],

P_{i-{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}\left[Q\left(u_{i-1},{\frac {u_{i}-u_{i-1}}{\Delta x_{i-1}}}\right)+Q\left(u_{i},{\frac {u_{i}-u_{i-1}}{\Delta x_{i-1}}}\right).\right]

Полную информацию об алгоритме ( полная и полудискретная версии) и его вывод можно найти в оригинальной статье (Курганов и Тадмор, 2000), а также ряд 1D и 2D примеров. Дополнительная информация также доступна в более ранней статье Нессяху и Тадмора (1990).

Примечание. Эта схема первоначально была представлена Кургановым и Тадмором как схема 2-го порядка, основанная на линейной экстраполяции . Более поздняя статья (Курганов и Леви, 2000) демонстрирует, что она также может лечь в основу схемы третьего порядка. Одномерный адвективный пример и пример их схемы с уравнением Эйлера с использованием параболической реконструкции (3-го порядка) показаны в разделах параболической реконструкции и уравнения Эйлера ниже.

Кусочная параболическая реконструкция

Пример параболической реконструкции состояния типа MUSCL.

Идею линейной экстраполяции можно распространить на реконструкцию более высокого порядка, и пример показан на диаграмме напротив. Однако в этом случае левое и правое состояния оцениваются путем интерполяции разностного уравнения второго порядка со смещением против ветра. В результате получается параболическая схема реконструкции с точностью третьего порядка в пространстве.

Мы следуем подходу Кермани (Кермани и др., 2003) и представляем схему третьего порядка со смещением против ветра, где символы $u_{i+{\frac {1}{2}}}^{*}$ и $u_{i-{\frac {1}{2}}}^{*}$ снова представляют функции, зависящие от схемы (ограниченных реконструированных переменных края ячейки). Но в данном случае они основаны на параболически реконструированных состояниях, т. е .

u_{i+{\frac {1}{2}}}^{*}=f\left(u_{i+{\frac {1}{2}}}^{L},u_{i+{\frac {1}{2}}}^{R}\right),\quad u_{i-{\frac {1}{2}}}^{*}=f\left(u_{i-{\frac {1}{2}}}^{L},u_{i-{\frac {1}{2}}}^{R}\right),

и

u_{i+{\frac {1}{2}}}^{L}=u_{i}+{\frac {\phi \left(r_{i}\right)}{4}}\left[\left(1-\kappa \right)\delta u_{i-{\frac {1}{2}}}+\left(1+\kappa \right)\delta u_{i+{\frac {1}{2}}}\right],

u_{i+{\frac {1}{2}}}^{R}=u_{i+1}-{\frac {\phi \left(r_{i+1}\right)}{4}}\left[\left(1-\kappa \right)\delta u_{i+{\frac {3}{2}}}+\left(1+\kappa \right)\delta u_{i+{\frac {1}{2}}}\right],

u_{i-{\frac {1}{2}}}^{L}=u_{i-1}+{\frac {\phi \left(r_{i-1}\right)}{4}}\left[\left(1-\kappa \right)\delta u_{i-{\frac {3}{2}}}+\left(1+\kappa \right)\delta u_{i-{\frac {1}{2}}}\right],

u_{i-{\frac {1}{2}}}^{R}=u_{i}-{\frac {\phi \left(r_{i}\right)}{4}}\left[\left(1-\kappa \right)\delta u_{i+{\frac {1}{2}}}+\left(1+\kappa \right)\delta u_{i-{\frac {1}{2}}}\right].

Где $\kappa \$ = 1/3 и,

\delta u_{i+{\frac {1}{2}}}=\left(u_{i+1}-u_{i}\right),\quad \delta u_{i-{\frac {1}{2}}}=\left(u_{i}-u_{i-1}\right),

\delta u_{i+{\frac {3}{2}}}=\left(u_{i+2}-u_{i+1}\right),\quad \delta u_{i-{\frac {3}{2}}}=\left(u_{i-1}-u_{i-2}\right),

и функция ограничителя $\phi \left(r\right)\$ , то же самое, что и выше.

Параболическую реконструкцию легко реализовать, и ее можно использовать со схемой Курганова и Тадмора вместо линейной экстраполяции, показанной выше. Это приводит к повышению пространственного решения схемы КТ до 3-го порядка. Он хорошо работает при решении уравнений Эйлера, см. ниже. Такое увеличение пространственного порядка имеет определенные преимущества перед схемами 2-го порядка для гладких решений, однако для скачков оно более диссипативно - сравните противоположную диаграмму с приведенным выше решением, полученным с использованием алгоритма КТ с линейной экстраполяцией и ограничителем Superbee. Это моделирование было выполнено на сетке из 200 ячеек с использованием того же алгоритма КТ, но с параболической реконструкцией. Интеграция времени осуществлялась с помощью RK-4 и альтернативной формы ограничителя Ван Альбады. $\phi _{va}(r)={\frac {2r}{1+r^{2}}}\$ , использовался для предотвращения паразитных колебаний.

Пример: 1D уравнения Эйлера

Для простоты рассмотрим одномерный случай без теплопередачи и без объемной силы. Таким образом, в форме вектора сохранения общие уравнения Эйлера сводятся к

{\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial t}}+{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial x}}=0,

где

\mathbf {U} ={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\E\end{pmatrix}}\qquad \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\u(E+p)\end{pmatrix}},\qquad

и где ${\mbox{U}}$ является вектором состояний и ${\mbox{F}}$ – вектор потоков.

Приведенные выше уравнения представляют сохранение массы , импульса и энергии . Таким образом, имеется три уравнения и четыре неизвестных: $\rho$ (плотность) $u$ (скорость жидкости), $p$ (давление) и $E$ (полная энергия). Полная энергия определяется выражением

E=\rho e+{\frac {1}{2}}\rho u^{2},

где $e\$ представляет собой определенную внутреннюю энергию.

Для замыкания системы уравнение состояния необходимо . Тот, который соответствует нашей цели,

p=\rho \left(\gamma -1\right)e,

где $\gamma \$ равен отношению удельных теплоемкостей $\left[c_{p}/c_{v}\right]$ для жидкости.

Теперь мы можем продолжить, как показано выше в простом одномерном примере, получая левое и правое экстраполированные состояния для каждой переменной состояния. Таким образом, для плотности получаем

\rho _{i+{\frac {1}{2}}}^{*}=\rho _{i+{\frac {1}{2}}}^{*}\left(\rho _{i+{\frac {1}{2}}}^{L},\rho _{i+{\frac {1}{2}}}^{R}\right),\quad \rho _{i-{\frac {1}{2}}}^{*}=\rho _{i-{\frac {1}{2}}}^{*}\left(\rho _{i-{\frac {1}{2}}}^{L},\rho _{i-{\frac {1}{2}}}^{R}\right),

где

\rho _{i+{\frac {1}{2}}}^{L}=\rho _{i}+0.5\phi \left(r_{i}\right)\left(\rho _{i}-\rho _{i-1}\right),\quad \rho _{i+{\frac {1}{2}}}^{R}=\rho _{i+1}-0.5\phi \left(r_{i+1}\right)\left(\rho _{i+1}-\rho _{i}\right),

\rho _{i-{\frac {1}{2}}}^{L}=\rho _{i-1}+0.5\phi \left(r_{i-1}\right)\left(\rho _{i}-\rho _{i-1}\right),\quad \rho _{i-{\frac {1}{2}}}^{R}=\rho _{i}-0.5\phi \left(r_{i}\right)\left(\rho _{i+1}-\rho _{i}\right).

Аналогично, для импульса $\rho u$ и полная энергия $E$ . Скорость $u$ , рассчитывается по импульсу и давлению $p$ , рассчитывается из уравнения состояния.

Получив ограниченные экстраполированные состояния, мы приступаем к построению краевых потоков, используя эти значения. Зная краевые потоки, мы можем теперь построить полудискретную схему, т. е .

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {U} _{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[\mathbf {F} _{i+{\frac {1}{2}}}^{*}-\mathbf {F} _{i-{\frac {1}{2}}}^{*}\right].

Теперь решение можно продолжить путем интегрирования с использованием стандартных численных методов.

Вышеизложенное иллюстрирует основную идею схемы MUSCL. Однако для практического решения уравнений Эйлера также необходимо выбрать подходящую схему (например, приведенную выше схему КТ), чтобы определить функцию $\mathbf {F} _{i\pm {\frac {1}{2}}}^{*}$ .

Моделирование уравнений Эйлера с высоким разрешением на основе задачи Г.А. Сода «Ударная труба». Показаны аналитические решения, а также смоделированные решения (2-го порядка), основанные на центральной схеме Куганова и Тадмора с линейной экстраполяцией и ограничителем Ospre.

На диаграмме напротив показано решение 2-го порядка проблемы с ударной трубкой Г.А. Сода (Sod, 1978) с использованием вышеупомянутой центральной схемы Курганова и Тадмора (КТ) высокого разрешения с линейной экстраполяцией и ограничителем Ospre. Это наглядно иллюстрирует эффективность подхода MUSCL к решению уравнений Эйлера. Моделирование проводилось на сетке из 200 ячеек с использованием кода Matlab (Wesseling, 2001), адаптированного для использования алгоритма KT и ограничителя Ospre . Интегрирование по времени осуществлялось интегратором ШК 4-го порядка (по характеристикам эквивалентным РК-4). Были использованы следующие начальные условия ( единицы СИ ):

давление слева = 100000 [Па];
давление справа = 10000 [Па];
плотность слева = 1,0 [кг/м3];
плотность справа = 0,125 [кг/м3];
длина = 20 [м];
скорость слева = 0 [м/с];
скорость вправо = 0 [м/с];
продолжительность =0,01 [с];
лямбда = 0,001069 (Δt/Δx).

Моделирование уравнений Эйлера с высоким разрешением на основе задачи Г.А. Сода «Ударная трубка» - единицы СИ. Показаны аналитические решения, а также смоделированные решения (3-го порядка), основанные на центральной схеме Курганова и Тадмора с параболической реконструкцией и ограничителем Ван Альбады.

Г.А. Сода На диаграмме напротив показано решение третьего порядка проблемы с ударной трубкой (Sod, 1978) с использованием вышеупомянутой центральной схемы Курганова и Тадмора (КТ) с высоким разрешением, но с параболической реконструкцией и ограничителем Ван Альбады. Это еще раз иллюстрирует эффективность подхода MUSCL к решению уравнений Эйлера. Моделирование проводилось на сетке из 200 ячеек с использованием кода Matlab (Весселинг, 2001), адаптированного для использования алгоритма КТ с параболической экстраполяцией и ограничителем Ван Альбада . Альтернативная форма ограничителя Ван Альбада. $\phi _{va}(r)={\frac {2r}{1+r^{2}}}\$ , использовался для предотвращения паразитных колебаний. Интегрирование по времени осуществлялось интегратором ШК 4-го порядка. Использовались те же начальные условия.

Были разработаны различные другие схемы с высоким разрешением, которые решают уравнения Эйлера с хорошей точностью. Примерами таких схем являются:

схема Ошера и
схема Лиу -Штеффена AUSM (метод расщепления адвекции вверх по течению).

Более подробную информацию об этих и других методах можно найти в ссылках ниже. Реализацию центральной схемы Курганова и Тадмора с открытым исходным кодом можно найти по внешним ссылкам ниже.

См. также

Ссылки

Кермани, М.Дж., Гербер, А.Г., и Стоки, Дж.М. (2003), Термодинамически обоснованное прогнозирование влажности с использованием схемы Роу, 4-я конференция Иранского аэрокосмического общества , Технологический университет имени Амира Кабира, Тегеран, Иран, 27–29 января. [1]
Курганов, Александр и Эйтан Тадмор (2000), Новые центральные схемы высокого разрешения для нелинейных законов сохранения и уравнений конвекции-диффузии, J. Comput. Физ. , 160 , 241–282. [2]
Курганов, Александр и Дорон Леви (2000), Полудискретная центральная схема третьего порядка для законов сохранения и уравнений конвекции-диффузии, SIAM J. Sci. Вычислить. , 22 , 1461–1488. [3]
Лакс, П.Д. (1954). Слабые решения нелинейных гиперболических уравнений и их численные расчеты. Сообщ. Чистое приложение. Математика. , VII, стр. 159–193.
Левек, Р.Дж. (2002). Методы конечных объемов для гиперболических задач , Издательство Кембриджского университета.
ван Лир, Б. (1979), К окончательной консервативной разностной схеме, V. Продолжение метода Годунова второго порядка, J. Com. Физ. ., 32 , 101–136.
Нессяху, Х. и Э. Тадмор (1990), Неколебательное центральное дифференцирование для гиперболических законов сохранения, J. Comput. Физ. , 87 , 408–463. [4] .
Русанов, В.В. (1961). Расчет пересечения нестационарных ударных волн с препятствиями, J. Comput. Математика. Физ. СССР , 1 , стр. 267–279.
Сод, Джорджия (1978), Численное исследование сходящейся цилиндрической ударной волны. Дж. Механика жидкости , 83 , 785–794.
Торо, Э.Ф. (1999), Решатели Римана и численные методы гидродинамики , Springer-Verlag.
Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики , Springer-Verlag.

Дальнейшее чтение

Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков , том 2, Wiley.
Лэйни, Калберт Б. (1998), Вычислительная газовая динамика , Издательство Кембриджского университета.
Таннехилл, Джон К. и др. (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача , 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.

Внешние ссылки

GEES - открытый исходный код для решения уравнений Эйлера с использованием центральной схемы Курганова и Тадмора, написанный на Фортране (автор: Арно Майрхофер)