Схема против ветра

В вычислительной физике термин «схема адвекции» относится к классу численных методов дискретизации для решения гиперболических уравнений в частных производных . В так называемых схемах против ветра обычно так называемые восходящие переменные используются для расчета производных в поле потока. То есть производные оцениваются с использованием набора точек данных, смещенных так, чтобы они находились «против ветра» относительно точки запроса по отношению к направлению потока. Исторически происхождение методов против ветра можно проследить до работы Куранта , Исааксона и Риса, которые предложили метод CIR. ^[1]

Уравнение модели

Для иллюстрации метода рассмотрим следующее одномерное линейное уравнение переноса:

{\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0

которое описывает волну, распространяющуюся вдоль $x$ -ось со скоростью $a$ . Это уравнение также является математической моделью одномерной линейной адвекции . Рассмотрим типичную точку сетки $i$ вдомен. В одномерной области существует только два направления, связанных с точкой $i$ – влево (в сторону отрицательной бесконечности) ивправо (в сторону положительной бесконечности). Если $a$ положительно, решение бегущей волны приведенного выше уравнения распространяется вправо, левая сторона называется подветренной стороной, а правая сторона - подветренной стороной. Аналогично, если $a$ отрицательно, решение бегущей волны распространяется влево, левая сторона называется подветренной стороной, а правая сторона - противветренной стороной. Если конечно-разностная схема для пространственной производной, $\partial u/\partial x$ содержит больше точек с наветренной стороны, схема называется наветренной или просто противоветренной схемой .

Схема первого порядка с наветренной стороны

Моделирование схемы против ветра первого порядка, в которой a = sin( t ).

Самая простая возможная схема против ветра - это схема против ветра первого порядка. Это дано ^[2]

{\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0

( 1 )

{\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0

( 2 )

где $n$ относится к $t$ измерение и $i$ относится к $x$ измерение. (Для сравнения, схема центральных разностей в этом сценарии будет выглядеть так:

{\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\Delta x}}=0,

независимо от знака $a$ .)

Компактная форма

Определение

a^{+}={\text{max}}(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min}}(a,0)

и

u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}

два условных уравнения ( 1 ) и ( 2 ) можно объединить и записать в компактной форме как

u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+a^{-}u_{x}^{+}\right]

( 3 )

Уравнение (3) представляет собой общий способ записи любых схем противоветренного типа.

Стабильность

Схема против ветра устойчива следующее условие Куранта – Фридрихса – Леви (CFL). , если выполняется ^[3]

Влияние числа Куранта c на устойчивость восходящей числовой схемы первого порядка.

c=\left|{\frac {a\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1

и

0\leq a

.

Анализ серии Тейлора схемы против ветра, обсуждавшейся выше, покажет, что она имеет первый порядок точности в пространстве и времени. Модифицированный анализ волновых чисел показывает, что схема первого порядка против ветра приводит к серьезной числовой диффузии /диссипации в решении, где существуют большие градиенты, из-за необходимости высоких волновых чисел для представления резких градиентов.

Схема второго порядка с наветренной стороны

Пространственную точность схемы против ветра первого порядка можно повысить, включив в нее три точки данных вместо двух, что обеспечивает более точный конечно-разностный шаблон для аппроксимации пространственной производной. Для противоветренной схемы второго порядка $u_{x}^{-}$ становится трехточечной обратной разностью в уравнении ( 3 ) и определяется как

u_{x}^{-}={\frac {3u_{i}^{n}-4u_{i-1}^{n}+u_{i-2}^{n}}{2\Delta x}}

и $u_{x}^{+}$ разница вперед в 3 очка, определяемая как

u_{x}^{+}={\frac {-u_{i+2}^{n}+4u_{i+1}^{n}-3u_{i}^{n}}{2\Delta x}}

Эта схема является менее диффузной по сравнению со схемой точности первого порядка и называется схемой линейного разностного дифференцирования (LUD).

См. также

Ссылки

^ Курант, Ричард; Исааксон, Э; Рис, М. (1952). «О решении нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений конечными разностями». Комм. Чистое приложение. Математика . 5 (3): 243..255. дои : 10.1002/cpa.3160050303 .
^ Патанкар, С.В. (1980). Численная теплопередача и поток жидкости . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-0-89116-522-4 .
^ Хирш, К. (1990). Численный расчет внутренних и внешних потоков . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-92452-4 .

[1] Курант, Ричард; Исааксон, Э; Рис, М. (1952). «О решении нелинейных гиперболических дифференциальных уравнений конечными разностями». Комм. Чистое приложение. Математика . 5 (3): 243..255. дои : 10.1002/cpa.3160050303 .

[2] Патанкар, С.В. (1980). Численная теплопередача и поток жидкости . Тейлор и Фрэнсис . ISBN 978-0-89116-522-4 .

[3] Хирш, К. (1990). Численный расчет внутренних и внешних потоков . Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-92452-4 .

[1]

[2]

[3]