Метод МакКормака

В вычислительной гидродинамике метод МакКормака (/məˈkɔːrmæk ˈmɛθəd/) представляет собой широко используемую схему дискретизации для численного решения гиперболических уравнений в частных производных . второго порядка Этот метод конечных разностей был представлен Робертом МакКормаком в 1969 году. Метод МакКормака элегантен, прост для понимания и программирования.

Алгоритм

Метод МакКормака предназначен для решения гиперболических уравнений в частных производных вида

${\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial f(u)}{\partial x}}=0$

Чтобы обновить это уравнение за один временной шаг $\Delta t$ на сетке с интервалом $\Delta x$ в ячейке сетки $i$, метод МакКормака использует «шаг прогнозирования» и «шаг корректора», приведенные ниже.

${\begin{aligned}&u_{i}^{p}=u_{i}^{n}-{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(f_{i+1}^{n}-f_{i}^{n}\right)\\&u_{i}^{n+1}={\frac {1}{2}}(u_{i}^{n}+u_{i}^{p})-{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}(f_{i}^{p}-f_{i-1}^{p})\end{aligned}}$

Линейный пример

Для иллюстрации алгоритма рассмотрим следующее гиперболическое уравнение первого порядка

$\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$

Применение метода МакКормака к приведенному выше уравнению происходит в два этапа; шаг предиктора , за которым следует шаг корректора .

Шаг прогнозирования: на этапе прогнозирования «предварительное» значение $u$ на уровне времени $n+1$ (обозначается $u_{i}^{p}$) оценивается следующим образом

$u_{i}^{p}=u_{i}^{n}-a{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}\right)$

Приведенное выше уравнение получено путем замены пространственных и временных производных в предыдущем гиперболическом уравнении первого порядка с использованием прямых разностей .

Шаг корректора. На этапе корректора прогнозируемое значение $u_{i}^{p}$ корректируется согласно уравнению

$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n+1/2}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{p}-u_{i-1}^{p}\right)$

Обратите внимание, что на этапе корректора используются обратные конечно-разностные аппроксимации для пространственной производной. Временной шаг, используемый на этапе корректора, равен $\Delta t/2$ в отличие от $\Delta t$ используется на этапе прогнозирования.

Замена $u_{i}^{n+1/2}$ срок по временному среднему значению

$u_{i}^{n+1/2}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{p}}{2}}$

чтобы получить шаг корректора как

$u_{i}^{n+1}={\frac {u_{i}^{n}+u_{i}^{p}}{2}}-a{\frac {\Delta t}{2\Delta x}}\left(u_{i}^{p}-u_{i-1}^{p}\right)$

Некоторые замечания

Метод МакКормака хорошо подходит для нелинейных уравнений (невязкое уравнение Бюргерса , уравнения Эйлера и т. д.). Порядок дифференцирования можно изменить на обратный для шага по времени (т. е. вперед/назад, а затем назад/вперед). Для нелинейных уравнений эта процедура дает наилучшие результаты. Для линейных уравнений схема МакКормака эквивалентна методу Лакса–Вендрофа .

первого порядка В отличие от схемы против ветра , Маккормак не вносит диффузионных ошибок в решение . Однако известно, что возникают дисперсионные ошибки ( феномен Гиббса в области, где градиент высок, ).

См. также

• Метод Лакса – Вендрофа
• Схема против ветра
• Гиперболические уравнения в частных производных