Уравнение Бюргерса

Решения уравнения Бюргерса, начиная с гауссовского начального условия $u(x,0)=e^{-x^{2}/2}$.

Решения типа N-волны уравнения Бюргерса, начиная с начального условия $u(x,0)=e^{-(x-1)^{2}/2}-e^{-(x+1)^{2}/2}$.

Уравнение Бюргерса или уравнение Бейтмана-Бюргерса представляет собой фундаментальное уравнение в частных производных и уравнение конвекции-диффузии. происходящие в различных областях прикладной математики , таких как механика жидкости , нелинейная акустика , газодинамика и транспортный поток . Уравнение было впервые введено Гарри Бейтманом в 1915 году. и позже изучен Йоханнесом Мартинусом Бургерсом в 1948 году. Для данного поля $u(x,t)$ и коэффициент диффузии (или кинематическая вязкость , как в исходном контексте механики жидкости) $\nu$, общая форма уравнения Бюргерса (также известного как вязкое уравнение Бюргерса ) в одном измерении пространства представляет собой диссипативную систему :

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$

Термин $u\partial u/\partial x$ также можно переписать как $\partial (u^{2}/2)/\partial x$. Когда диффузионный член отсутствует (т.е. $\nu =0$), уравнение Бюргерса превращается в невязкое уравнение Бюргерса :

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,$

которое является прототипом уравнений сохранения , которые могут создавать разрывы ( ударные волны ).

Причина формирования резких градиентов при малых значениях $\nu$ становится интуитивно понятным, если рассмотреть левую часть уравнения. Термин $\partial /\partial t+u\partial /\partial x$ очевидно, является волновым оператором, описывающим волну, распространяющуюся в положительном направлении. $x$-направление со скоростью $u$. Поскольку скорость волны $u$, регионы, демонстрирующие большие значения $u$ будет распространяться вправо быстрее, чем регионы с меньшими значениями $u$; другими словами, если $u$ снижается в $x$-направление, сначала, затем больше $u$вот эта ложь в заде догонит меньших $u$это на лицевой стороне. Роль правостороннего диффузионного члена по существу состоит в том, чтобы не дать градиенту стать бесконечным.

Уравнение невязкого бургера

Невязкое уравнение Бюргерса — это уравнение сохранения , в более общем смысле — квазилинейное гиперболическое уравнение первого порядка . Решение уравнения и вместе с начальным условием

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad u(x,0)=f(x)$

можно построить методом характеристик . Позволять $t$ – параметр, характеризующий какую-либо заданную характеристику в $x$- $t$ плоскости, то характеристические уравнения имеют вид

${\frac {dx}{dt}}=u,\quad {\frac {du}{dt}}=0.$

Интегрирование второго уравнения говорит нам, что $u$ постоянна вдоль характеристики, и интегрирование первого уравнения показывает, что характеристики представляют собой прямые линии, т. е.

$u=c,\quad x=ut+\xi$

где $\xi$ — это точка (или параметр) на оси x ( t = 0) плоскости x — t , от которой рисуется характеристическая кривая. С $u$ в $x$-ось известна из начального условия и того факта, что $u$ не изменяется при движении по характеристике, исходящей из каждой точки $x=\xi$, мы пишем $u=c=f(\xi )$ по каждой характеристике. Поэтому семейство траекторий характеристик, параметризованных $\xi$ является

$x=f(\xi )t+\xi .$

Таким образом, решение дается формулой

$u(x,t)=f(\xi )=f(x-ut),\quad \xi =x-f(\xi )t.$

Это неявное соотношение, определяющее решение невязкого уравнения Бюргерса при условии, что характеристики не пересекаются. Если характеристики пересекаются, то классического решения УЧП не существует и приводит к образованию ударной волны . Могут ли характеристики пересекаться или нет, зависит от начального условия. Фактически, время разрушения, прежде чем может образоваться ударная волна, определяется выражением

$t_{b}={\frac {-1}{\inf _{x}\left(f^{\prime }(x)\right)}}.$

Полный интеграл невязкого уравнения Бюргерса

Описанное выше неявное решение, содержащее произвольную функцию $f$ называется общим интегралом. Однако невязкое уравнение Бюргерса, являющееся уравнением в частных производных первого порядка , также имеет полный интеграл , содержащий две произвольные константы (для двух независимых переменных). Субраманьян Чандрасекхар представил полный интеграл в 1943 году. который дается

$u(x,t)={\frac {ax+b}{at+1}}.$

где $a$ и $b$ являются произвольными константами. Полный интеграл удовлетворяет линейному начальному условию, т. е. $f(x)=ax+b$. Общий интеграл можно также построить, используя приведенный выше полный интеграл.

Уравнение вязкого бургера

Уравнение вязкого Бюргерса можно преобразовать в линейное уравнение с помощью преобразования Коула – Хопфа :

$u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \varphi (x,t),$

что превращает его в уравнение

$2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {1}{\varphi }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\right)\right]=0,$

который можно интегрировать относительно $x$ чтобы получить

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}=\varphi {\frac {df(t)}{dt}},$

где $df/dt$ является произвольной функцией времени. Представляем трансформацию $\varphi \to \varphi e^{f}$ (что не влияет на функцию $u(x,t)$), искомое уравнение сводится к уравнению теплопроводности

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}.$

Уравнение диффузии можно решить . То есть, если $\varphi (x,0)=\varphi _{0}(x)$, затем

$\varphi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{0}(x')\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}\right]dx'.$

Начальная функция $\varphi _{0}(x)$ связано с начальной функцией $u(x,0)=f(x)$ к

$\ln \varphi _{0}(x)=-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x}f(x')dx',$

где нижний предел выбирается произвольно. Обращая преобразование Коула–Хопфа, имеем

$u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{{\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}$

что упрощает, избавляясь от зависящего от времени префактора в аргументе логартима, до

$u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}.$

Это решение получено из решения уравнения теплопроводности для $\varphi$ который спадает до нуля, так как $x\to \pm \infty$; другие решения для $u$ можно получить, исходя из решений $\varphi$ удовлетворяющее различным граничным условиям.

Некоторые явные решения вязкого уравнения Бюргерса

Доступны явные выражения для уравнения вязкого Бюргерса. Некоторые из физически значимых решений приведены ниже:

Стационарно распространяющаяся бегущая волна

Если $u(x,0)=f(x)$ таков, что $f(-\infty )=f^{+}$ и $f(+\infty )=f^{-}$ и $f'(x)<0$, то мы имеем решение в виде бегущей волны (с постоянной скоростью $c=(f^{+}+f^{-})/2$) предоставлено

$u(x,t)=c-{\frac {f^{+}-f^{-}}{2}}\tanh \left[{\frac {f^{+}-f^{-}}{4\nu }}(x-ct)\right].$

Это решение, первоначально полученное Гарри Бейтманом в 1915 году, используется для описания изменения давления в слабой ударной волне . Когда $f^{+}=2$ и $f^{-}=0$ к

$u(x,t)={\frac {2}{1+e^{\frac {x-t}{\nu }}}}$

с $c=1$.

Дельта-функция как начальное условие

Если $u(x,0)=2\nu Re\delta (x)$, где $Re$ (скажем, число Рейнольдса ) является константой, то имеем

$u(x,t)={\sqrt {\frac {\nu }{\pi t}}}\left[{\frac {(e^{Re}-1)e^{-x^{2}/4\nu t}}{1+(e^{Re}-1)\mathrm {erfc} (x/{\sqrt {4\nu t}})/{\sqrt {2}}}}\right].$

В пределе $Re\to 0$предельное поведение представляет собой диффузионное распространение источника и поэтому определяется выражением

$u(x,t)={\frac {2\nu Re}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\nu t}}\right).$

С другой стороны, в пределе $Re\to \infty$, решение приближается к решению вышеупомянутого ударно-волнового решения Чандрасекара невязкого уравнения Бюргерса и имеет вид

$u(x,t)={\begin{cases}{\frac {x}{t}},\quad 0<x<{\sqrt {2\nu Re\,t}},\\0,\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}$

Местоположение ударной волны и ее скорость определяются выражением $x={\sqrt {2\nu Re\,t}}$ и ${\sqrt {\nu Re/t}}.$

Решение N-волны

Решение N-волны включает в себя волну сжатия, за которой следует волна разрежения. Решение такого типа дается формулой

$u(x,t)={\frac {x}{t}}\left[1+{\frac {1}{e^{Re_{0}-1}}}{\sqrt {\frac {t}{t_{0}}}}\exp \left(-{\frac {Re(t)x^{2}}{4\nu Re_{0}t}}\right)\right]^{-1}$

где $R_{0}$ можно рассматривать как начальное число Рейнольдса в момент времени $t=t_{0}$ и $Re(t)=(1/2\nu )\int _{0}^{\infty }udx=\ln(1+{\sqrt {\tau /t}})$ с $\tau =t_{0}{\sqrt {e^{Re_{0}}-1}}$, можно рассматривать как изменяющееся во времени число Рейнольдса.

Другие формы

Многомерное уравнение Бюргерса

В двух или более измерениях уравнение Бюргерса принимает вид

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u\cdot \nabla u=\nu \nabla ^{2}u.$

Можно также расширить уравнение для векторного поля $\mathbf {u}$, как в

${\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} .$

Обобщенное уравнение Бюргерса

Обобщенное уравнение Бюргерса расширяет квазилинейную конвекцию до более обобщенной формы, т. е.

${\frac {\partial u}{\partial t}}+c(u){\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$

где $c(u)$ — любая произвольная функция от u. Невязкий $\nu =0$ уравнение по-прежнему остается квазилинейным гиперболическим уравнением для $c(u)>0$ и его решение можно построить, используя метод характеристик, как и раньше.

Уравнение стохастического Бюргерса

Добавлен пространственно-временной шум. $\eta (x,t)={\dot {W}}(x,t)$, где $W$ это $L^{2}(\mathbb {R} )$ Винеровский процесс образует стохастическое уравнение Бюргерса.

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-\lambda {\frac {\partial \eta }{\partial x}}.$

Это стохастическое УЧП представляет собой одномерную версию уравнения Кардара–Паризи–Чжана в поле $h(x,t)$ после замены $u(x,t)=-\lambda \partial h/\partial x$.

См. также

• Уравнение Чаплыгина
• Уравнение сохранения
• Уравнение Эйлера – Трикоми
• Уравнение Фоккера – Планка
• Уравнение КдВ-Бюргерса

Внешние ссылки

• Уравнение Бюргерса в EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнение Бюргерса в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.