Нелинейная акустика

Нелинейность распространения ультразвуковых волн через ткани при больших амплитудах

Нелинейная акустика (НЛА) — раздел физики и акустики, изучающий звуковые волны достаточно больших амплитуд. Большие амплитуды требуют использования полных систем определяющих уравнений гидродинамики (для звуковых волн в жидкостях и газах) и упругости (для звуковых волн в твердых телах). Эти уравнения, как правило, нелинейны , и их традиционная линеаризация уже невозможна. Решения этих уравнений показывают, что из-за эффектов нелинейности звуковые волны искажаются по мере своего распространения.

Введение

Звуковая волна распространяется через материал как локализованное изменение давления . Увеличение давления газа или жидкости увеличивает их локальную температуру. Локальная скорость звука в сжимаемом материале увеличивается с температурой; в результате волна распространяется быстрее во время фазы высокого давления колебаний, чем во время фазы более низкого давления. Это влияет на частотную структуру волны; например, в первоначально простой синусоидальной волне одной частоты пики волны распространяются быстрее, чем впадины, и в совокупности импульс становится больше похожим на пилообразную волну . Другими словами, волна искажает сама себя. При этом вводятся другие частотные составляющие, которые можно описать рядом Фурье. Это явление характерно для нелинейной системы , поскольку линейная акустическая система реагирует только на возбуждающую частоту. Это происходит всегда, но эффекты геометрического распространения и поглощения обычно преодолевают самоискажение, поэтому обычно преобладает линейное поведение, а нелинейное акустическое распространение происходит только для очень больших амплитуд и только вблизи источника.

Кроме того, волны разной амплитуды будут создавать разные градиенты давления, способствуя нелинейному эффекту.

Физический анализ

Изменения давления внутри среды приводят к переходу энергии волны в более высокие гармоники. Поскольку затухание обычно увеличивается с частотой, существует противодействие, которое меняет природу нелинейного эффекта с расстоянием. Чтобы описать уровень нелинейности, материалам можно задать параметр нелинейности: $B/A$. Значения $A$ и $B$ - коэффициенты членов первого и второго порядка разложения в ряд Тейлора уравнения, связывающего давление материала с его плотностью. Ряд Тейлора имеет больше членов и, следовательно, больше коэффициентов (C, D, ...), но они используются редко. Типичные значения параметра нелинейности в биологических средах приведены в следующей таблице.

Материал	$B/A$
Кровь	6.1
Мозг	6.6
Толстый	10
Печень	6.8
Мышцы	7.4
Вода	5.2
Одноатомный газ	0.67

В жидкости обычно используется модифицированный коэффициент, известный как $\beta =1+{\frac {B}{2A}}$.

Математическая модель

Основные уравнения для вывода уравнения Вестервельта

Непрерывность:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\textbf {u}})=0$

Сохранение импульса:

$\rho \left({\frac {\partial {\textbf {u}}}{\partial t}}+{\textbf {u}}\cdot \nabla {\textbf {u}}\right)+\nabla p=(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot {\textbf {u}})$

с Тейлора разложением возмущений по плотности:

$\rho =\sum _{0}^{\infty }\varepsilon ^{i}\rho _{i}$

где ε — малый параметр, т. е. параметр возмущения, уравнение состояния принимает вид:

$p=\varepsilon \rho _{1}c_{0}^{2}\left(1+\varepsilon {\frac {B}{2!A}}{\frac {\rho _{1}}{\rho _{0}}}+O(\varepsilon ^{2})\right)$

Если опустить второй член в разложении давления Тейлора, можно получить уравнение вязкой волны. Если его сохранить, в уравнении Вестервельта появляется нелинейный член по давлению.

Уравнение Вестервельта

Общее волновое уравнение, учитывающее нелинейность до второго порядка, представляет собой уравнение Вестервельта

$\,\nabla ^{2}p-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {\delta }{c_{0}^{4}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial t^{3}}}=-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{4}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial t^{2}}}$

где $p$ звуковое давление, $c_{0}$ скорость звука малого сигнала, $\delta$ это коэффициент диффузии звука, $\beta$ – коэффициент нелинейности и $\rho _{0}$ плотность окружающей среды.

Коэффициент распространения звука определяется выражением

$\,\delta ={\frac {1}{\rho _{0}}}\left({\frac {4}{3}}\mu +\mu _{B}\right)+{\frac {k}{\rho _{0}}}\left({\frac {1}{c_{v}}}-{\frac {1}{c_{p}}}\right)$

где $\mu$ сдвиговая вязкость, $\mu _{B}$ объемная вязкость, $k$ теплопроводность, $c_{v}$ и $c_{p}$ удельная теплоемкость при постоянном объеме и давлении соответственно.

Уравнение Бюргерса

См. Также: уравнение Бюргерса.

Уравнение Вестервельта можно упростить, приняв одномерную форму, в предположении о волнах, распространяющихся строго вперед, и использовании преобразования координат в запаздывающий временной интервал:

${\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{3}}}p{\frac {\partial p}{\partial \tau }}={\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \tau ^{2}}}$

где $\tau =t-z/c_{0}$ замедленное время . Это соответствует вязкому уравнению Бюргерса:

${\frac {\partial y}{\partial t'}}+y{\frac {\partial y}{\partial x}}=d{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}$

в поле давления (y=p) с математической «временной переменной»:

$t'={\frac {z}{c_{0}}}$

и с «пространственной переменной»:

$x=-{\frac {\rho _{0}c_{0}^{2}}{\beta }}\tau$

и отрицательный коэффициент диффузии:

$d=-{\frac {\rho _{0}c_{0}}{2\beta ^{2}}}\delta$.

Уравнение Бюргерса — это простейшее уравнение, которое описывает совокупное влияние нелинейности и потерь на распространение прогрессивных волн.

уравнение КЗК

Дополнение к уравнению Бюргерса, учитывающее совокупные эффекты нелинейности, дифракции и поглощения в направленных звуковых пучках, описывается уравнением Хохлова-Заболотской-Кузнецова (КЗК), названным в честь Рема Хохлова , Евгении Заболоцкой и В.П. Кузнецова. Решения этого уравнения обычно используются для моделирования нелинейной акустики.

Если $z$ ось находится в направлении пути звукового луча, а $(x,y)$ плоскость перпендикулярна ей, уравнение КЗК можно записать

$\,{\frac {\partial ^{2}p}{\partial z\partial \tau }}={\frac {c_{0}}{2}}\nabla _{\perp }^{2}p+{\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial \tau ^{3}}}+{\frac {\beta }{2\rho _{0}c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial \tau ^{2}}}$

Уравнение может быть решено для конкретной системы с использованием конечно-разностной схемы. Такие решения показывают, как искажается звуковой луч при прохождении через нелинейную среду.

Распространенные случаи

Звуковой бум

Нелинейное поведение атмосферы приводит к изменению формы волны при звуковом ударе . Как правило, это делает удар более «острым» или внезапным, поскольку пик высокой амплитуды перемещается к фронту волны.

Акустическая левитация

Акустическая левитация была бы невозможна без нелинейных акустических явлений. Нелинейные эффекты особенно очевидны из-за задействования мощных акустических волн.

Ультразвуковые волны

Из-за относительно высокого амплитуды к длине волны отношения ультразвуковые волны обычно демонстрируют нелинейное поведение при распространении. Например, нелинейная акустика представляет интерес для медицинского ультразвукового исследования , поскольку ее можно использовать для получения изображений лучшего качества.

Музыкальная акустика

Физическое поведение музыкальной акустики в основном нелинейно. Предпринимаются попытки смоделировать их генерацию звука на основе синтеза физического моделирования , имитируя их звук на основе измерений их нелинейности.

Параметрические массивы

Параметрический массив представляет собой нелинейный механизм преобразования, который генерирует узкие, почти без боковых лепестков пучки низкочастотного звука посредством смешивания и взаимодействия высокочастотных звуковых волн. Приложения, например, в подводной акустике и аудио.

См. также

• Кавитация