Синусоидальная волна

Синусоидальная волна , синусоидальная волна или синусоида (символ: ∿ ) — это периодическая волна которой , форма волны (форма) представляет собой тригонометрическую синусоидальную функцию . В механике , как линейное движение во времени, это простое гармоническое движение ; как и вращение , оно соответствует равномерному круговому движению . Синусоидальные волны часто встречаются в физике , включая ветровые волны , звуковые волны и световые волны, такие как монохроматическое излучение . В инженерии , обработке сигналов и математике анализ Фурье разлагает общие функции на сумму синусоидальных волн различных частот, относительных фаз и величин.

Когда любые две синусоидальные волны одной и той же частоты (но произвольной фазы ) линейно объединяются , в результате получается еще одна синусоидальная волна той же частоты; это свойство уникально среди периодических волн. И наоборот, если какая-то фаза выбрана в качестве нулевой опорной точки, синусоидальную волну произвольной фазы можно записать как линейную комбинацию двух синусоидальных волн с фазами нуля и четверти цикла, синуса и косинуса составляющих соответственно.

Аудио пример

Пять секунд синусоидальной волны частотой 220 Гц. Это звуковая волна , описываемая синусоидой с частотой f = 220 колебаний в секунду.

Проблемы с воспроизведением этого файла? См. справку для СМИ .

Синусоидальная волна представляет собой одну частоту без гармоник и считается акустически чистым тоном . Добавление синусоидальных волн разных частот приводит к получению другой формы сигнала. Наличие высших гармоник помимо основных вызывает изменение тембра , из-за чего одна и та же музыкальная высота, исполняемая на разных инструментах, звучит по-разному.

Синусоидальная форма

Синусоидальные волны произвольной фазы и амплитуды называются синусоидами и имеют общий вид: ^[1] $y(t)=A\sin(\omega t+\varphi )=A\sin(2\pi ft+\varphi )$ где:

$A$ , амплитуда , максимальное отклонение функции от нуля.
$t$ , реальная независимая переменная , обычно представляющая время в секундах .
$\omega$ , угловая частота , скорость изменения аргумента функции в единицах радиан в секунду .
$f$ , обычная частота , количество колебаний ( циклов ), которые происходят каждую секунду времени.
$\varphi$ $\varphi$ , фаза , указывает (в радианах ), где в своем цикле колебание находится в момент t = 0.
- Когда $\varphi$ не равно нулю, вся форма сигнала кажется сдвинутой назад во времени на величину ${\tfrac {\varphi }{\omega }}$ секунды. Отрицательное значение представляет собой задержку, а положительное значение представляет собой продвижение.
- Добавление или вычитание $2\pi$ (один цикл) к фазе приводит к эквивалентной волне.

В зависимости от положения и времени

Смещение незатухающей системы пружин-масс , колеблющейся вокруг положения равновесия с течением времени, представляет собой синусоидальную волну.

Синусоиды, существующие как в положении, так и во времени, также имеют:

пространственная переменная $x$ это представляет положение в измерении, по которому распространяется волна.
волновое число (или угловое волновое число) $k$ $k$ , что представляет собой пропорциональность между угловой частотой $\omega$ ${\displaystyle\omega }$ и линейная скорость ( скорость распространения ) $v$ $v$ :
- волновое число связано с угловой частотой соотношением ${\textstyle k{=}{\frac {\omega }{v}}{=}{\frac {2\pi f}{v}}{=}{\frac {2\pi }{\lambda }}}$ где $\lambda$ ( лямбда ) — длина волны .

В зависимости от направления движения они могут иметь вид:

$y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi )$ , если волна движется вправо, или
$y(x,t)=A\sin(kx+\omega t+\varphi )$ , если волна движется влево.

Поскольку в распределенных линейных системах синусоидальные волны распространяются, не меняя формы , ^{[ необходимо определение ]} они часто используются для анализа распространения волн .

Стоячие волны

Когда две волны с одинаковой амплитудой и частотой, движущиеся в противоположных направлениях, накладываются друг на друга, стоячей волны создается картина .

На натянутой струне накладывающиеся волны представляют собой волны, отраженные от фиксированных концов струны. частоты струны Резонансные — это единственные возможные стоячие волны струны, которые возникают только для длин волн, которые в два раза превышают длину струны (что соответствует основной частоте ) и ее целочисленному делению (что соответствует высшим гармоникам).

Несколько пространственных измерений

Предыдущее уравнение дает смещение $y$ волны в позиции $x$ во время $t$ по одной линии. Это можно было бы, например, считать величиной волны вдоль провода.

В двух или трех пространственных измерениях одно и то же уравнение описывает бегущую плоскую волну, если положение $x$ и волновое число $k$ интерпретируются как векторы, а их произведение — как скалярное произведение . Для более сложных волн, таких как высота волны воды в пруду после падения камня, необходимы более сложные уравнения.

Синусоидальная плоская волна

В физике синусоидальная плоская волна — это частный случай плоской волны : поле , значение которого меняется как синусоидальная функция времени и расстояния от некоторой фиксированной плоскости. Ее также называют монохроматической плоской волной с постоянной частотой (как в монохроматическом излучении ).

Фурье-анализ

Французский математик Жозеф Фурье обнаружил, что синусоидальные волны можно суммировать как простые строительные блоки, чтобы аппроксимировать любую периодическую форму волны, включая прямоугольные волны . Эти ряды Фурье часто используются при обработке сигналов и статистическом анализе временных рядов . расширило Затем преобразование Фурье ряд Фурье для обработки общих функций и положило начало области анализа Фурье .

Дифференциация и интеграция

Дифференциация

Дифференцирование любой синусоиды по времени можно рассматривать как умножение ее амплитуды на ее угловую частоту и продвижение ее вперед на четверть цикла:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi )]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi )\\&=A\omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,.\end{aligned}}$

Дифференциатор ноль имеет . в начале комплексной частоты плоскости Усиление увеличивается его частотной характеристики со скоростью +20 дБ на декаду частоты (для величин основной мощности ), такой же положительный наклон, как у 1 ^ул. закажите верхних частот фильтра полосу задерживания , хотя дифференциатор не имеет частоты среза или плоской полосы пропускания . н ^йФильтр верхних частот -порядка приблизительно применяет n ^й производная по времени сигналов , полоса частот которых значительно ниже частоты среза фильтра.

Интеграция

Интегрирование любой синусоиды по времени можно рассматривать как деление ее амплитуды на ее угловую частоту и задержку на четверть цикла:

${\begin{aligned}\int A\sin(\omega t+\varphi )dt&=-{\frac {A}{\omega }}\cos(\omega t+\varphi )+C\\&=-{\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})+C\\&={\frac {A}{\omega }}\sin(\omega t+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}})+C\,.\end{aligned}}$

Константа интегрирования $C$ будет равно нулю, если границы интегрирования являются целым числом, кратным периоду синусоиды.

Интегратор . имеет полюс в начале плоскости комплексной частоты Усиление его частотной характеристики падает со скоростью -20 дБ на декаду частоты (для величин основной мощности), такой же отрицательный наклон, как у 1 ^ул. закажите полосу задерживания фильтра нижних частот , хотя у интегратора нет частоты среза или плоской полосы пропускания. н ^йФНЧ -порядка приблизительно выполняет n ^й интеграл по времени сигналов, полоса частот которых значительно превышает частоту среза фильтра.

См. также

Ссылки

^ Смит, Юлиус Орион. «Синусоиды» . ccrma.stanford.edu . Проверено 5 января 2024 г.

Внешние ссылки

«Синусоида» . Математические загадки . 17.11.2021 . Проверено 30 сентября 2022 г.

[1] Смит, Юлиус Орион. «Синусоиды» . ccrma.stanford.edu . Проверено 5 января 2024 г.

[1]