Частота среза

Передаточная функция амплитуды полосового фильтра с нижней частотой среза 3 дБ f ₁ и верхней частотой среза 3 дБ f ₂

График Боде (логарифмический график частотной характеристики ) любого фильтра нижних частот первого порядка с нормированной частотой среза при $\omega$=1 и полоса пропускания с единичным усилением (0 дБ).

В физике и электротехнике частота среза , угловая частота или частота сбоя системы, — это граница частотной характеристики при которой энергия, проходящая через систему, начинает уменьшаться ( ослабляться или отражаться), а не проходить через нее.

Обычно в электронных системах, таких как фильтры и каналы связи , частота среза применяется к фронту характеристики нижних , верхних , полосовых или полосно-заграждающих характеристик – частоте, характеризующей границу между полосой пропускания и полосой задерживания . Иногда это считается точкой в ​​отклике фильтра, где пересекаются полоса перехода и полоса пропускания, например, как это определяется точкой половинной мощности (частота, для которой выходной сигнал схемы составляет примерно -3,01 дБ от номинальной полосы пропускания). ценить). Альтернативно, угловая частота полосы задерживания может быть задана как точка, где встречаются переходная полоса и полоса задерживания: частота, для которой затухание больше, чем требуемое затухание в полосе задерживания, которое, например, может составлять 30 дБ или 100 дБ.

В случае волновода или антенны частоты среза соответствуют нижней и верхней длинам волн среза .

Электроника

В электронике частота среза или угловая частота — это частота , выше или ниже которой выходная мощность схемы , такой как линия , усилитель или электронный фильтр, упала до заданной пропорции мощности в полосе пропускания . Чаще всего эта пропорция составляет половину мощности полосы пропускания, также называемую точкой 3 дБ , поскольку падение на 3 дБ соответствует примерно половине мощности. Что касается коэффициента напряжения, то это падение до ${\textstyle {\sqrt {1/2}}\ \approx \ 0.707}$ напряжения полосы пропускания. Другие соотношения, помимо точки 3 дБ, также могут иметь значение, например, см. § Фильтры Чебышева ниже. Вдали от частоты среза в полосе перехода скорость нарастания затухания ( спада ) с логарифмом частоты асимптотически равна константе. Для сети первого порядка спад составляет –20 дБ на декаду (приблизительно –6 дБ на октаву ).

Пример однополюсной передаточной функции

Передаточная функция для простейшего фильтра нижних частот , $$H(s)={\frac {1}{1+\alpha s}},$$имеет единственный полюс в точке s = −1/ α . Величина этой функции в плоскости j' ω равна $$\left|H(j\omega )\right|=\left|{\frac {1}{1+\alpha j\omega }}\right|={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega ^{2}}}}.$$

На отсечке $$\left|H(j\omega _{\mathrm {c} })\right|={\frac {1}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\frac {1}{1+\alpha ^{2}\omega _{\mathrm {c} }^{2}}}}.$$

Следовательно, частота среза определяется выражением $$\omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{\alpha }}.$$

Где s — переменная s-плоскости , ω — угловая частота , а j — мнимая единица измерения .

Фильтры Чебышева

Иногда другие соотношения более удобны, чем точка 3 дБ. Например, в случае фильтра Чебышева частоту среза обычно определяют как точку после последнего пика частотной характеристики, в которой уровень упал до расчетного значения неравномерности полосы пропускания. Величина пульсаций в этом классе фильтров может быть установлена ​​разработчиком на любое желаемое значение, следовательно, используемый коэффициент может быть любым значением.

Радиосвязь

В радиосвязи радиоволны небесная связь представляет собой метод, при котором передаются под углом в небо и отражаются обратно на Землю слоями заряженных частиц в ионосфере . В этом контексте термин «частота среза» относится к максимальной полезной частоте , частоте, выше которой радиоволна не может отражаться от ионосферы под углом падения, необходимым для передачи между двумя указанными точками за счет отражения от слоя.

Волноводы

Частота среза электромагнитного волновода — это наименьшая частота, при которой в нем распространяется мода. В волоконной оптике чаще всего рассматривают длину волны отсечки — максимальную длину волны , которая будет распространяться в оптическом волокне или волноводе . Частота среза находится с помощью характеристического уравнения уравнения Гельмгольца для электромагнитных волн, которое получается из уравнения электромагнитных волн путем установки продольного волнового числа равным нулю и определения частоты. Таким образом, любая возбуждающая частота ниже частоты среза будет затухать, а не распространяться. Следующий вывод предполагает стены без потерь. Значение c, скорость света , следует принять за групповую скорость света в любом материале, заполняющем волновод.

Для прямоугольного волновода частота среза равна $$\omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {m\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n\pi }{b}}\right)^{2}}},$$где $m,n\geq 0$ — номера мод для сторон прямоугольника длиной $a$ и $b$ соответственно. Для режимов TE $m,n\geq 0$ (но $m=n=0$ не допускается), а для режимов ТМ $m,n\geq 1$.

Частота среза моды TM ₀₁ (следующая по величине после доминирующей моды TE ₁₁ ) в волноводе круглого сечения (поперечно-магнитная мода без угловой зависимости и с наименьшей радиальной зависимостью) определяется выражением $$\omega _{c}=c{\frac {\chi _{01}}{r}}=c{\frac {2.4048}{r}},$$где $r$ - радиус волновода, а $\chi _{01}$ является первым корнем $J_{0}(r)$, функция Бесселя первого рода порядка 1.

Частота среза доминирующей моды TE ₁₁ определяется выражением $$\omega _{c}=c{\frac {\chi _{11}}{r}}=c{\frac {1.8412}{r}}$$

Однако частоту среза доминирующей моды можно уменьшить, установив перегородку внутри волновода круглого сечения. Для одномодового оптического волокна длина волны среза — это длина волны, при которой нормированная частота примерно равна 2,405.

Математический анализ

Отправной точкой является волновое уравнение (которое получено из уравнений Максвелла ), $$\left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)=0,$$которое становится уравнением Гельмгольца, если рассматривать только функции вида $$\psi (x,y,z,t)=\psi (x,y,z)e^{i\omega t}.$$Замена и оценка производной по времени дает $$\left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0.$$Функция $\psi$ здесь имеется в виду любое поле (электрическое поле или магнитное поле), не имеющее векторной составляющей в продольном направлении – «поперечное» поле. Свойством всех собственных мод электромагнитного волновода является то, что по крайней мере одно из двух полей является поперечным. Ось z определяется как направленная вдоль оси волновода.

«Продольную» производную в лапласиане можно дополнительно уменьшить, рассматривая только функции вида $$\psi (x,y,z,t)=\psi (x,y)e^{i\left(\omega t-k_{z}z\right)},$$где $k_{z}$ продольное волновое число , в результате чего $$\left(\nabla _{T}^{2}-k_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\psi (x,y,z)=0,$$где индекс T указывает на двумерный поперечный лапласиан. Последний шаг зависит от геометрии волновода. Проще всего решить геометрию прямоугольного волновода. В этом случае остаток лапласиана можно вычислить до его характеристического уравнения, рассматривая решения вида $$\psi (x,y,z,t)=\psi _{0}e^{i\left(\omega t-k_{z}z-k_{x}x-k_{y}y\right)}.$$Таким образом, для прямоугольной направляющей вычисляется лапласиан и приходим к $${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}$$Поперечные волновые числа можно определить из граничных условий стоячей волны для поперечного сечения прямоугольной формы с размерами a и b : $$k_{x}={\frac {n\pi }{a}},$$$$k_{y}={\frac {m\pi }{b}},$$где n и m — два целых числа, представляющие конкретную собственную моду. Произведя окончательную замену, получим $${\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}+k_{z}^{2},$$что представляет собой закон дисперсии в прямоугольном волноводе. Частота среза $\omega _{c}$ - критическая частота между распространением и затуханием, которая соответствует частоте, на которой продольное волновое число $k_{z}$ равен нулю. Это дано $$\omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}}$$Волновые уравнения справедливы и ниже частоты среза, где продольное волновое число является мнимым. В этом случае поле экспоненциально затухает вдоль оси волновода, и волна, таким образом, затухает .

См. также

• Полная ширина на половине максимума
• Фильтр верхних частот
• Эффект Миллера
• Пространственная граничная частота (в оптических системах)
• Постоянная времени

Ссылки

• В этой статье использованы общедоступные материалы из Федеральный стандарт 1037C . Управление общего обслуживания . Архивировано из оригинала 22 января 2022 г. (в поддержку MIL-STD-188 ).

Внешние ссылки

• Расчет центральной частоты со средним геометрическим и сравнением со среднеарифметическим решением
• Преобразование частоты среза f _c и постоянной времени τ
• Математическое определение функций Бесселя и информация о них.