Фильтр нижних частот

Фильтр нижних частот — это фильтр , который пропускает сигналы с частотой ниже выбранной частоты среза и ослабляет сигналы с частотами выше частоты среза. Точная частотная характеристика фильтра зависит от конструкции фильтра . фильтр иногда называют фильтром верхних частот или фильтром высоких частот В аудиоприложениях . Фильтр нижних частот является дополнением фильтра верхних частот .

В оптике высокочастотный и низкочастотный фильтры могут иметь разные значения, в зависимости от того, относятся ли они к частоте или длине волны света, поскольку эти переменные обратно пропорциональны. Фильтры верхних частот будут действовать как фильтры нижних частот, и наоборот. По этой причине во избежание путаницы рекомендуется называть фильтры длин волн короткопроходными и длиннопроходными , которые будут соответствовать частотам верхних и нижних частот . ^[1]

Фильтры нижних частот существуют во многих различных формах, включая электронные схемы, такие как фильтр шипения, используемый в аудио , фильтры сглаживания для обработки сигналов перед аналого-цифровым преобразованием , цифровые фильтры для сглаживания наборов данных, акустические барьеры размытие , изображения и так далее. Операция скользящего среднего, используемая в таких областях, как финансы, представляет собой особый вид фильтра нижних частот и может анализироваться с помощью тех же методов обработки сигналов , которые используются для других фильтров нижних частот. Фильтры нижних частот обеспечивают более плавную форму сигнала, устраняя краткосрочные колебания и оставляя долгосрочный тренд.

Разработчики фильтров часто используют форму нижних частот в качестве прототипа фильтра . Это фильтр с единой полосой пропускания и импедансом. Желаемый фильтр получается из прототипа путем масштабирования желаемой полосы пропускания и импеданса и преобразования в желаемую форму полосы (т. е. низкочастотную, высокочастотную, полосовую или полосовую ).

Примеры [ править ]

Примеры фильтров нижних частот встречаются в акустике , оптике и электронике .

Жесткий физический барьер имеет тенденцию отражать более высокие звуковые частоты, действуя как акустический фильтр нижних частот для передачи звука. Когда музыка играет в другой комнате, низкие ноты легко слышны, а высокие приглушены.

Оптический фильтр с той же функцией правильно можно назвать фильтром нижних частот, но условно его называют фильтром длинного пропускания (низкая частота — это большая длина волны), чтобы избежать путаницы. ^[1]

нижних частот В электронном RC-фильтре для сигналов напряжения высокие частоты входного сигнала ослабляются, но фильтр имеет незначительное затухание ниже частоты среза , определяемой его постоянной времени RC . включением резистора и конденсатора Для токовых сигналов аналогичная схема с параллельным работает аналогичным образом. ( см. раздел делителя тока Более подробно ниже .)

Электронные фильтры нижних частот используются на входах сабвуферов и других типов громкоговорителей для блокировки высоких частот, которые они не могут эффективно воспроизвести. Радиопередатчики используют фильтры нижних частот для блокировки гармонических излучений, которые могут мешать другим средствам связи. Регулятор тона на многих электрогитарах представляет собой фильтр нижних частот, используемый для уменьшения количества высоких частот в звуке. Интегратор — это еще один с постоянной времени . фильтр нижних частот ^[2]

Телефонные линии, оснащенные разветвителями DSL, используют фильтры нижних частот для отделения сигналов DSL от сигналов POTS (и высокочастотных наоборот), которые используют одну и ту же пару проводов ( канал передачи ). ^[3]^[4]

Фильтры нижних частот также играют важную роль в формировании звука, создаваемого аналоговыми и виртуальными аналоговыми синтезаторами . См. субтрактивный синтез .

Фильтр нижних частот используется в качестве фильтра сглаживания перед дискретизацией и для восстановления при цифро-аналоговом преобразовании .

Идеальные и реальные фильтры [ править ]

Идеальный фильтр нижних частот полностью отсекает все частоты выше частоты среза , пропуская частоты ниже без изменений; его частотная характеристика представляет собой прямоугольную функцию и представляет собой фильтр типа кирпичной стены . Переходная область, присутствующая в практических фильтрах, не существует в идеальном фильтре. Идеальный фильтр нижних частот может быть реализован математически (теоретически) путем умножения сигнала на прямоугольную функцию в частотной области или, что то же самое, путем свертки с его импульсной характеристикой , функцией sinc , во временной области.

Однако идеальный фильтр невозможно реализовать без наличия сигналов бесконечной протяженности во времени, и поэтому его обычно необходимо аппроксимировать для реальных текущих сигналов, поскольку область поддержки функции sinc распространяется на все прошлые и будущие моменты времени. Следовательно, для выполнения свертки фильтру потребуется бесконечная задержка или знание бесконечного будущего и прошлого. Это эффективно реализуемо для предварительно записанных цифровых сигналов, предполагая расширение нуля в прошлое и будущее или, что более типично, делая сигнал повторяющимся и используя анализ Фурье.

Реальные фильтры для приложений реального времени приближаются к идеальному фильтру, усекая и обрабатывая бесконечную импульсную характеристику, чтобы получить конечную импульсную характеристику ; применение этого фильтра требует задержки сигнала на умеренный период времени, позволяя вычислениям немного «заглянуть» в будущее. Эта задержка проявляется как фазовый сдвиг . Большая точность аппроксимации требует большей задержки.

Усечение идеального фильтра нижних частот приводит к появлению артефактов звона из-за явления Гиббса , которые можно уменьшить или ухудшить за счет выбора функции окна. Проектирование и выбор реальных фильтров предполагает понимание и минимизацию этих артефактов. Например, простое усечение функции sinc создаст серьезные артефакты звона, которые можно уменьшить с помощью оконных функций, которые более плавно спадают по краям. ^[5]

Формула интерполяции Уиттекера -Шеннона описывает, как использовать идеальный фильтр нижних частот для восстановления непрерывного сигнала из дискретизированного цифрового сигнала . Настоящие цифро-аналоговые преобразователи используют приближения реальных фильтров.

Время отклика [ править ]

Временная характеристика фильтра нижних частот находится путем решения реакции простого RC-фильтра нижних частот.

Используя законы Кирхгофа, приходим к дифференциальному уравнению ^[6]

v_{\text{out}}(t)=v_{\text{in}}(t)-RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}

Пример ответа на пошаговый ввод [ править ]

Если мы позволим $v_{\text{in}}(t)$ быть ступенчатой функцией величины $V_{i}$ тогда дифференциальное уравнение имеет решение ^[7]

v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t}),

где $\omega _{0}={1 \over RC}$ — частота среза фильтра.

Частотная характеристика [ править ]

Самый распространенный способ охарактеризовать частотную характеристику схемы — найти ее преобразование Лапласа. ^[6] функция передачи, $H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}$ . Принимая преобразование Лапласа нашего дифференциального уравнения и решая его, $H(s)$ мы получаем

H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}={\omega _{0} \over s+\omega _{0}}

Разностное уравнение посредством выборки в дискретное время [ править ]

Дискретное разностное уравнение легко получить путем выборки входного отклика, приведенного выше, через равные промежутки времени. $nT$ где $n=0,1,...$ и $T$ это время между выборками. Взяв разницу между двумя последовательными выборками, мы имеем

v_{\rm {out}}(nT)-v_{\rm {out}}((n-1)T)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}nT})-V_{i}(1-e^{-\omega _{0}((n-1)T)})

Решение для $v_{\rm {out}}(nT)$ мы получаем

v_{\rm {out}}(nT)=\beta v_{\rm {out}}((n-1)T)+(1-\beta )V_{i}

Где $\beta =e^{-\omega _{0}T}$

Используя обозначения $V_{n}=v_{\rm {out}}(nT)$ и $v_{n}=v_{\rm {in}}(nT)$ и подставив наше выборочное значение, $v_{n}=V_{i}$ , получаем разностное уравнение

V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}

Анализ ошибок [ править ]

Сравнивая восстановленный выходной сигнал из разностного уравнения, $V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}$ , к ответу на пошаговый ввод, $v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t})$ , мы обнаруживаем, что имеется точная реконструкция (ошибка 0%). Это восстановленный выходной сигнал для входного сигнала, не зависящего от времени. Однако, если на входе указан временной вариант , например $v_{\text{in}}(t)=V_{i}\sin(\omega t)$ , эта модель аппроксимирует входной сигнал как серию ступенчатых функций с длительностью $T$ создавая ошибку в восстановленном выходном сигнале. Ошибку, возникающую из- за входных данных , изменяющихся во времени , трудно определить количественно. ^{[ нужна цитата ]} но уменьшается по мере $T\rightarrow 0$ .

дискретного Реализация времени

Многие цифровые фильтры предназначены для придания характеристик нижних частот. как фильтры нижних частот с бесконечной импульсной характеристикой , так и фильтры нижних частот с конечной импульсной характеристикой , а также фильтры, использующие преобразования Фурье Широко используются .

Простой фильтр с характеристикой бесконечной импульсной

Эффект фильтра нижних частот с бесконечной импульсной характеристикой можно смоделировать на компьютере, проанализировав поведение RC-фильтра во временной области, а затем дискретизировав модель.

На принципиальной схеме справа в соответствии с законами Кирхгофа и определением емкости :

v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=R\;i(t)

( V )

Q_{c}(t)=C\,v_{\text{out}}(t)

( В )

i(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}

( я )

где $Q_{c}(t)$ — заряд, накопленный в конденсаторе в момент времени $t$ . Подстановка уравнения Q в уравнение I дает $i(t)\;=\;C{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}$ , которое можно подставить в уравнение V так, что

v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}.

Это уравнение можно дискретизировать. Для простоты предположим, что выборки входных и выходных данных берутся в равномерно распределенные моменты времени, разделенные $\Delta _{T}$ время. Пусть образцы $v_{\text{in}}$ быть представлена последовательностью $(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$ , и разреши $v_{\text{out}}$ быть представлена последовательностью $(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})$ , которые соответствуют одним и тем же моментам времени. Сделав эти замены,

x_{i}-y_{i}=RC\,{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}.

Перестановка членов дает рекуррентное соотношение

y_{i}=\overbrace {x_{i}\left({\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Input contribution}}+\overbrace {y_{i-1}\left({\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Inertia from previous output}}.

То есть эта реализация простого RC- фильтра нижних частот с дискретным временем представляет собой экспоненциально взвешенное скользящее среднее.

y_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )y_{i-1}\qquad {\text{where}}\qquad \alpha :={\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}.

По определению коэффициент сглаживания находится в пределах $0\;\leq \;\alpha \;\leq \;1$ . Выражение для $α$ дает эквивалентную постоянную времени $RC$ в терминах периода выборки. $\Delta _{T}$ и коэффициент сглаживания $α$ ,

RC=\Delta _{T}\left({\frac {1-\alpha }{\alpha }}\right).

напоминая, что

f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}

так

RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}},

обратите внимание $на α$ и $f_{c}$ связаны между собой,

\alpha ={\frac {2\pi \Delta _{T}f_{c}}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}

и

f_{c}={\frac {\alpha }{(1-\alpha )2\pi \Delta _{T}}}.

Если $α$ =0,5, то постоянная времени RC равна периоду выборки. Если $\alpha \;\ll \;0.5$ , то RC значительно больше интервала выборки, и $\Delta _{T}\;\approx \;\alpha RC$ .

Соотношение рекуррентности фильтра позволяет определить выходные выборки на основе входных выборок и предшествующих выходных данных. Следующий алгоритм псевдокода имитирует эффект фильтра нижних частот на серию цифровых выборок:

// Возвращаем выходные выборки фильтра нижних частот RC по заданным входным выборкам, 
  // временной интервал  dt  и постоянная времени  RC 
 -функция  lowpass(  real[1..n]  x,  real  dt,  real  RC) 
      вар   действительное[1..n]  y 
      var   вещественный  α := dt / (RC + dt) 
      y[1] := α * x[1] 
      для  меня  от  2  до  n 
          y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1] 
      вернуть  y

Цикл , вычисляющий каждый из n выходных данных, можно преобразовать в эквивалент:

    для  меня  от  2  до  n 
          y[i] := y[i-1] + α * (x[i] - y[i-1])

То есть переход от одного выхода фильтра к другому пропорционален разнице между предыдущим выходом и следующим входом. Это свойство экспоненциального сглаживания соответствует экспоненциальному затуханию, наблюдаемому в системе с непрерывным временем. Как и ожидалось, с увеличением постоянной времени RC параметр сглаживания дискретного времени $\alpha$ уменьшается, а выходные выборки $(y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})$ медленнее реагировать на изменение входных выборок $(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})$ ; система имеет большую инерцию . Этот фильтр представляет собой бесконечной импульсной характеристикой однополюсный фильтр нижних частот с (БИХ).

импульсная характеристика Конечная

Могут быть построены фильтры с конечной импульсной характеристикой, которые аппроксимируют характеристику функции sinc во временной области идеального фильтра нижних частот с резкой отсечкой. Для минимальных искажений фильтр с конечной импульсной характеристикой имеет неограниченное количество коэффициентов, работающих с неограниченным сигналом. На практике ответ во временной области должен быть усечен по времени и часто имеет упрощенную форму; в простейшем случае можно использовать скользящее среднее , что дает квадратичный временной отклик. ^[8]

Преобразование Фурье [ править ]

Для фильтрации не в реальном времени, чтобы получить фильтр нижних частот, весь сигнал обычно воспринимается как зацикленный сигнал, выполняется преобразование Фурье, фильтруется в частотной области, за которым следует обратное преобразование Фурье. Требуется только операций O(n log(n)) по сравнению с O(n ²) для алгоритма фильтрации во временной области.

Иногда это также можно сделать в режиме реального времени, когда сигнал задерживается на достаточно долгое время, чтобы выполнить преобразование Фурье на более коротких перекрывающихся блоках.

Реализация в непрерывном времени [ править ]

Существует множество различных типов схем фильтров с разной реакцией на изменение частоты. Частотная характеристика фильтра обычно представляется с использованием графика Боде , а фильтр характеризуется частотой среза и скоростью спада частоты . Во всех случаях на частоте среза фильтр ослабляет входную мощность на половину или 3 дБ. Таким образом, порядок фильтра определяет величину дополнительного ослабления для частот выше частоты среза.

6 дБ Например, фильтр первого порядка уменьшает амплитуду сигнала вдвое (таким образом, мощность снижается в 4 или ) каждый раз, когда частота удваивается (поднимается на одну октаву ); точнее, спад мощности приближается к 20 дБ за декаду в пределе высоких частот. График Боде для фильтра первого порядка выглядит как горизонтальная линия ниже частоты среза и диагональная линия выше частоты среза. На границе между ними также имеется «кривая колена», плавно переходящая между двумя прямолинейными областями. Если передаточная функция фильтра нижних частот первого порядка имеет полюс не только , но и ноль , график Боде снова выравнивается при некотором максимальном затухании высоких частот; такой эффект вызван, например, небольшой утечкой входного сигнала вокруг однополюсного фильтра; этот фильтр «один полюс – один ноль» по-прежнему является фильтром нижних частот первого порядка. См. график полюс-ноль и RC-цепь .
Фильтр второго порядка более резко ослабляет высокие частоты. График Боде для этого типа фильтра напоминает график фильтра первого порядка, за исключением того, что он спадает быстрее. Например, фильтр Баттерворта второго порядка уменьшает амплитуду сигнала до одной четверти от исходного уровня каждый раз, когда частота удваивается (таким образом, мощность уменьшается на 12 дБ на октаву или на 40 дБ за декаду). Другие всеполюсные фильтры второго порядка могут изначально иметь разную скорость спада в зависимости от их добротности , но приближаются к той же конечной скорости 12 дБ на октаву; как и в случае с фильтрами первого порядка, нули в передаточной функции могут изменить высокочастотную асимптоту. См. схему RLC .
Фильтры третьего и более высокого порядка определяются аналогично. В общем, окончательная скорость спада мощности для $порядка n$ всеполюсного фильтра $составляет 6 n$ дБ на октаву (20 $n$ дБ на декаду).

В любом фильтре Баттерворта, если продлить горизонтальную линию вправо и диагональную линию в верхний левый угол (асимптоты функции ), они пересекаются точно на частоте среза , на 3 дБ ниже горизонтальной линии. Различные типы фильтров ( фильтр Баттерворта , фильтр Чебышева , фильтр Бесселя и т. д.) имеют разные кривые колена . Многие фильтры второго порядка имеют «пики» или резонанс , из-за которых их частотная характеристика находится выше горизонтальной линии на этом пике.

Значения «низкий» и «высокий», то есть частота среза , зависят от характеристик фильтра. Термин «фильтр нижних частот» просто относится к форме отклика фильтра; Можно построить фильтр верхних частот, который отсекает более низкую частоту, чем любой фильтр нижних частот — именно их характеристики отличают их. Электронные схемы могут быть разработаны для любого желаемого диапазона частот, вплоть до СВЧ-частот (выше 1 ГГц) и выше.

Обозначение Лапласа [ править ]

Фильтры непрерывного времени также можно описать с помощью преобразования Лапласа их импульсной характеристики , что позволяет легко анализировать все характеристики фильтра, рассматривая структуру полюсов и нулей преобразования Лапласа в комплексной плоскости. (В дискретное время аналогичным образом можно рассмотреть Z-преобразование импульсной характеристики.)

Например, фильтр нижних частот первого порядка можно описать в обозначениях Лапласа как:

{\frac {\text{Output}}{\text{Input}}}=K{\frac {1}{\tau s+1}}

где s — переменная преобразования Лапласа, τ фильтра — постоянная времени , а K — коэффициент усиления фильтра в полосе пропускания .

Электронные фильтры нижних частот [ править ]

Первый заказ [ править ]

RC-фильтр [ править ]

фильтра нижних частот Одна простая схема состоит из резистора, включенного последовательно с нагрузкой , и конденсатора, включенного параллельно нагрузке. Конденсатор проявляет реактивное сопротивление и блокирует низкочастотные сигналы, вместо этого пропуская их через нагрузку. На более высоких частотах реактивное сопротивление падает, и конденсатор эффективно действует как короткозамыкатель. Сочетание сопротивления и емкости дает постоянную времени фильтра. $\tau \;=\;RC$ (обозначается греческой буквой тау ). Частота обрыва, также называемая частотой оборотов, угловой частотой или частотой среза (в герцах), определяется постоянной времени:

f_{\mathrm {c} }={1 \over 2\pi \tau }={1 \over 2\pi RC}

или эквивалентно (в радианах в секунду):

\omega _{\mathrm {c} }={1 \over \tau }={1 \over RC}

Эту схему можно понять, учитывая время, необходимое конденсатору для зарядки или разрядки через резистор:

На низких частотах у конденсатора есть достаточно времени, чтобы зарядиться практически до того же напряжения, что и входное напряжение.
На высоких частотах конденсатор успевает зарядиться лишь на небольшую величину, прежде чем входной сигнал изменит направление. Выходной сигнал повышается и понижается лишь на небольшую часть от того, насколько входной сигнал повышается и понижается. При удвоенной частоте у него есть время только на то, чтобы зарядить половину суммы.

Другой способ понять эту схему — использовать концепцию реактивного сопротивления на определенной частоте:

Поскольку постоянный ток (DC) не может течь через конденсатор, входной постоянный ток должен выходить по пути, отмеченному $V_{\mathrm {out} }$ (аналог удаления конденсатора).
Поскольку переменный ток (переменный ток) очень хорошо течет через конденсатор, почти так же хорошо, как он течет через сплошной провод, входной переменный ток протекает через конденсатор, эффективно замыкая на землю (аналогично замене конденсатора только проводом).

Конденсатор не является объектом «вкл/выкл» (как объяснение блока или прохода жидкости выше). Конденсатор по-разному действует между этими двумя крайностями. и график Боде частотная характеристика Эту изменчивость демонстрируют .

RL-фильтр [ править ]

Схема резистор-индуктор или фильтр RL представляет собой электрическую цепь , состоящую из резисторов и катушек индуктивности , управляемых напряжения или источником тока . Цепь RL первого порядка состоит из одного резистора и одной катушки индуктивности и представляет собой простейший тип цепи RL.

RL-схема первого порядка — это один из простейших аналоговых с бесконечной импульсной характеристикой электронных фильтров . Он состоит из резистора и катушки индуктивности , либо последовательно управляемых источником напряжения , либо параллельно управляемых источником тока.

Второй заказ [ править ]

RLC-фильтр [ править ]

Цепь RLC (буквы R, L и C могут стоять в другой последовательности) — электрическая цепь , состоящая из резистора , катушки индуктивности и конденсатора , соединенных последовательно или параллельно. Часть названия RLC связана с тем, что эти буквы являются обычными электрическими символами сопротивления , индуктивности и емкости соответственно. Схема образует гармонический генератор тока и будет резонировать так же, как и LC-цепь . Основное отличие, которое дает наличие резистора, заключается в том, что любые колебания, возникающие в цепи, со временем затухают, если их не поддерживает источник. Этот эффект резистора называется демпфированием . Наличие сопротивления также несколько снижает пиковую резонансную частоту. Некоторое сопротивление неизбежно в реальных схемах, даже если резистор специально не включен в состав компонента. Идеальная, чистая LC-цепь — это абстракция для теории.

Существует множество применений этой схемы. Они используются во многих различных типах генераторных схем . Другое важное применение — настройка , например, в радиоприемниках или телевизорах , где они используются для выбора узкого диапазона частот из окружающих радиоволн. В этой роли схему часто называют настроенной схемой. Цепь RLC может использоваться как полосовой фильтр , полосовой фильтр , фильтр нижних частот или фильтр верхних частот . RLC-фильтр описывается как схема второго порядка , что означает, что любое напряжение или ток в цепи можно описать дифференциальным уравнением второго порядка при анализе цепей.

фильтра нижних частот порядка второго Стандартная форма

Передаточная функция $H_{LP}(f)$ фильтра нижних частот второго порядка можно выразить как функцию частоты $f$ как показано в уравнении 1, стандартной форме фильтра нижних частот второго порядка.

$H_{LP}(f)=-{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f_{c}^{2}+{\frac {1}{Q}}\cdot jf_{FSF}\cdot f_{c}+1}}\quad (1)$

В этом уравнении $f$ – частотная переменная, $f_{c}$ - частота среза, $f_{FSF}$ - коэффициент масштабирования частоты, а $Q$ является фактором качества. Уравнение 1 описывает три области работы: ниже порога, в области порога и выше порога. Для каждой области уравнение 1 сводится к:

$f\ll f_{c}$ : $H_{LP}(f)\approx K$ - Схема пропускает сигналы, умноженные на коэффициент усиления $K$ .
${\frac {f}{f_{c}}}=f_{FSF}$ : $H_{LP}(f)=jKQ$ - Сигналы сдвинуты по фазе на 90° и модифицированы по добротности. $Q$ .
$f\gg f_{c}$ : $H_{LP}(f)\approx -{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f^{2}}}$ - Сигналы сдвинуты по фазе на 180° и ослаблены на квадрат соотношения частот. Это поведение подробно описано Джимом Карки в «Разработке активного фильтра нижних частот» (Texas Instruments, 2023). ^[9]

С затуханием на частотах выше $f_{c}$ увеличиваясь в степени двойки, последняя формула описывает фильтр нижних частот второго порядка. Коэффициент масштабирования частоты $f_{FSF}$ используется для масштабирования частоты среза фильтра так, чтобы она соответствовала определениям, данным ранее.

Пассивные фильтры высшего порядка [ править ]

Также можно построить пассивные фильтры более высокого порядка (пример третьего порядка см. на диаграмме).

Фильтр нижних частот третьего порядка ( топология Кауэра ). Фильтр становится фильтром Баттерворта с частотой среза ω _c =1, когда (например) C ₂ =4/3 фарада, R ₄ =1 Ом, L ₁ =3/2 генри и L ₃ =1/2 генри.

электронная реализация Активная

Активный , фильтр нижних частот добавляет активное устройство для создания активного фильтра который позволяет увеличить полосу пропускания.

В схеме операционного усилителя , показанной на рисунке, частота среза (в герцах ) определяется как:

f_{\text{c}}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}