RL-схема

Схема резистора -индуктора ( цепь RL ), или фильтр RL , или сеть RL , представляет собой электрическую цепь , состоящую из резисторов и индукторов, приводимых в действие источником напряжения или тока . ^{[ 1 ]} Цепь RL первого порядка состоит из одного резистора и одной катушки индуктивности, либо последовательно управляемых источником напряжения, либо параллельно управляемых источником тока. Это один из простейших аналоговых с бесконечной импульсной характеристикой электронных фильтров .

Введение

Основными пассивными элементами линейной цепи являются резистор (R), конденсатор (C) и катушка индуктивности (L). Эти элементы схемы можно объединить в электрическую цепь четырьмя различными способами: цепь RC , цепь RL, цепь LC и цепь RLC , причем сокращения указывают, какие компоненты используются. Эти схемы демонстрируют важные типы поведения, которые являются фундаментальными для аналоговой электроники . В частности, они способны действовать как пассивные фильтры .

Однако на практике конденсаторы (и RC-цепи) обычно предпочтительнее катушек индуктивности, поскольку их легче изготовить и они, как правило, физически меньше, особенно для компонентов с более высокими номиналами.

Цепи RC и RL образуют однополюсный фильтр. В зависимости от того, включен ли реактивный элемент (C или L) последовательно с нагрузкой или параллельно ей, будет зависеть, будет ли фильтр низкочастотным или высокочастотным.

Часто схемы RL используются в качестве источников питания постоянного тока для радиочастотных усилителей , где дроссель используется для пропускания постоянного тока смещения и блокировки возврата радиочастотного сигнала в источник питания.

Комплексный импеданс

Комплексное сопротивление $Z L$ (в Омах ) катушки индуктивности $L$ (в генри ) равно

Z_{L}=Ls\,.

Комплексная частота $s$ – это комплексное число ,

s=\sigma +j\omega \,,

где

$j$ представляет мнимую единицу : $j 2 = -1$ ,
$σ$ — константа экспоненциального затухания (в радианах в секунду ), а
$ω$ — угловая частота (в радианах в секунду).

Собственные функции

Комплексные собственные функции любой линейной стационарной (LTI) системы имеют следующий вид:

{\begin{aligned}\mathbf {V} (t)&=\mathbf {A} e^{st}=\mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\\\mathbf {A} &=Ae^{j\phi }\\\Rightarrow \mathbf {V} (t)&=Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}\\&=Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}\,.\end{aligned}}

Согласно формуле Эйлера , действительная часть этих собственных функций представляет собой экспоненциально затухающие синусоиды:

v(t)=\operatorname {Re} {V(t)}=Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )\,.

Синусоидальное устойчивое состояние

Синусоидальное устойчивое состояние — это особый случай, в котором входное напряжение представляет собой чистую синусоиду (без экспоненциального затухания). Как результат,

\sigma =0

и оценка $s$ становится

s=j\omega \,.

Последовательная схема

Рассматривая схему как делитель напряжения , мы видим, что напряжение на катушке индуктивности равно:

V_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,,

а напряжение на резисторе равно:

V_{R}(s)={\frac {R}{R+Ls}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.

Текущий

Ток в цепи везде одинаков, так как цепь включена последовательно:

I(s)={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+Ls}}\,.

Передаточные функции

Передаточная функция напряжения индуктора равна

H_{L}(s)={\frac {V_{L}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {Ls}{R+Ls}}=G_{L}e^{j\phi _{L}}\,.

Аналогично, передаточная функция напряжения резистора равна

H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {R}{R+Ls}}=G_{R}e^{j\phi _{R}}\,.

Передаточная функция к току равна

H_{I}(s)={\frac {I(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{R+Ls}}\,.

Полюсы и нули

Передаточные функции имеют один полюс, расположенный в

s=-{\frac {R}{L}}\,.

Кроме того, передаточная функция дросселя имеет ноль, расположенный в начале координат .

Усиление и фазовый угол

Прирост по двум компонентам находится путем взятия величин приведенных выше выражений:

G_{L}={\big |}H_{L}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{L}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}

и

G_{R}={\big |}H_{R}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(\omega )}{V_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}\,,

а фазовые углы равны:

\phi _{L}=\angle H_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)

и

\phi _{R}=\angle H_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)\,.

Фазорное обозначение

Эти выражения вместе можно заменить в обычное выражение для вектора , представляющего выходные данные: ^{[ 2 ]}

{\begin{aligned}V_{L}&=G_{L}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{L}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\end{aligned}}

Импульсный отклик

Импульсная характеристика для каждого напряжения представляет собой обратное преобразование Лапласа соответствующей передаточной функции. Он представляет собой реакцию схемы на входное напряжение, состоящее из импульса или дельта-функции Дирака .

Импульсная характеристика напряжения дросселя равна

h_{L}(t)=\delta (t)-{\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,

где $u (t)$ — ступенчатая функция Хевисайда и $τ = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ L / R ⁠$ — постоянная времени .

Аналогично, импульсная характеристика напряжения резистора равна

h_{R}(t)={\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,.

Реакция с нулевым входом

Реакция при нулевом входе (ZIR), также называемая естественным откликом , схемы RL описывает поведение схемы после того, как она достигла постоянных напряжений и токов и была отключена от любого источника питания. Это называется ответом с нулевым входом, потому что он не требует никаких входных данных.

ZIR цепи RL:

I(t)=I(0)e^{-{\frac {R}{L}}t}=I(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,.

Соображения во временной области

Этот раздел основан на знании $e$ , натуральной логарифмической константы .

Самый простой способ получить поведение во временной области — использовать преобразования Лапласа выражений для $V L$ и $V R,$ приведенных выше. Это эффективно преобразует $jω \to s$ . Предполагая пошаговый ввод (т. е. $V in = 0$ до $t = 0$ , а затем $V in = V$ после этого):

{\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{L}(s)&=V\cdot {\frac {sL}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V\cdot {\frac {R}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}

Разложение частных дробей и обратное преобразование Лапласа дают:

{\begin{aligned}V_{L}(t)&=Ve^{-t{\frac {R}{L}}}\\V_{R}(t)&=V\left(1-e^{-t{\frac {R}{L}}}\right)\,.\end{aligned}}

Таким образом, напряжение на катушке индуктивности с течением времени стремится к 0, а напряжение на резисторе стремится к $V$ , как показано на рисунках. Это соответствует интуитивному выводу, что на катушке индуктивности будет напряжение только до тех пор, пока ток в цепи меняется — когда цепь достигает установившегося состояния, дальнейшего изменения тока нет и, в конечном итоге, нет напряжения на катушке индуктивности.

Эти уравнения показывают, что последовательная цепь RL имеет постоянную времени, обычно обозначаемую $τ = ⁠ L / R ⁠$ — это время, необходимое напряжению на компоненте, чтобы либо упасть (на катушке индуктивности), либо подняться (на резисторе) в пределах $⁠ 1 / e ⁠$ от его конечного значения. То есть $τ$ — это время, за которое $V L$ достигнет $V (⁠ 1 / e ⁠)$ и $VR,$ чтобы достичь $V (1 - ⁠ 1 / e ⁠)$ .

Скорость изменения дробная 1 $— ⁠ 1 / е ⁠$ за $τ$ . Таким образом, при переходе от $t = Nτ$ к $t = (N + 1) τ$ напряжение переместится примерно на 63% пути от уровня при $t = Nτ$ к своему конечному значению. Таким образом, напряжение на катушке индуктивности упадет примерно до 37% после $τ$ и практически до нуля (0,7%) примерно через $5 τ$ . Закон Кирхгофа предполагает, что напряжение на резисторе будет расти с одинаковой скоростью. Когда источник напряжения затем заменяется на короткое замыкание , напряжение на резисторе падает экспоненциально с $t$ от $V$ до 0. Резистор будет разряжен примерно до 37% после $τ$ и практически полностью разряжен (0,7%) примерно через $5 τ.$ . Обратите внимание, что ток $I$ в цепи ведет себя так же, как и напряжение на резисторе, согласно закону Ома .

Задержка во времени нарастания или спада в цепи в этом случае вызвана противо-ЭДС катушки индуктивности, которая, поскольку ток, протекающий через нее, пытается измениться, предотвращает рост тока (и, следовательно, напряжения на резисторе). или падает намного быстрее, чем постоянная времени цепи. Поскольку все провода обладают некоторой самоиндукцией и сопротивлением, все цепи имеют постоянную времени. В результате при включении источника питания ток не мгновенно достигает установившегося значения, $⁠ В / Р ⁠$ . Вместо этого для завершения подъема требуется несколько постоянных времени. Если бы это было не так и ток немедленно достиг бы установившегося состояния, из-за резкого изменения магнитного поля были бы созданы чрезвычайно сильные индуктивные электрические поля - это привело бы к пробое воздуха в цепи и образованию электрической дуги . вероятно, повредит компоненты (и пользователей).

Эти результаты также могут быть получены путем решения дифференциального уравнения, описывающего цепь:

{\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }&=IR+L{\frac {dI}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{L}\,.\end{aligned}}

Первое уравнение решается с использованием интегрирующего коэффициента и дает ток, который необходимо дифференцировать, чтобы получить $V L$ ; второе уравнение является простым. Решения точно такие же, как и полученные с помощью преобразований Лапласа.

Уравнение короткого замыкания

Для оценки короткого замыкания рассматривается цепь RL. Более общее уравнение:

v_{in}(t)=v_{L}(t)+v_{R}(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri

С исходным состоянием:

i(0)=i_{0}

Что можно решить преобразованием Лапласа :

V_{in}(s)=sLI-Li_{0}+RI

Таким образом:

I(s)={\frac {Li_{o}+V_{in}}{sL+R}}

Затем антипреобразование возвращает:

i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {V_{in}}{sL+R}}\right]

В случае, если напряжение источника представляет собой ступенчатую функцию Хевисайда (DC):

v_{in}(t)=Eu(t)

Возврат:

i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E}{s(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)

В случае, если напряжение источника является синусоидальной функцией (переменный ток):

v_{in}(t)=E\sin(\omega t)\Rightarrow V_{in}(s)={\frac {E\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}

Возврат:

i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{(s^{2}+\omega ^{2})(sL+R)}}\right]=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{2j\omega }}\left({\frac {1}{s-j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}\right){\frac {1}{(sL+R)}}\right]

=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {1}{s+{\frac {R}{L}}}}\left({\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}-{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right)+{\frac {1}{s-j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right]

=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}e^{-{\frac {R}{L}}t}2j{\text{Im}}\left({\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right)+{\frac {E}{2jL}}2j{\text{Im}}\left(e^{j\omega t}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right)

=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left[\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right]}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L\left[\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right]}}\left[{\frac {R}{L}}\sin(\omega t)-\omega \cos(\omega t)\right]

i(t)=i_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left[\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right]}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L{\sqrt {\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}}}}}\sin \left[\omega t-\tan ^{-1}\left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right]

Параллельная схема

Когда и резистор, и катушка индуктивности соединены параллельно и питаются через источник напряжения, это называется параллельной RL-схемой. ^{[ 2 ]} Параллельная схема RL обычно представляет меньший интерес, чем последовательная схема, если она не питается от источника тока. Во многом это связано с тем, что выходное напряжение ( $V out$ ) равно входному напряжению ( $V in$ ); в результате эта схема не действует как фильтр входного сигнала напряжения.

При комплексных сопротивлениях:

{\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{L}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{j\omega L}}=-{\frac {jV_{\mathrm {in} }}{\omega L}}\,.\end{aligned}}

Это показывает, что дроссель отстает от тока резистора (и источника) на 90 °.

Параллельная схема присутствует на выходе многих схем усилителей и используется для изоляции усилителя от эффектов емкостной нагрузки на высоких частотах. Из-за фазового сдвига, вызванного емкостью, некоторые усилители становятся нестабильными на очень высоких частотах и имеют тенденцию к колебаниям. Это влияет на качество звука и срок службы компонентов, особенно транзисторов.

См. также

Ссылки

^ «Цепь RL: формула, подключение и схема | Ссылка» . 24 августа 2021 г. Проверено 16 марта 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б «RL-схема: работа, векторная диаграмма, импеданс и ее использование» . ЭлПроКус — Электронные проекты для студентов-инженеров . 06.04.2021 . Проверено 16 марта 2022 г.

[1] «Цепь RL: формула, подключение и схема | Ссылка» . 24 августа 2021 г. Проверено 16 марта 2022 г.

[:0-2] Jump up to: ^а ^б «RL-схема: работа, векторная диаграмма, импеданс и ее использование» . ЭлПроКус — Электронные проекты для студентов-инженеров . 06.04.2021 . Проверено 16 марта 2022 г.

[ 1 ]

[ 2 ]