Фильтр Бесселя

В электронике и обработке сигналов фильтр Бесселя — это тип аналогового линейного фильтра с максимально плоской групповой задержкой (т. е. максимально линейной фазовой характеристикой ), который сохраняет форму волны отфильтрованных сигналов в полосе пропускания. Фильтры Бесселя часто используются в аудиокроссоверах .

Название фильтра является отсылкой к немецкому математику Фридриху Бесселю (1784–1846), который разработал математическую теорию, на которой основан фильтр. Фильтры также называются фильтрами Бесселя – Томсона в честь У. Э. Томсона, который в 1949 году разработал, как применять функции Бесселя для проектирования фильтров.

Фильтр Бесселя очень похож на фильтр Гаусса и имеет тенденцию к той же форме по мере увеличения порядка фильтра. во временной области Хотя переходная характеристика фильтра Гаусса имеет нулевое перерегулирование , фильтр Бесселя имеет небольшое перерегулирование, но все же намного меньше, чем у других распространенных фильтров частотной области, таких как фильтры Баттерворта. Было отмечено, что импульсная характеристика фильтров Бесселя–Томсона стремится к гауссовой с увеличением порядка фильтра.

По сравнению с аппроксимациями гауссовского фильтра конечного порядка, фильтр Бесселя имеет лучший коэффициент формирования, более плоскую фазовую задержку и более плоскую групповую задержку , чем гауссиан того же порядка, хотя гауссиан имеет меньшую временную задержку и нулевое перерегулирование.

Передаточная функция

График усиления и групповой задержки для фильтра нижних частот Бесселя четвертого порядка. Обратите внимание, что переход из полосы пропускания в полосу задерживания происходит намного медленнее, чем у других фильтров, но групповая задержка в полосе пропускания практически постоянна. Фильтр Бесселя максимизирует плавность кривой групповой задержки на нулевой частоте.

Бесселя Фильтр нижних частот характеризуется своей передаточной функцией :

$H(s)={\frac {\theta _{n}(0)}{\theta _{n}(s/\omega _{0})}}\,$

где $\theta _{n}(s)$ — обратный полином Бесселя, от которого фильтр получил свое название и $\omega _{0}$ — частота, выбранная для получения желаемой частоты среза. Фильтр имеет низкочастотную групповую задержку $1/\omega _{0}$. С $\theta _{n}(0)$ неопределенна по определению обратных полиномов Бесселя, но является устранимой особенностью, определено, что $\theta _{n}(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\theta _{n}(x)$.

Полиномы Бесселя

Корни полинома Бесселя третьего порядка являются полюсами передаточной функции фильтра в $s$ плоскость , здесь изображенная в виде крестов.

Передаточная функция фильтра Бесселя — это рациональная функция , знаменателем которой является обратный полином Бесселя , например:

$n=1:\quad s+1$

$n=2:\quad s^{2}+3s+3$

$n=3:\quad s^{3}+6s^{2}+15s+15$

$n=4:\quad s^{4}+10s^{3}+45s^{2}+105s+105$

$n=5:\quad s^{5}+15s^{4}+105s^{3}+420s^{2}+945s+945$

Обратные полиномы Бесселя имеют вид:

$\theta _{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k},$

где

$a_{k}={\frac {(2n-k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!}}\quad k=0,1,\ldots ,n.$

Настройка затухания среза

Для фильтров Бесселя не существует стандартного установленного значения затухания. Однако обычно выбирают −3,0103 дБ. В некоторых приложениях может использоваться более высокое или низкое затухание, например –1 дБ или –20 дБ. Установка частоты среза затухания включает в себя сначала поиск частоты, на которой достигается желаемое затухание, которое будет называться $\omega _{c}$, а затем масштабируем $H(s)$ полиномы, обратные этой частоте. Чтобы масштабировать полиномы, просто добавьте $\omega _{c}$ к $s$ член в каждом коэффициенте, как показано в примере трехполюсного фильтра Бесселя ниже.

${\begin{aligned}H(s)&={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}\\H(s)'&=H(s)_{{\text{desired dB at }}\omega =1}={\frac {15}{(\omega _{c}s)^{3}+6(\omega _{c}s)^{2}+15\omega _{c}s+15}}\\\end{aligned}}$

$\omega _{c}$ можно найти методом Ньютона или поиском корня .

Нахождение частоты затухания методом Ньютона

Метод Ньютона требует известного значения величины и значения производной величины для $|H(j\omega _{c})|$. Однако с ним легче работать. $|H(j\omega _{c})H(-j\omega _{c})|$ и используйте квадрат желаемого усиления среза, и это так же точно, поэтому будут использоваться квадратные термины.

Чтобы получить $\omega _{c}$, выполните следующие действия.

1. Если $H(s)H(-s)$ еще нет, умножьте $H(s)$ к $H(-s)$ чтобы получить $H(s)H(-s)$.
2. отрицать все условия $s^{n}$ когда $(n+2)$ делится на $4$. Это было бы $s^{2}$, $s^{6}$, $s^{10}$, и так далее. Модифицированная функция будет называться $H_{2}(s)H_{2}(-s)$, и эта модификация позволит использовать действительные числа вместо комплексных чисел при вычислении полинома и его производной. настоящий $\omega _{a}$теперь можно использовать вместо комплекса $j\omega _{a}$
3. Преобразуйте желаемое затухание в дБ, $A_{dB}$, к квадрату арифметического значения усиления, $B_{arith}^{2}$, используя $B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}$. Например, 3,010 дБ преобразуется в 0,5, 1 дБ преобразуется в 0,79432823 и так далее.
4. Рассчитать модифицированный $|H_{2}(s)H_{2}(-s)|$ в методе Ньютона с использованием действительного значения, $\omega _{a}$. Всегда принимайте абсолютное значение.
5. Вычислите производную модифицированного $H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})$ относительно реальной стоимости, $\omega _{a}$. НЕ принимайте абсолютное значение производной.

Когда шаги с 1) по 4) завершены, выражение, включающее метод Ньютона, можно записать как:

$\omega _{a}=\omega _{a}-([H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})$

используя реальное значение для $\omega _{a}$без необходимости сложной арифметики. Движение $\omega _{a}$ должно быть ограничено, чтобы оно не становилось отрицательным на ранних этапах итераций для повышения надежности. Когда все будет готово, $\omega _{a}$ может использоваться для $\omega _{c}$ который можно использовать для масштабирования оригинала $H(s)$ знаменатель передаточной функции. Затухание модифицированного $G(s)$ тогда будет практически точное желаемое значение при 1 рад/сек. При правильном выполнении потребуется всего несколько итераций, чтобы установить затухание в широком диапазоне желаемых значений затухания как для фильтров малого, так и очень большого порядка.

Нахождение частоты затухания по корням

С $|H(j\omega _{a})|$ не содержит никакой информации о фазе, непосредственный факторинг передаточной функции не даст полезных результатов. Однако передаточную функцию можно изменить, умножив ее на $H(-s)$ устранить все нечетные полномочия $H(j\omega _{a})$, что, в свою очередь, заставляет $H(j\omega _{a})$ быть реальным на всех частотах, а затем найти частоту, которая приведет к квадрату желаемого внимания.

1. Если $H(s)H(-s)$ еще нет, умножьте $H(s)$ к $H(-s)$ чтобы получить $H(s)H(-s)$.
2. Преобразуйте желаемое затухание в дБ, $A_{dB}$, к квадрату арифметического значения усиления, $B_{arith}^{2}$, используя $B_{arith}^{2}=10^{A_{dB}/10}$. Например, 3,010 дБ преобразуется в 0,5, 1 дБ преобразуется в 0,79432823 и так далее.
3. Находить $P(S)=H_{num}(S)H_{num}(-S)-B_{arith}^{2}H_{den}(S)H_{den}(-S)$
4. Найдите корни P(S), используя алгоритм поиска корней.
5. Из набора корней сверху выберите положительный мнимый корень для фильтров нечетного порядка и положительный действительный корень для фильтров четного порядка.
   1. Затухания среза, находящиеся выше пульсаций полосы пропускания или ниже пульсаций полосы задерживания, будут иметь несколько корней, поэтому необходимо будет выбрать правильный корень.

Простой пример частоты среза с поиском корня

Пример ослабления частоты среза на 20 дБ с использованием приведенного ниже примера 3-полюсного бесселя устанавливается следующим образом.

${\begin{aligned}&H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}{\text{ (from the example below)}}\\&B_{arith}^{2}=10^{20/10}=0.01{\text{ (the arithmetic gain squared)}}\\&\\&{\text{Find }}H(s)'{\text{ such that }}|H(s)'|=-20{\text{ dB at }}\omega =1{\text{.}}\\&H(s)H(-s)={\frac {225}{-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225}}\\&P(s)=225-B_{arith}^{2}(-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225)=0.01s^{6}-0.06s^{4}+0.45s^{2}+222.75{\text{ (polynomial to be factored)}}\\&R=j5.0771344{\text{ (the positive imaginary root for the above polynomial)}}\\&{\text{For even order filters, use the positive real root.}}\\&\\&\omega _{-20{\text{ dB atten}}}=\omega _{c}=5.0771344{\text{ rad/sec (20 dB attenuation frequency)}}\\&H(s)'=H(s)_{A=20{\text{ dB at }}\omega =1}={\frac {15}{(5.0771344^{3})s^{3}+(6\times 5.0771344^{2})s^{2}+(15\times 5.0771344)s+15}}\\&={\frac {15}{130.87478s^{3}+154.66376s^{2}+76.157016s+15}}\\&\\&{\text{Check:}}\\&|H(j)'|={\bigg |}{\frac {15}{130.87478j^{3}+154.66376j^{2}+76.157016j+15}}{\bigg |}=0.1=-20{\text{ dB Gain}}\end{aligned}}$

Пример

График усиления фильтра нижних частот Бесселя третьего порядка в зависимости от нормированной частоты.

График групповой задержки фильтра нижних частот Бесселя третьего порядка, иллюстрирующий плоскую единичную задержку в полосе пропускания.

Бесселя третьего порядка (трехполюсного) Передаточная функция для фильтра нижних частот с $\omega _{0}=1$ является

$H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}},$

где числитель был выбран так, чтобы дать единичный коэффициент усиления на нулевой частоте ( $s=0$).Корни полинома знаменателя, полюса фильтра, включают вещественный полюс в точке $s=-2.3222$и комплексно-сопряженная пара полюсов при $s=-1.8389\pm j1.7544$, построенный выше.

Выигрыш тогда

$G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}.\,$

Точка −3 дБ, где $|H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {2}}},\,$ происходит в $\omega =1.756$. Условно это называется частотой среза.

Этап

$\phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}}\right).\,$

Групповая задержка составляет

$D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}.\,$

равно ряд Тейлора Разложение групповой задержки в

$D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots .$

Обратите внимание, что два термина в $\omega ^{2}$ и $\omega ^{4}$ равны нулю, что приводит к очень плоской групповой задержке при $\omega =0$. Это наибольшее количество членов, которые можно присвоить нулю, поскольку в полиноме Бесселя третьего порядка всего четыре коэффициента, и для определения требуется четыре уравнения. Одно уравнение указывает, что коэффициент усиления равен единице при $\omega =0$ а второй указывает, что выигрыш равен нулю при $\omega =\infty$, оставляя два уравнения, чтобы указать, что два члена в разложении ряда равны нулю. Это общее свойство групповой задержки для фильтра Бесселя порядка $n$: первый $n-1$ Члены в разложении групповой задержки в ряд будут равны нулю, что максимизирует неравномерность групповой задержки при $\omega =0$.

Цифровой

Хотя билинейное преобразование используется для преобразования непрерывных (аналоговых) фильтров в дискретные (цифровые) фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) со сравнимой частотной характеристикой, БИХ-фильтры, полученные с помощью билинейного преобразования, не имеют постоянной групповой задержки. Поскольку важной характеристикой фильтра Бесселя является его максимально плоская групповая задержка, билинейное преобразование непригодно для преобразования аналогового фильтра Бесселя в цифровую форму.

Цифровым эквивалентом является фильтр Тирана, также всеполюсный фильтр нижних частот с максимально плоской групповой задержкой. который также можно преобразовать в общепропускной фильтр для реализации дробных задержек.

См. также

• Функция Бесселя
• Фильтр Баттерворта
• фильтр Чебышева
• Гребенчатый фильтр
• Эллиптический фильтр
• Групповая задержка и фазовая задержка

Внешние ссылки

• Фильтры Бесселя и линейно-фазовые фильтры — Нугерца
• Константы фильтра Бесселя — CR Bond
• Фильтры Бесселя: полиномы, полюса и элементы цепей — CR Bond
• Исходный код Java для вычисления полюсов фильтра Бесселя