Шаговый отклик

«Шаговое изменение» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. пошаговое изменение (значения) .

Типичный переходный процесс для системы второго порядка, иллюстрирующий перерегулирование , за которым следует звон , и все это затухает в течение времени стабилизации .

Переходная реакция системы в данном начальном состоянии состоит из временной эволюции ее выходных сигналов, когда ее управляющие входы представляют собой ступенчатые функции Хевисайда . В электронной технике и теории управления переходная реакция — это временное поведение выходных сигналов общей системы , когда ее входные данные изменяются от нуля до единицы за очень короткое время. Эту концепцию можно расширить до абстрактного математического понятия динамической системы с использованием параметра эволюции .

С практической точки зрения важно знать, как система реагирует на внезапный входной сигнал, поскольку большие и, возможно, быстрые отклонения от долгосрочного устойчивого состояния могут иметь экстремальные последствия для самого компонента и других частей всей системы, зависящих от этого компонента. Кроме того, вся система не может действовать до тех пор, пока выходной сигнал компонента не достигнет некоторого состояния, близкого к его конечному состоянию, что задерживает общую реакцию системы. Формально знание переходного процесса динамической системы дает информацию об устойчивости такой системы и о ее способности достигать одного стационарного состояния при старте из другого.

Формальное математическое описание

Рисунок 4: Представление динамической системы в виде черного ящика, ее входные данные и ее переходная характеристика.

В этом разделе представлено формальное математическое определение переходной реакции с точки зрения абстрактной математической концепции динамической системы. ${\mathfrak {S}}$: здесь перечислены все обозначения и предположения, необходимые для следующего описания.

• $t\in T$ — параметр эволюции системы, названный « временем », для простоты
• ${\boldsymbol {x}}|_{t}\in M$ это состояние системы в момент времени $t$, для простоты названный «выходом»,
• $\Phi :T\times M\to M$ динамической системы – функция эволюции ,
• $\Phi (0,{\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}_{0}\in M$ динамической системы – начальное состояние ,
• $H(t)$ это ступенчатая функция Хевисайда

Нелинейная динамическая система

Для общей динамической системы переходная характеристика определяется следующим образом:

${\boldsymbol {x}}|_{t}=\Phi _{\{H(t)\}}\left(t,{{\boldsymbol {x}}_{0}}\right).$

Это функция эволюции , когда управляющие входные данные (или исходный термин , или форсирующие входные данные ) являются функциями Хевисайда: обозначение подчеркивает эту концепцию, показывая H ( t ) в качестве нижнего индекса.

Линейная динамическая система

Для линейного нестационарного черного ящика (LTI) пусть ${\mathfrak {S}}\equiv S$ для удобства обозначений: переходная характеристика может быть получена путем свертки и управления ступенчатой ​​функцией Хевисайда импульсной характеристики h ( t ) самой системы.

$a(t)=(h*H)(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )H(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau .$

что для системы LTI эквивалентно простой интеграции последней. И наоборот, для системы LTI производная переходной характеристики дает импульсную характеристику:

$h(t)={\frac {d}{dt}}\,a(t).$

Однако эти простые соотношения неверны для нелинейной или изменяющейся во времени системы .

и

Вместо частотной характеристики производительность системы может быть определена с точки зрения параметров, описывающих зависимость отклика от времени. Переходный процесс можно описать следующими величинами, связанными с его временным поведением :

• промахнуться
• время подъема
• время урегулирования
• звон

В случае линейных динамических систем на основе этих характеристик можно многое сделать о системе. Ниже представлена ​​переходная характеристика простого двухполюсного усилителя и проиллюстрированы некоторые из этих терминов.

В системах LTI функция, которая имеет наибольшую скорость нарастания, не вызывающую перерегулирования или звона, является функцией Гаусса. Это связано с тем, что это единственная функция, преобразование Фурье которой имеет такую ​​же форму.

Усилители

Рисунок 1: Идеальная модель отрицательной обратной связи; Коэффициент усиления разомкнутого контура равен A _OL , а коэффициент обратной связи равен β.

В этом разделе описывается переходная характеристика простого усилителя с отрицательной обратной связью, показанного на рисунке 1. Усилитель с обратной связью состоит из основного усилителя с разомкнутым контуром с коэффициентом усиления A _OL и контура обратной связи, управляемого коэффициентом обратной связи β. Этот усилитель с обратной связью анализируется, чтобы определить, как его переходная характеристика зависит от постоянных времени, управляющих характеристикой основного усилителя, и от величины используемой обратной связи.

Усилитель с отрицательной обратной связью имеет коэффициент усиления (см. Усилитель с отрицательной обратной связью ):

$A_{FB}={\frac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}},$

где A _OL = коэффициент усиления разомкнутого контура , A _FB = коэффициент усиления замкнутого контура (усиление при наличии отрицательной обратной связи) и β = коэффициент обратной связи .

С одним доминирующим полюсом

Во многих случаях прямой усилитель можно достаточно хорошо смоделировать с точки зрения одного доминирующего полюса постоянной времени τ, так что он как коэффициент усиления разомкнутого контура определяется выражением:

$A_{OL}={\frac {A_{0}}{1+j\omega \tau }},$

с коэффициентом усиления на нулевой частоте A ₀ и угловой частотой ω = 2π f . Этот усилитель прямого сигнала имеет единичную ступенчатую характеристику.

$S_{OL}(t)=A_{0}(1-e^{-t/\tau })$,

экспоненциальный подход от 0 к новому равновесному значению A ₀ .

Передаточная функция однополюсного усилителя приводит к коэффициенту усиления с обратной связью:

$A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau }{1+\beta A_{0}}}}}.$

Это усиление с обратной связью имеет ту же форму, что и усиление с разомкнутым контуром: однополюсный фильтр. Его переходная реакция имеет ту же форму: экспоненциальное затухание в направлении нового равновесного значения. Но постоянная времени ступенчатой ​​функции с обратной связью равна τ / (1 + β A ₀ ), поэтому она быстрее, чем реакция прямого усилителя, в 1 + β A ₀ :

$S_{FB}(t)={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\left(1-e^{-t(1+\beta A_{0})/\tau }\right),$

По мере увеличения коэффициента обратной связи β переход на скачок будет ускоряться до тех пор, пока исходное предположение об одном доминирующем полюсе не перестанет быть точным. Если есть второй полюс, то по мере приближения постоянной времени замкнутого контура к постоянной времени второго полюса необходим двухполюсный анализ.

Двухполюсные усилители

В случае, когда усиление разомкнутого контура имеет два полюса (две постоянные времени , τ ₁ , τ ₂ ), переходная характеристика немного сложнее. Прирост в разомкнутом контуре определяется следующим образом:

$A_{OL}={\frac {A_{0}}{(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})}},$

с коэффициентом усиления на нулевой частоте A ₀ и угловой частотой ω = 2 πf .

Анализ

Передаточная функция двухполюсного усилителя приводит к коэффициенту усиления с обратной связью:

$A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\;\cdot \;\ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}+(j\omega )^{2}{\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}}}.$

Рисунок 2: Расположение сопряженных полюсов двухполюсного усилителя с обратной связью; Re( s ) — действительная ось, а Im( s ) — мнимая ось.

Зависимость усилителя от времени легко обнаружить, переключив переменные на s = j ω, после чего коэффициент усиления станет:

$A_{FB}={\frac {A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\;\cdot \;{\frac {1}{s^{2}+s\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)+{\frac {1+\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}}$

Полюса этого выражения (то есть нули знаменателя) встречаются в точках:

$2s=-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)\pm {\sqrt {\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}},$

который показывает, что для достаточно больших значений βA ₀ квадратный корень становится квадратным корнем из отрицательного числа, то есть квадратный корень становится мнимым, а положения полюсов представляют собой комплексно-сопряженные числа, либо s _+, либо s ₋ ; см. рисунок 2:

$s_{\pm }=-\rho \pm j\mu ,$

с

$\rho ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right),$

и

$\mu ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}}.$

Используя полярные координаты с величиной радиуса корней, заданной | s | (Рисунок 2):

$|s|=|s_{\pm }|={\sqrt {\rho ^{2}+\mu ^{2}}},$

а угловая координата φ определяется выражением:

$\cos \phi ={\frac {\rho }{|s|}},\sin \phi ={\frac {\mu }{|s|}}.$

Таблицы преобразований Лапласа показывают, что временной отклик такой системы состоит из комбинаций двух функций:

$e^{-\rho t}\sin(\mu t)\quad {\text{and}}\quad e^{-\rho t}\cos(\mu t),$

иными словами, решения представляют собой затухающие колебания во времени. В частности, единичный переходный процесс системы:

$S(t)=\left({\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\right)\left(1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}\right)\ ,$

что упрощается до

$S(t)=1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}$

когда A ₀ стремится к бесконечности и коэффициент обратной связи β равен единице.

Обратите внимание, что затухание отклика задается величиной ρ, то есть постоянными времени усилителя с разомкнутым контуром. Напротив, частота колебаний задается параметром µ, то есть параметром обратной связи через β A ₀ . Поскольку ρ представляет собой сумму обратных констант времени, интересно отметить, что в ρ преобладает более короткая из двух величин.

Результаты

Рисунок 3: Переходная характеристика линейного двухполюсного усилителя с обратной связью; время измеряется в единицах 1/ ρ , то есть в единицах постоянных времени A _OL ; кривые построены для трех значений mu = µ , которое контролируется β .

На рисунке 3 показан временной отклик на входной сигнал единичного шага для трех значений параметра μ. Видно, что частота колебаний увеличивается с увеличением µ, но колебания содержатся между двумя асимптотами, заданными экспонентами [ 1 − exp(− ρt ) ] и [ 1 + exp(−ρt) ]. Эти асимптоты определяются ρ и, следовательно, постоянными времени усилителя с разомкнутым контуром, независимо от обратной связи.

Явление колебания относительно конечного значения называется звоном . Перерегулирование — это максимальное отклонение выше конечного значения, которое явно увеличивается с ростом μ. Аналогичным образом, недолет – это минимальное колебание ниже конечного значения, которое снова увеличивается с увеличением μ. Время стабилизации — это время, в течение которого отклонения от конечного значения опускаются ниже определенного уровня, скажем, 10% от окончательного значения.

Зависимость времени установления от ц не очевидна, и аппроксимация двухполюсной системы, вероятно, недостаточно точна, чтобы делать какие-либо реальные выводы о зависимости времени установления от обратной связи. Однако асимптоты [ 1 - exp(- ρt ) ] и [ 1 + exp (- ρt ) ] явно влияют на время установления, и они контролируются постоянными времени усилителя с разомкнутым контуром, особенно более коротким из двух времен. константы. Это предполагает, что спецификация времени установления должна соответствовать соответствующей конструкции усилителя с разомкнутым контуром.

Два основных вывода из этого анализа таковы:

1. Обратная связь контролирует амплитуду колебаний относительно конечного значения для данного усилителя с разомкнутым контуром и заданных значений постоянных времени разомкнутого контура τ ₁ и τ ₂ .
2. Усилитель с разомкнутым контуром определяет время установления. Он устанавливает временную шкалу, показанную на рисунке 3, и чем быстрее усилитель с разомкнутым контуром, тем быстрее эта временная шкала.

В стороне можно отметить, что реальные отклонения от этой линейной двухполюсной модели происходят из-за двух основных сложностей: во-первых, реальные усилители имеют более двух полюсов, а также нули; и, во-вторых, реальные усилители нелинейны, поэтому их переходная характеристика меняется в зависимости от амплитуды сигнала.

Рисунок 4: Переходная характеристика для трех значений α. Вверху: α = 4; Центр: α = 2; Внизу: α = 0,5. При уменьшении α расстояние между полюсами уменьшается, а перерегулирование увеличивается.

Контроль перерегулирования

Далее обсуждается, как можно контролировать перерегулирование с помощью выбора соответствующих параметров.

Используя приведенные выше уравнения, величину перерегулирования можно определить, дифференцировав переходную характеристику и найдя ее максимальное значение. Результат для максимального переходного процесса S _max :

$S_{\max }=1+\exp \left(-\pi {\frac {\rho }{\mu }}\right).$

Конечное значение переходного процесса равно 1, поэтому экспонента сама по себе является фактическим перерегулированием. Ясно, что перерегулирование равно нулю, если µ = 0, что является условием:

${\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}=\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}.$

Это квадратичное уравнение решается для отношения постоянных времени, полагая x = ( τ ₁ / τ ₂ ) ^1/2 с результатом

$x={\sqrt {\beta A_{0}}}+{\sqrt {\beta A_{0}+1}}.$

Поскольку β A ₀ ≫ 1, 1 в квадратном корне можно опустить, и результат будет

${\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=4\beta A_{0}.$

Другими словами, первая постоянная времени должна быть намного больше второй. Чтобы быть более смелым, чем конструкция, не допускающая перерегулирования, мы можем ввести коэффициент α в приведенном выше соотношении:

${\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=\alpha \beta A_{0},$

и пусть α определяется допустимой величиной перерегулирования.

Рисунок 4 иллюстрирует процедуру. Сравнение верхней панели (α = 4) с нижней панелью (α = 0,5) показывает, что более низкие значения α увеличивают скорость отклика, но увеличивают перерегулирование. Случай α = 2 (центральная панель) представляет собой максимально плоскую отсутствуют пики конструкцию, в которой на графике зависимости усиления Боде от частоты . Эта конструкция имеет встроенный запас прочности для работы с неидеальными реалиями, такими как несколько полюсов (или нулей), нелинейность (зависимость от амплитуды сигнала) и производственные отклонения, любое из которых может привести к слишком большому перерегулированию. Регулировка разделения полюсов (то есть настройка α) является предметом частотной компенсации , и одним из таких методов является разделение полюсов .

Контроль времени урегулирования

Амплитуда звона в переходной характеристике на рисунке 3 определяется коэффициентом затухания exp(− ρt ). То есть, если мы укажем некоторое приемлемое отклонение переходной характеристики от конечного значения, скажем, Δ, то есть:

$S(t)\leq 1+\Delta ,$

это условие выполняется независимо от значения β A _OL при условии, что время больше, чем время стабилизации, скажем, t _S , определяемое формулой:

$\Delta =e^{-\rho t_{S}}{\text{ or }}t_{S}={\frac {\ln {\frac {1}{\Delta }}}{\rho }}=\tau _{2}{\frac {2\ln {\frac {1}{\Delta }}}{1+{\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}}}\approx 2\tau _{2}\ln {\frac {1}{\Delta }},$

где τ ₁ ≫ τ ₂ применимо из-за условия управления перерегулированием, что делает τ ₁ = αβA _OL τ ₂ . Часто об условиях времени установления говорят, говоря, что период установления обратно пропорционален полосе пропускания единичного усиления, поскольку 1/(2 π   τ ₂ ) близко к этой полосе пропускания для усилителя с типичной компенсацией доминирующего полюса . Однако этот результат более точен, чем это эмпирическое правило . В качестве примера этой формулы: если Δ = 1/e ⁴ = 1,8 %, условие времени стабилизации t _S = 8 τ ₂ .

В общем, контроль перерегулирования устанавливает коэффициент постоянной времени, а время установления t _S устанавливает τ ₂ .

системы с использованием переходного процесса: система с двумя

Переходная реакция системы с $x(t)=1$. Измерьте важную точку $k$, $t_{25}$и $t_{75}$.

Этот метод использует важные точки переходного процесса. Нет необходимости угадывать касательные к измеренному сигналу. Уравнения выводятся с использованием численного моделирования, определяющего некоторые важные соотношения и подходящие параметры нелинейных уравнений. См. также.

Вот шаги:

• Измерьте переходную характеристику системы $y(t)$системы с входным сигналом шага $x(t)$.
• Определите временные промежутки $t_{25}$и $t_{75}$где переходная характеристика достигает 25% и 75% выходного значения в установившемся режиме.
• Определите устойчивое усиление системы $k=A_{0}$с $k=\lim _{t\to \infty }{\dfrac {y(t)}{x(t)}}$
• Рассчитать
  $$r={\dfrac {t_{25}}{t_{75}}}$$
  $$P=-18.56075\,r+{\dfrac {0.57311}{r-0.20747}}+4.16423$$
  $$X=14.2797\,r^{3}-9.3891\,r^{2}+0.25437\,r+1.32148$$
• Определите две постоянные времени
  $$\tau _{2}=T_{2}={\dfrac {t_{75}-t_{25}}{X\,(1+1/P)}}$$
  $$\tau _{1}=T_{1}={\dfrac {T_{2}}{P}}$$
• Вычислить передаточную функцию идентифицированной системы в области Лапласа.
  $$G(s)={\dfrac {k}{(1+s\,T_{1})\cdot (1+s\,T_{2})}}$$

Запас по фазе

Рисунок 5: График усиления Боде для определения запаса по фазе; шкалы являются логарифмическими, поэтому помеченные разделения являются мультипликативными факторами. Например, f _{0 дБ} = βA ₀ × f ₁ .

Далее выбор соотношения полюсов τ ₁ / τ ₂ связан с запасом по фазе усилителя обратной связи. процедура, описанная в статье о графике Боде Соблюдается . На рис. 5 представлена ​​диаграмма усиления Боде для двухполюсного усилителя в диапазоне частот до второго полюсного положения. На рисунке 5 сделано предположение, что частота f _{0 дБ} находится между самым низким полюсом при f ₁ = 1/(2πτ ₁ ) и вторым полюсом при f ₂ = 1/(2πτ ₂ ). Как указано на рисунке 5, это условие выполняется для значений α ≥ 1.

частота (обозначенная f _{0 дБ} С помощью рисунка 5 находится ), где усиление контура β A ₀ удовлетворяет условию единичного усиления или 0 дБ, как определено следующим образом:

$|\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 db}})|=1.$

Наклон нисходящего участка графика усиления составляет (20 дБ/декада); при каждом десятикратном увеличении частоты коэффициент усиления падает во столько же раз:

$f_{\text{0 dB}}=\beta A_{0}f_{1}.$

Запас по фазе — это отклонение фазы при f _{0 дБ} от −180°. Таким образом, маржа составляет:

$\phi _{m}=180^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{1})-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2}).$

Поскольку f _{0 дБ} / f ₁ = βA ₀ ≫ 1, член в f ₁ равен 90°. Это дает запас по фазе:

${\begin{aligned}\phi _{m}&=90^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {\beta A_{0}f_{1}}{\alpha \beta A_{0}f_{1}}}\\&=90^{\circ }-\arctan {\frac {1}{\alpha }}=\arctan \alpha \,.\end{aligned}}$

В частности, для случая α = 1 φ _m = 45°, а для α = 2 φ _m = 63,4°. Сансен рекомендует α = 3, φ _m = 71,6° как «хорошее безопасное положение для начала».

Если α увеличивается за счет сокращения τ ₂ , время стабилизации t _S также сокращается. Если α увеличивается за счет удлинения τ ₁ , время установления t _S мало изменяется. Чаще всего изменяются как τ ₁ , так и τ ₂ метод разделения полюсов , например, если используется .

Кроме того, для усилителя с более чем двумя полюсами диаграмму на рисунке 5 все же можно привести в соответствие с графиками Боде, сделав f ₂ подгоночным параметром, называемым положением «эквивалентного второго полюса».

См. также

• Импульсный отклик
• Перерегулирование (сигнал)
• Расщепление полюсов
• Время подъема
• Время урегулирования
• Постоянная времени

Дальнейшее чтение

• Роберт И. Демроу Время установления операционных усилителей [1]
• Чезми Каябаси Методы измерения времени стабилизации, обеспечивающие высокую точность на высоких скоростях [2]
• Владимир Игоревич Арнольд «Обыкновенные дифференциальные уравнения», различные издания MIT Press и Springer Verlag, глава 1 «Основные понятия»

Внешние ссылки

• слайды Power Point Kuo; Глава 7 особенно