Время нарастания

В электронике при описании напряжения или тока ступенчатой ​​функции для время нарастания — это время, необходимое сигналу изменения от заданного низкого значения до заданного высокого значения. Эти значения могут быть выражены как отношения или, что то же самое, в процентах относительно заданного эталонного значения. В аналоговой электронике и цифровой электронике , эти проценты обычно составляют 10% и 90% (или, что эквивалентно, 0,1 и 0,9 ) высоты выходного шага: однако обычно используются другие значения. Для приложений в теории управления, согласно Левину (1996 , стр. 158), время нарастания определяется как « время, необходимое для повышения реакции от x% до y% от ее конечного значения », с увеличением от 0% до 100%. время, обычное для передемпфированных систем второго порядка, от 5% до 95% для критически демпфированных и от 10% до 90% для недостаточно демпфированных . Согласно Орвилеру (1969 , стр. 22), термин «время нарастания» применяется как к положительному, так и к отрицательному переходному процессу , даже если отображаемое отрицательное отклонение обычно называют временем спада .

Обзор

Время нарастания — аналоговый параметр фундаментальной важности в высокоскоростной электронике , поскольку оно является мерой способности схемы реагировать на быстрые входные сигналы. Было предпринято много усилий по сокращению времени нарастания цепей, генераторов и оборудования для измерения и передачи данных. Эти сокращения, как правило, связаны с исследованиями устройств с более быстрыми электронами и методами уменьшения параметров паразитных цепей (в основном емкостей и индуктивностей). Для приложений, не относящихся к области высокоскоростной электроники , иногда желательны большие (по сравнению с достижимыми уровнями техники) времена нарастания: примерами являются затемнение света, когда более длительное время нарастания приводит, среди прочего, к более длительному времени нарастания. срок службы лампочки или управление аналоговыми сигналами цифровыми с помощью аналогового переключателя , где более длительное время нарастания означает меньшую емкостную проходимость и, следовательно, меньший шум связи с управляемыми аналоговыми сигнальными линиями.

нарастания

Для данного выхода системы время нарастания зависит как от времени нарастания входного сигнала, так и от характеристик системы .

Например, значения времени нарастания в резистивной цепи обусловлены главным образом паразитной емкостью и индуктивностью . Поскольку каждая цепь имеет не только сопротивление , но также емкость и индуктивность , задержка напряжения и/или тока на нагрузке очевидна до тех пор, пока устойчивое состояние не будет достигнуто . В чистой RC-цепи время нарастания выходного напряжения (от 10% до 90%) примерно равно 2,2 RC .

Альтернативные определения

другие определения времени нарастания, помимо определения, данного Федеральным стандартом 1037C (1997 , стр. R-22) и его небольшого обобщения, данного Левином (1996 , стр. 158): Иногда используются эти альтернативные определения отличаются от стандартных не только рассматриваемыми референтными уровнями. Например, иногда используется временной интервал, графически соответствующий точкам пересечения касательной, проведенной через точку 50% отклика ступенчатой ​​функции. Другое определение, введенное Элмором (1948 , стр. 57), использует понятия статистики и теории вероятностей . Рассматривая переходную реакцию V ( t ) , он переопределяет время задержки t _D как первый момент его первой производной V' ( t ) , т.е.

$t_{D}={\frac {\int _{0}^{+\infty }tV^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}.$

Наконец, он определяет время нарастания t _r, используя второй момент

$t_{r}^{2}={\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}\quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\sqrt {\frac {\int _{0}^{+\infty }(t-t_{D})^{2}V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}{\int _{0}^{+\infty }V^{\prime }(t)\mathrm {d} t}}}$

Время нарастания модельных систем

Обозначения

Здесь перечислены все обозначения и допущения, необходимые для анализа.

• Следуя Левину ( 1996 , стр. 158, 2011 , 9-3 (313)), мы определяем x% как минимальное процентное значение, а y% как максимальное процентное значение относительно опорного значения сигнала, время нарастания которого должно быть оценено. .
• t ₁ — это время, в которое выход анализируемой системы находится на уровне x% от установившегося значения, а t _{2 —} это время, в которое он находится на уровне y% , оба значения измеряются в секундах .
• t _r – время нарастания анализируемой системы, измеряемое в секундах. По определению,
  $$t_{r}=t_{2}-t_{1}.$$
• f _L — нижняя граничная частота (точка -3 дБ) анализируемой системы, измеряемая в герцах .
• f _H — высшая граничная частота (точка -3 дБ) анализируемой системы, измеряемая в герцах.
• h ( t ) — импульсная характеристика анализируемой системы во временной области.
• H ( ω ) — частотная характеристика анализируемой системы в частотной области.
• Пропускная способность определяется как
  $$BW=f_{H}-f_{L}$$
  и поскольку нижняя частота среза f _L обычно на несколько десятилетий ниже, чем верхняя частота среза f _H ,
  $$BW\cong f_{H}$$
• Все проанализированные здесь системы имеют частотную характеристику, которая простирается до 0 (системы нижних частот), таким образом
  $$f_{L}=0\,\Longleftrightarrow \,f_{H}=BW$$
  точно.
• Для простоты все системы, проанализированные в разделе « Простые примеры расчета времени нарастания », представляют собой единичным коэффициентом усиления электрические сети , и все сигналы рассматриваются как напряжения : вход представляет собой ступенчатую функцию V с ₀ вольт , и это подразумевает, что
  $${\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}={\frac {x\%}{100}}\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}={\frac {y\%}{100}}$$
• ζ — коэффициент затухания , а ω ₀ — собственная частота данной системы второго порядка .

Простые примеры расчета времени нарастания

Целью этого раздела является расчет времени нарастания переходного процесса для некоторых простых систем:

Гауссова система ответа

Говорят, что система имеет гауссову характеристику , если она характеризуется следующей частотной характеристикой:

$|H(\omega )|=e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}$

где σ > 0 — константа, связана с высокой частотой среза следующим соотношением:

$f_{H}={\frac {\sigma }{2\pi }}{\sqrt {{\frac {3}{20}}\ln 10}}\cong 0.0935\sigma .$

Даже если такая частотная характеристика не может быть реализована с помощью причинного фильтра , ее полезность заключается в том, что поведение каскадного соединения ФНЧ первого порядка числа каскадных ступеней все ближе приближается к поведению этой системы по мере асимптотического стремления к бесконечности . Соответствующую импульсную характеристику можно рассчитать с помощью обратного преобразования Фурье показанной частотной характеристики.

${\mathcal {F}}^{-1}\{H\}(t)=h(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{e^{-{\frac {\omega ^{2}}{\sigma ^{2}}}}e^{i\omega t}}d\omega ={\frac {\sigma }{2{\sqrt {\pi }}}}e^{-{\frac {1}{4}}\sigma ^{2}t^{2}}$

Применяя непосредственно определение переходного процесса ,

$V(t)=V_{0}{H*h}(t)={\frac {V_{0}}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\frac {\sigma t}{2}}e^{-\tau ^{2}}d\tau ={\frac {V_{0}}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right]\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t}{2}}\right)\right].$

Чтобы определить время нарастания системы от 10% до 90%, необходимо решить для времени два следующих уравнения:

${\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{1}}{2}}\right)\right]\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9={\frac {1}{2}}\left[1+\mathrm {erf} \left({\frac {\sigma t_{2}}{2}}\right)\right],$

Используя известные свойства функции ошибок значение t = − t ₁ = t ₂ , находится : поскольку t _r = t ₂ - t ₁ = 2 t ,

$t_{r}={\frac {4}{\sigma }}{\operatorname {erf} ^{-1}(0.8)}\cong {\frac {0.3394}{f_{H}}},$

и наконец

$t_{r}\cong {\frac {0.34}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.34.$

Одноступенчатая низкочастотная RC-сеть

Для простой однокаскадной низкочастотной RC-сети : время нарастания от 10% до 90% пропорционально постоянной времени сети τ = RC :

$t_{r}\cong 2.197\tau$

Константу пропорциональности можно получить, зная переходную реакцию сети на единичной ступенчатой ​​функции входной сигнал с амплитудой V ₀ :

$V(t)=V_{0}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)$

Решение на время

${\frac {V(t)}{V_{0}}}=\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\quad \Longleftrightarrow \quad {\frac {V(t)}{V_{0}}}-1=-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\quad \Longleftrightarrow \quad 1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}=e^{-{\frac {t}{\tau }}},$

и наконец,

$\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)=-{\frac {t}{\tau }}\quad \Longleftrightarrow \quad t=-\tau \;\ln \left(1-{\frac {V(t)}{V_{0}}}\right)$

Поскольку t ₁ и t ₂ таковы, что

${\frac {V(t_{1})}{V_{0}}}=0.1\qquad {\frac {V(t_{2})}{V_{0}}}=0.9,$

решив эти уравнения, находим аналитическое выражение для t ₁ и t ₂ :

$t_{1}=-\tau \;\ln \left(1-0.1\right)=-\tau \;\ln \left(0.9\right)=-\tau \;\ln \left({\frac {9}{10}}\right)=\tau \;\ln \left({\frac {10}{9}}\right)=\tau ({\ln 10}-{\ln 9})$

$t_{2}=\tau \ln {10}$

Таким образом, время нарастания пропорционально постоянной времени:

$t_{r}=t_{2}-t_{1}=\tau \cdot \ln 9\cong \tau \cdot 2.197$

Теперь, отметив, что

$\tau =RC={\frac {1}{2\pi f_{H}}},$

затем

$t_{r}={\frac {2\ln 3}{2\pi f_{H}}}={\frac {\ln 3}{\pi f_{H}}}\cong {\frac {0.349}{f_{H}}},$

и поскольку граница высоких частот равна полосе пропускания,

$t_{r}\cong {\frac {0.35}{BW}}\quad \Longleftrightarrow \quad BW\cdot t_{r}\cong 0.35.$

Наконец, обратите внимание, что если вместо этого учитывать время нарастания от 20% до 80%, t _r становится:

$t_{r}=\tau \cdot \ln {\frac {8}{2}}=(2\ln 2)\tau \cong 1.386\tau \quad \Longleftrightarrow \quad t_{r}={\frac {\ln 2}{\pi BW}}\cong {\frac {0.22}{BW}}$

Однокаскадная

Даже для простой однокаскадной низкочастотной сети RL время нарастания от 10% до 90% пропорционально постоянной времени сети τ = Л ⁄ Р . Формальное доказательство этого утверждения происходит точно так же, как показано в предыдущем разделе: единственная разница между окончательными выражениями для времени нарастания обусловлена ​​различием в выражениях для постоянной времени τ двух разных схем, ведущих в данном случае к следующему результату

$t_{r}=\tau \cdot \ln 9={\frac {L}{R}}\cdot \ln 9\cong {\frac {L}{R}}\cdot 2.197$

нарастания затухающих систем

По словам Левина (1996 , стр. 158), для систем с недостаточным демпфированием, используемых в теории управления, время нарастания обычно определяется как время, за которое форма сигнала переходит от 0% до 100% от своего конечного значения: соответственно, время нарастания от 0 до 100 % недодемпфированной системы 2-го порядка имеет следующий вид:

$t_{r}\cdot \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\left[\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {\sqrt {1-\zeta ^{2}}}{\zeta }}\right)\right]$

Квадратичная переходная аппроксимация нормированного времени нарастания для системы 2-го порядка, характеристика , отсутствие нулей:

$t_{r}\cdot \omega _{0}=2.230\zeta ^{2}-0.078\zeta +1.12$

где ζ – коэффициент затухания , а ω ₀ – собственная частота сети.

Время нарастания каскадных блоков

Рассмотрим систему, состоящую из i = , _{… 1} n каскадно соединенных невзаимодействующих блоков, каждый из которых имеет время нарастания tri, , n , и не имеет перерегулирования в их переходной реакции : предположим также, что входной сигнал первого блока имеет время нарастания значение которого равно t _{r S} . После этого его выходной сигнал имеет время нарастания t _{r 0,} равное

$t_{r_{O}}={\sqrt {t_{r_{S}}^{2}+t_{r_{1}}^{2}+\dots +t_{r_{n}}^{2}}}$

Согласно Valley & Wallman (1948 , стр. 77–78), этот результат является следствием центральной предельной теоремы и был доказан Wallman (1950) : однако подробный анализ проблемы представлен Петиттом и Маквортером (1961 , §4–9, стр. 107–115), которые также считают Элмора (1948) первым, кто доказал предыдущую формулу на довольно строгой основе.

См. также

• Время падения
• Частотная характеристика
• Импульсивный ответ
• Шаговый отклик
• Время урегулирования

Ссылки

• Черри, EM ; Хупер, Делавэр (1968), Усилительные устройства и конструкция усилителя нижних частот , Нью-Йорк – Лондон – Сидней : John Wiley & Sons , стр. xxxii+1036 .
• Элмор, Уильям К. (январь 1948 г.), «Переходный процесс затухающих линейных сетей с особым учетом широкополосных усилителей», Журнал прикладной физики , 19 (1): 55–63, Bibcode : 1948JAP....19.. .55E , дои : 10.1063/1.1697872 .
• Левин, Уильям С. (1996), Справочник по контролю , Бока-Ратон, Флорида : CRC Press , стр. xvi + 1548, ISBN  0-8493-8570-9 .
• Левин, Уильям С. (2011) [1996], Справочник по управлению: основы систем управления (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида : CRC Press , стр. xx+766, ISBN  978-1-4200-7362-1 .
• Миллман, Джейкоб; Тауб, Герберт (1965), Импульсные, цифровые и коммутационные сигналы , Нью-Йорк – Сент-Луис – Сан-Франциско – Торонто – Лондон – Сидней : McGraw-Hill , стр. xiv+958 .
• Отдел национальных систем связи, технологий и стандартов (1 марта 1997 г.), Федеральный стандарт 1037C. Телекоммуникации: Глоссарий терминов в области телекоммуникаций , FSC TELE, том. FED–STD–1037, Вашингтон: Служба информационных технологий Управления общего обслуживания, стр. 488 .
• Найз, Норман С. (2011), Разработка систем управления (6-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , стр. xviii+928, ISBN  978-0470-91769-5 .
• Огата, Кацухико (2010) [1970], Современная техника управления (5-е изд.), Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси : Прентис Холл , стр. x + 894, ISBN  978-0-13-615673-4 .
• Орвилер, Боб (декабрь 1969 г.), Схемы вертикальных усилителей (PDF) , Принципиальные схемы, том. 062-1145-00 (1-е изд.), Бивертон, Орегон : Tektronix , стр. 461 .
• Петитт, Джозеф Мэйо ; Маквортер, Малкольм Майерс (1961), Схемы электронных усилителей. Теория и проектирование , Серия McGraw-Hill по электротехнике и электронике, Нью-Йорк – Торонто – Лондон: McGraw-Hill , стр. xiii+325 .
• Вэлли, Джордж Э. младший; Уоллман, Генри (1948), «§2 главы 2 и §1–7 главы 7», Ламповые усилители , Серия радиационной лаборатории Массачусетского технологического института, том. 18, Нью-Йорк : McGraw-Hill ., стр. xvii+743 .
• Уоллман, Генри (1950), «Переходный процесс и центральная предельная теорема вероятности», в Таубе, А.Х. (ред.), Электромагнитная теория (Массачусетский технологический институт, 29–31 июля 1948 г.) , Труды симпозиумов по прикладной математике , том. 2, Провиденс : Американское математическое общество ., с. 91, МР   0034250 , Збл   0035.08102 .