Ступенчатая функция

математике функция от действительных чисел называется ступенчатой функцией , если ее можно записать в виде конечной линейной комбинации индикаторных функций интервалов В . Неформально говоря, ступенчатая функция — это кусочно- постоянная функция, имеющая лишь конечное число частей.

Пример ступенчатой функции (красный график). В этой функции каждая постоянная подфункция со значением функции *α _i* ( i = 0, 1, 2, ...) определяется интервалом *A _i* , а интервалы выделяются точками *x _j* ( j = 1, 2, .. .). Эта конкретная ступенчатая функция непрерывна справа .

и Определение последствия первые

Функция $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ называется ступенчатой функцией, если ее можно записать в виде ^{[ нужна ссылка ]}

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)

, для всех действительных чисел

x

где $n\geq 0$ , $\alpha _{i}$ действительные числа, $A_{i}$ являются интервалами, а $\chi _{A}$ – индикаторная функция $A$ :

\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\\\end{cases}}

В этом определении интервалы $A_{i}$ можно предположить, что он обладает следующими двумя свойствами:

Интервалы попарно не пересекаются : $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ для $i\neq j$
Объединение : интервалов — это вся вещественная линия $\bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .$

Действительно, если изначально это не так, можно выбрать другой набор интервалов, для которых эти предположения выполняются. Например, ступенчатая функция

f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}

можно записать как

f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.

Варианты определения [ править ]

Иногда интервалы должны быть открыты справа. ^[1] или разрешено быть синглтоном. ^[2] Условие конечности набора интервалов часто отбрасывают, особенно в школьной математике. ^[3]^[4]^[5] хотя он все равно должен быть локально конечным , что приводит к определению кусочно-постоянных функций.

Примеры [ править ]

— Постоянная функция это тривиальный пример ступенчатой функции. Тогда существует только один интервал, $A_{0}=\mathbb {R} .$
Знаковая функция $sn(x)$ , равная −1 для отрицательных чисел и +1 для положительных чисел, является простейшей непостоянной ступенчатой функцией.
Функция Хевисайда $H (x)$ , равная 0 для отрицательных чисел и 1 для положительных чисел, эквивалентна функции знака с точностью до сдвига и масштаба диапазона ( $H=(\operatorname {sgn} +1)/2$ ). Это математическая концепция, лежащая в основе некоторых тестовых сигналов , например тех, которые используются для определения переходной характеристики динамической системы .

, Прямоугольная функция нормализованная коробчатая функция , используется для моделирования единичного импульса.

Непримеры [ править ]

Функция целой части не является ступенчатой функцией согласно определению этой статьи, поскольку она имеет бесконечное количество интервалов. Однако некоторые авторы ^[6] также определите ступенчатые функции с бесконечным числом интервалов. ^[6]

Свойства [ править ]

Сумма и произведение двух ступенчатых функций снова является ступенчатой функцией. Произведение ступенчатой функции на число также является ступенчатой функцией. Таким образом, ступенчатые функции образуют алгебру над действительными числами.
Ступенчатая функция принимает только конечное число значений. Если интервалы $A_{i},$ для $i=0,1,\dots ,n$ в приведенном выше определении ступенчатой функции не пересекаются и их объединение представляет собой действительную линию, тогда $f(x)=\alpha _{i}$ для всех $x\in A_{i}.$
Определенный интеграл ступенчатой функции является кусочно-линейной функцией .
от Интеграл Лебега ступенчатой функции $\textstyle f=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$ является $\textstyle \int f\,dx=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),$ где $\ell (A)$ длина интервала $A$ , и здесь предполагается, что все интервалы $A_{i}$ имеют конечную длину. Фактически это равенство (рассматриваемое как определение) может стать первым шагом в построении интеграла Лебега. ^[7]
Дискретную случайную величину иногда определяют как случайную величину, которой кумулятивная функция распределения является кусочно-постоянной. ^[8] В данном случае это локально ступенчатая функция (глобально она может иметь бесконечное количество шагов). Однако обычно любая случайная величина, имеющая только счетное множество возможных значений, называется дискретной случайной величиной, в этом случае их кумулятивная функция распределения не обязательно локально является ступенчатой функцией, поскольку в конечной области может накапливаться бесконечное количество интервалов.