Локально конечная коллекция

Коллекция подмножеств топологического пространства. $X$ называется локально конечным, если каждая точка пространства имеет окрестность , пересекающую только конечное число множеств в коллекции. ^[1]

В математической области топологии это локальная конечность свойство совокупности подмножеств — топологического пространства . Это имеет фундаментальное значение для изучения паракомпактности и топологической размерности .

Обратите внимание, что термин « локально конечный» имеет разные значения в других математических областях.

Примеры и свойства [ править ]

набор Конечный подмножеств топологического пространства локально конечен. ^[2] Бесконечные коллекции также могут быть локально конечными: например, совокупность всех подмножеств $\mathbb {R}$ формы $(n,n+2)$ для целого числа $n$ . ^[1] Счетная коллекция подмножеств не обязательно должна быть локально конечной, как показывает совокупность всех подмножеств $\mathbb {R}$ формы $(-n,n)$ для натурального числа n .

Если набор множеств локально конечен, то набор всех замыканий этих множеств также локально конечен. Причина этого в том, что если открытое множество , содержащее точку, пересекает замыкание множества, оно обязательно пересекает само множество, следовательно, окрестность может пересекать не более того же числа замыканий (она может пересекать меньшее количество замыканий, поскольку два различных, действительно непересекающиеся, множества могут иметь одно и то же замыкание). Обратное, однако, может оказаться невозможным, если замыкания множеств не различны. Например, в топологии конечного дополнения на $\mathbb {R}$ совокупность всех открытых множеств не локально конечна, но совокупность всех замыканий этих множеств локально конечна (поскольку единственными замыканиями являются $\mathbb {R}$ и пустое множество ).

Компактные пространства [ править ]

Всякий локально конечный набор подмножеств компакта должен быть конечным. Действительно, пусть $G=\{G_{a}|a\in A\}$ — локально конечное семейство подмножеств компакта $X$ . Для каждой точки $x\in X$ , выберите открытое соседство $U_{x}$ который пересекает конечное число подмножеств в $G$ . Очевидно, семейство множеств: $\{U_{x}|x\in X\}$ представляет собой открытую крышку $X$ , и, следовательно, имеет конечное подпокрытие : $\{U_{k_{n}}|n\in 1\dots n\}$ . Поскольку каждый $U_{k_{i}}$ пересекает только конечное число подмножеств в $G$ , объединение всех таких $U_{k_{i}}$ пересекает только конечное число подмножеств в $G$ . Поскольку этот союз представляет собой все пространство $X$ , отсюда следует, что пересекает только конечное число подмножеств в коллекции $G$ . И поскольку $G$ состоит из подмножеств $X$ каждый член $G$ должен пересекаться $X$ , таким образом $G$ конечно.

Топологическое пространство, в котором каждое открытое покрытие допускает локально конечное открытое уточнение, называется паракомпактным . Всякий локально конечный набор подмножеств топологического пространства также точечно-конечен . Топологическое пространство, в котором каждое открытое покрытие допускает точечно-конечное открытое уточнение, называется метакомпактным .

Вторые счетные пробелы [ править ]

Никакое несчетное покрытие пространства Линделефа не может быть локально конечным, по существу, по тем же соображениям, что и в случае компактных пространств. В частности, никакое несчетное покрытие второго счетного пространства не является локально конечным.

Закрытые наборы [ править ]

Конечное объединение замкнутых множеств всегда замкнуто. Легко привести пример бесконечного объединения замкнутых множеств, которое не является замкнутым. Однако если мы рассмотрим локально конечный набор замкнутых множеств, объединение будет замкнутым. Чтобы убедиться в этом, заметим, что если $x$ является точкой вне объединения этого локально конечного набора замкнутых множеств, мы просто выбираем окрестность $V$ из $x$ который пересекает этот набор только в конечном числе этих множеств. Определите биективное отображение из набора множеств, которые $V$ пересекается с ${1,\dots ,k}$ таким образом давая индекс каждому из этих наборов. Затем для каждого набора выберите открытый набор $U_{i}$ содержащий $x$ это не пересекается с ним. Пересечение всех подобных $U_{i}$ для $1\leq i\leq k$ пересекался с $V$ , является окрестностью $x$ которое не пересекает объединение этого набора замкнутых множеств.

Счетно локально конечные коллекции [ править ]

Коллекция в космосе $X$ является счетно локально конечен (или σ-локально конечен ), если оно является объединением счетного семейства локально конечных наборов подмножеств $X$ . Счетная локальная конечность является ключевой гипотезой в теореме о метризации Нагаты-Смирнова , которая утверждает, что топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно , Хаусдорфа и имеет счетно локально конечный базис . ^[3]

См. также [ править ]

Коллекция Point-finite – Обложка набора

Цитаты [ править ]

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Мункрес 2000 , с. 244.
^ Мункрес 2000 , с. 245 Лемма 39.1.
^ Мункрес 2000 , с. 250 Теорема 40.3.

Ссылки [ править ]

Манкрес, Джеймс Р. (2000), Топология (2-е изд.), Прентис Холл, ISBN 0-13-181629-2

[FOOTNOTEMunkres2000244-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Мункрес 2000 , с. 244.

[FOOTNOTEMunkres2000245_Lemma_39.1-2] Мункрес 2000 , с. 245 Лемма 39.1.

[FOOTNOTEMunkres2000250_Theorem_40.3-3] Мункрес 2000 , с. 250 Теорема 40.3.

[1]

[2]

[3]