Пересечение (теория множеств)

Пересечение
	Пересечение двух множеств и представлены кружками. находится в красном цвете.
Тип	Установить операцию
Поле	Теория множеств
Заявление	Пересечение и это набор элементов, которые лежат в обоих множествах и установить .
Символическое заявление

В множеств пересечение множеств двух теории $A$ и $B,$ обозначается $A\cap B,$ ^[1] множество, содержащее все элементы $A$ которые также принадлежат $B$ или, что то же самое, все элементы $B$ которые также принадлежат $A.$ ^[2]

Обозначения и терминология

Перекресток обозначается символом " $\cap$ " между терминами; то есть в инфиксной записи . Например: $\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$ $\{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing$ $\mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N}$ $\{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}$ Пересечение более двух множеств (обобщенное пересечение) можно записать как: $\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$ что похоже на обозначение заглавной сигмы .

Пояснения к символам, используемым в этой статье, можно найти в таблице математических символов .

Определение

Пересечение двух множеств $A$ и $B,$ обозначается $A\cap B$ , ^[3] это набор всех объектов, которые являются членами обоих наборов $A$ и $B.$ В символах: $A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.$

То есть, $x$ является элементом пересечения $A\cap B$ тогда и только тогда, когда $x$ одновременно является элементом $A$ и элемент $B.$ ^[3]

Например:

Пересечение множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {2, 3}.
Число 9 не находится на пересечении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и множества нечетных чисел {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, поскольку 9 не является простым числом.

Пересекающиеся и непересекающиеся множества

Мы говорим, что $A$ пересекается (встречается) $B$ если существует какой-то $x$ это элемент обоих $A$ и $B,$ в этом случае мы также говорим, что $A$ пересекается (встречается) $B$ в $x$ . Эквивалентно, $A$ пересекает $B$ если их пересечение $A\cap B$ является обитаемым множеством , то есть существует некоторое $x$ такой, что $x\in A\cap B.$

Мы говорим, что $A$ и $B$ , не пересекаются если $A$ не пересекается $B.$ Говоря простым языком, у них нет ничего общего. $A$ и $B$ не пересекаются, если их пересечение пусто , обозначаемое $A\cap B=\varnothing .$

Например, наборы $\{1,2\}$ и $\{3,4\}$ не пересекаются, а множество четных чисел пересекает множество кратных 3 в точках, кратных 6.

Алгебраические свойства

Бинарное пересечение — это ассоциативная операция; то есть для любых наборов $A,B,$ и $C,$ у одного есть

$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.$ Таким образом, круглые скобки могут быть опущены без двусмысленности: любое из приведенных выше значений можно записать как $A\cap B\cap C$ . Пересечение также коммутативно . То есть для любого $A$ и $B,$ у одного есть $A\cap B=B\cap A.$ Пересечение любого набора с пустым набором приводит к образованию пустого набора; то есть для любого набора $A$ , $A\cap \varnothing =\varnothing$ Кроме того, операция пересечения идемпотентна ; то есть любой набор $A$ удовлетворяет этому $A\cap A=A$ . Все эти свойства следуют из аналогичных фактов о логической конъюнкции .

Пересечение распределяется по объединению , а объединение распределяется по пересечению. То есть для любых наборов $A,B,$ и $C,$ у одного есть ${\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}$ Внутри вселенной $U,$ можно определить дополнение $A^{c}$ из $A$ быть совокупностью всех элементов $U$ не в $A.$ Кроме того, пересечение ул. $A$ и $B$ может быть записано как дополнение объединения их дополнений, легко выведенное из законов Де Моргана : $A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}$

Произвольные перекрестки

Наиболее общее понятие — пересечение произвольного непустого набора множеств.Если $M$ — непустое множество, элементы которого сами являются множествами, то $x$ элементом пересечения является $M$ тогда и только тогда, когда для каждого элемента $A$ из $M,$ $x$ является элементом $A.$ В символах: $\left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).$

Обозначения этого последнего понятия могут значительно различаться. Теоретики множеств иногда пишут: $\bigcap M$ ", а другие вместо этого напишут " ${\bigcap }_{A\in M}A$ ".Последнее обозначение можно обобщить до « ${\bigcap }_{i\in I}A_{i}$ ", что относится к пересечению коллекции $\left\{A_{i}:i\in I\right\}.$ Здесь $I$ является непустым множеством, и $A_{i}$ это набор для каждого $i\in I.$

В случае, если индексный набор $I$ представляет собой набор натуральных чисел обозначения, аналогичные обозначениям бесконечного произведения , можно увидеть : $\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.$

Когда форматирование затруднено, это тоже можно написать " $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots$ ". Этот последний пример, пересечение счетного числа множеств, на самом деле очень распространен; пример см. в статье об σ-алгебрах .

Нулевое пересечение

В предыдущем разделе мы исключили случай, когда $M$ был пустой набор ( $\varnothing$ ). Причина в следующем: Пересечение коллекции $M$ определяется как набор (см. обозначение set-builder ) $\bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ for all }}A\in M,x\in A\}.$ Если $M$ пусто, наборов нет $A$ в $M,$ поэтому возникает вопрос: «Какой $x$ удовлетворяет указанному условию?» Ответ кажется всевозможным. $x$ . Когда $M$ пусто, то приведенное выше условие является примером пустой истины . Таким образом, пересечение пустого семейства должно быть универсальным множеством ( единичным элементом для операции пересечения), ^[4]но в стандартной теории множеств ( ZF ) универсального множества не существует.

Однако, если ограничиться контекстом подмножеств данного фиксированного набора $X$ , понятие пересечения пустой совокупности подмножеств $X$ четко определен. В том случае, если $M$ пусто, его пересечение есть $\bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ for all }}A\in \varnothing \}$ . Поскольку все $x\in X$ бесполезно удовлетворяют требуемому условию пересечения пустой совокупности подмножеств $X$ это все из $X.$ В формулах $\bigcap \varnothing =X.$ Это соответствует интуитивному предположению, что по мере того, как коллекции подмножеств становятся меньше, их соответствующие пересечения становятся больше; в крайнем случае пустая коллекция имеет пересечение, равное всему базовому набору.

Кроме того, в теории типов $x$ имеет установленный тип $\tau ,$ поэтому считается, что пересечение имеет тип $\mathrm {set} \ \tau$ (тип множеств, элементы которых находятся в $\tau$ ), и мы можем определить $\bigcap _{A\in \emptyset }A$ быть универсальным набором $\mathrm {set} \ \tau$ (множество, элементами которого являются в точности все термы типа $\tau$ ).

См. также

Алгебра множеств - Тождества и отношения с участием множеств.
Кардинальность - определение количества элементов в наборе.
Дополнение - набор элементов, не входящих в данное подмножество.
Пересечение (евклидова геометрия) — фигура, образованная из точек, общих для других фигур.
Граф пересечений - график, представляющий пересечения между заданными множествами.
Теория пересечений - Раздел алгебраической геометрии.
Список тождеств и отношений множеств . Равенства для комбинаций множеств.
Логический союз – Логическая связка И
MinHash — техника интеллектуального анализа данных
Наивная теория множеств - Неформальные теории множеств
Симметричная разница - элементы ровно в одном из двух наборов.
Объединение — набор элементов в любом из некоторых наборов.

Ссылки

^ «Пересечение множеств» . web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 04 августа 2020 г. Проверено 4 сентября 2020 г.
^ «Статистика: правила вероятности» . People.richland.edu . Проверено 8 мая 2012 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Операции над множествами | Объединение | Пересечение | Дополнение | Различие | Взаимоисключающие | Разделения | Закон де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение» . www.probabilitycourse.com . Проверено 4 сентября 2020 г.
^ Меггинсон, Роберт Э. (1998). «Глава 1». Введение в теорию банахового пространства . Тексты для аспирантов по математике . Том. 183. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. хх+596. ISBN 0-387-98431-3 .

Дальнейшее чтение

Девлин, К.Дж. (1993). Радость множеств: основы современной теории множеств (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4 .
Манкрес, Джеймс Р. (2000). «Теория множеств и логика». Топология (Второе изд.). Река Аппер-Седл: Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2 .
Розен, Кеннет (2007). «Базовые структуры: множества, функции, последовательности и суммы». Дискретная математика и ее приложения (Шестое изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-322972-0 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение» . Математический мир .

[1] «Пересечение множеств» . web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 04 августа 2020 г. Проверено 4 сентября 2020 г.

[2] «Статистика: правила вероятности» . People.richland.edu . Проверено 8 мая 2012 г.

[:1-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б «Операции над множествами | Объединение | Пересечение | Дополнение | Различие | Взаимоисключающие | Разделения | Закон де Моргана | Распределительный закон | Декартово произведение» . www.probabilitycourse.com . Проверено 4 сентября 2020 г.

[4] Меггинсон, Роберт Э. (1998). «Глава 1». Введение в теорию банахового пространства . Тексты для аспирантов по математике . Том. 183. Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. хх+596. ISBN 0-387-98431-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo