Аксиома экстенсиональности

В аксиоматической теории множеств и разделах логики , математики и информатики , которые ее используют, аксиома экстенсиональности , аксиома расширения или аксиома протяженности является одной из аксиом теории множеств Цермело -Френкеля . Неформально это говорит о том, что два множества A и B равны тогда и только тогда, когда A и B имеют одни и те же члены.

Официальное заявление

На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:

$\forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\implies A=B)$

или словами:

Для любого множества A и любого множества B , если для каждого множества является X членом A тогда и только тогда, когда является членом B то A равно B. X X ,

(На самом деле не обязательно, чтобы X здесь было множеством — но в ZF все так. См. раздел Ur-elements ниже, когда это нарушается.)

Обратное, $\forall A\,\forall B\,(A=B\implies \forall X\,(X\in A\iff X\in B)),$ этой аксиомы следует из подстановки равенства свойства .

Интерпретация

Чтобы понять эту аксиому, обратите внимание, что предложение в скобках в приведенном выше символическом утверждении просто утверждает, что A и B имеют одни и те же члены.Таким образом, аксиома на самом деле утверждает, что два множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же членов.Эту аксиому можно также интерпретировать как:

Набор определяется однозначно своими членами.

Аксиому экстенсиональности можно использовать с любым утверждением вида $\exists A\,\forall X\,(X\in A\iff P(X)\,)$,где P — любой унарный предикат , не упоминающий A , для определения уникального набора $A$ членами которого являются в точности множества, удовлетворяющие предикату $P$.Затем мы можем ввести новый символ для $A$; именно таким образом определения в обычной математике в конечном итоге работают, когда их утверждения сводятся к чисто теоретико-множественным терминам.

Аксиома экстенсиональности обычно не противоречит теоретико-множественным основам математики, и она или ее эквивалент появляется практически в любой альтернативной аксиоматизации теории множеств.Однако для некоторых целей могут потребоваться изменения, как показано ниже.

В логике предикатов без равенства

Приведенная выше аксиома предполагает, что равенство является примитивным символом в логике предикатов .Некоторые трактовки аксиоматической теории множеств предпочитают обходиться без этого и вместо этого трактуют приведенное выше утверждение не как аксиому, а как определение равенства. Тогда необходимо включить в качестве аксиом об этом определяемом символе обычные аксиомы равенства из логики предикатов. Большинство аксиом равенства по-прежнему следуют из определения; оставшееся является свойством замены,

$\forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\implies \forall Y\,(A\in Y\iff B\in Y)\,),$

и именно эта аксиома в этом контексте называется аксиомой экстенсиональности.

В теории множеств с ur-элементами

ur -элемент — это член множества, которое само по себе не является набором.В аксиомах Цермело–Френкеля нет ur-элементов, но они включены в некоторые альтернативные аксиоматизации теории множеств.Ur-элементы можно рассматривать как логический тип, отличный от наборов; в этом случае, $B\in A$ не имеет смысла, если $A$ является ur-элементом, поэтому аксиома экстенсиональности применима только к множествам.

Альтернативно, в нетипизированной логике мы можем потребовать $B\in A$ быть ложным всякий раз, когда $A$ является ur-элементом.В этом случае обычная аксиома экстенсиональности будет подразумевать, что каждый ur-элемент равен пустому множеству .Чтобы избежать этого последствия, мы можем изменить аксиому экстенсиональности, чтобы она применялась только к непустым множествам, так что она гласит:

$\forall A\,\forall B\,(\exists X\,(X\in A)\implies [\forall Y\,(Y\in A\iff Y\in B)\implies A=B]\,).$

То есть:

Для любого множества A и любого множества B , если A — непустое множество (то есть, если существует член X из A ), то если A и B имеют в точности одинаковые члены, то они равны.

Еще одной альтернативой в нетипизированной логике является определение $A$ быть единственным элементом $A$в любое время $A$ является ur-элементом. Хотя этот подход может помочь сохранить аксиому экстенсиональности, аксиомы регулярности вместо этого потребуется корректировка .

См. также

• Экстенсиональность для общего обзора.

Ссылки

• Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN   0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
• Джех, Томас , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN   3-540-44085-2 .
• Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN   0-444-86839-9 .