Нечеткий набор

В математике , нечеткие множества (также известные как неопределенные множества ) — это множества которых элементы имеют степени принадлежности. Нечеткие множества были независимо введены Лотфи А. Заде в 1965 году как расширение классического понятия множества. В то же время Салии (1965) определил более общий вид структуры, названный « L -отношением », которое он изучал в абстрактном алгебраическом контексте; нечеткие отношения — это частные случаи L -отношений, когда L — единичный интервал [0, 1].Сейчас они используются в нечеткой математике , имеют приложения в таких областях, как лингвистика ( Де Кок, Боденхофер и Керре, 2000 ), принятие решений ( Кузьмин, 1982 ) и кластеризация ( Бездек, 1978 ).

В классической теории множеств принадлежность элементов множеству оценивается в двоичных терминах по бивалентному условию — элемент либо принадлежит, либо не принадлежит множеству. Напротив, теория нечетких множеств допускает постепенную оценку принадлежности элементов множеству; это описывается с помощью функции принадлежности, имеющей значение в действительном единичном интервале [0, 1]. Нечеткие множества обобщают классические множества, поскольку индикаторные функции (они же характеристические функции) классических множеств являются частными случаями функций принадлежности нечетких множеств, если последние принимают только значения 0 или 1. В теории нечетких множеств классические бивалентные множества обычно называют четкими множествами . Теория нечетких множеств может использоваться в широком спектре областей, в которых информация является неполной или неточной, например, в биоинформатике .

Определение

Нечеткое множество – это пара $(U,m)$ где $U$ представляет собой набор (часто требуется, чтобы он был непустым ) и $m\colon U\rightarrow [0,1]$ функция принадлежности. Эталонный набор $U$ (иногда обозначается $\Omega$ или $X$) называется вселенной дискурса , и для каждого $x\in U,$ ценность $m(x)$ называется степенью принадлежности $x$ в $(U,m)$. Функция $m=\mu _{A}$ называется функцией принадлежности нечеткого множества $A=(U,m)$.

Для конечного множества $U=\{x_{1},\dots ,x_{n}\},$ нечеткий набор $(U,m)$ часто обозначается $\{m(x_{1})/x_{1},\dots ,m(x_{n})/x_{n}\}.$

Позволять $x\in U$. Затем $x$ называется

• не входит в нечеткое множество $(U,m)$ если $m(x)=0$ (нет участника),
• полностью включено, если $m(x)=1$ (полноправный член),
• частично включено, если $0<m(x)<1$ (нечеткий член).

(Четкое) множество всех нечетких множеств во вселенной. $U$ обозначается $SF(U)$ (или иногда просто $F(U)$).

Четкие множества, относящиеся к нечеткому множеству

Для любого нечеткого множества $A=(U,m)$ и $\alpha \in [0,1]$ определены следующие четкие множества:

• $A^{\geq \alpha }=A_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)\geq \alpha \}$ называется его α-разрезом (также известным как множество α-уровней )
• $A^{>\alpha }=A'_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)>\alpha \}$ называется его сильным α-разрезом (также известным как сильное множество α-уровней )
• $S(A)=\operatorname {Supp} (A)=A^{>0}=\{x\in U\mid m(x)>0\}$ называется его поддержкой
• $C(A)=\operatorname {Core} (A)=A^{=1}=\{x\in U\mid m(x)=1\}$ называется его ядром (или иногда ядром $\operatorname {Kern} (A)$).

Обратите внимание, что некоторые авторы понимают «ядро» по-другому; см. ниже.

Другие определения

• Нечеткий набор $A=(U,m)$ пусто ​ ( $A=\varnothing$) тогда и только тогда, когда

$\forall$$x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0$

• Два нечетких множества $A$ и $B$ равны ​ ( $A=B$) если и только

$\forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)$

• Нечеткий набор $A$ входит в нечеткое множество $B$ ( $A\subseteq B$) если и только

$\forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)$

• Для любого нечеткого множества $A$, любой элемент $x\in U$ это удовлетворяет

$\mu _{A}(x)=0.5$

называется точкой пересечения .

• Учитывая нечеткое множество $A$, любой $\alpha \in [0,1]$, для чего $A^{=\alpha }=\{x\in U\mid \mu _{A}(x)=\alpha \}$ не пуст, называется уровнем А.
• Набор уровней A — это набор всех уровней. $\alpha \in [0,1]$ представляющие отдельные разрезы. Это образ ​ $\mu _{A}$:

$\Lambda _{A}=\{\alpha \in [0,1]:A^{=\alpha }\neq \varnothing \}=\{\alpha \in [0,1]:{}$$\exists$$x\in U(\mu _{A}(x)=\alpha )\}=\mu _{A}(U)$

• Для нечеткого набора $A$, его высота определяется выражением

$\operatorname {Hgt} (A)=\sup\{\mu _{A}(x)\mid x\in U\}=\sup(\mu _{A}(U))$

где $\sup$ обозначает верхнюю грань , которая существует потому, что $\mu _{A}(U)$ непусто и ограничено сверху единицей. Если U конечно, мы можем просто заменить верхнюю грань максимумом.

• Нечеткий набор $A$ называется нормализованным тогда и только тогда, когда

$\operatorname {Hgt} (A)=1$

В конечном случае, когда верхняя грань является максимумом, это означает, что по крайней мере один элемент нечеткого множества имеет полное членство. Непустое нечеткое множество $A$ может быть нормализован с результатом ${\tilde {A}}$ разделив функцию принадлежности нечеткого множества на его высоту:

$\forall x\in U:\mu _{\tilde {A}}(x)=\mu _{A}(x)/\operatorname {Hgt} (A)$

Помимо сходства, эта нормализация отличается от обычной нормализации тем, что нормировочная константа не является суммой.

• Для нечетких множеств $A$ действительных чисел $(U\subseteq \mathbb {R} )$ при ограниченной поддержке ширина определяется как

$\operatorname {Width} (A)=\sup(\operatorname {Supp} (A))-\inf(\operatorname {Supp} (A))$

В случае, когда $\operatorname {Supp} (A)$ является конечным множеством или, в более общем смысле, замкнутым множеством , ширина равна всего лишь

$\operatorname {Width} (A)=\max(\operatorname {Supp} (A))-\min(\operatorname {Supp} (A))$

В n -мерном случае $(U\subseteq \mathbb {R} ^{n})$ вышесказанное можно заменить n -мерным объемом $\operatorname {Supp} (A)$.

В общем, это можно определить по любой мере на U , например, путем интегрирования (например, интегрирования Лебега ) $\operatorname {Supp} (A)$.

• Настоящий нечеткий набор $A(U\subseteq \mathbb {R} )$ называется выпуклым (в нечетком смысле, не путать с четким выпуклым множеством ), если и только если

$\forall x,y\in U,\forall \lambda \in [0,1]:\mu _{A}(\lambda {x}+(1-\lambda )y)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))$.

Без ограничения общности мы можем взять x ≤ y , что дает эквивалентную формулировку

$\forall z\in [x,y]:\mu _{A}(z)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))$.

Это определение можно расширить до определения для общего топологического пространства U : мы говорим, что нечеткое множество $A$ является выпуклым , когда для любого подмножества Z из U выполняется условие

$\forall z\in Z:\mu _{A}(z)\geq \inf(\mu _{A}(\partial Z))$

держится, где $\partial Z$ обозначает границу Z ​ и $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$ обозначает образ множества X (здесь $\partial Z$) при функции f (здесь $\mu _{A}$).

Операции с нечетким множеством

Основная статья: Операции с нечетким множеством

Хотя дополнение нечеткого множества имеет одно наиболее распространенное определение, другие основные операции — объединение и пересечение — имеют некоторую двусмысленность.

• Для данного нечеткого множества $A$, его дополнение $\neg {A}$ (иногда обозначается как $A^{c}$ или $cA$) определяется следующей функцией принадлежности:

$\forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)$.

• Пусть t — t-норма , а s — соответствующая s-норма (также известная как t-конорма). Учитывая пару нечетких множеств $A,B$, их пересечение $A\cap {B}$ определяется:

$\forall x\in U:\mu _{A\cap {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$,

и их союз $A\cup {B}$ определяется:

$\forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=s(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$.

По определению t-нормы мы видим, что объединение и пересечение коммутативны , монотонны , ассоциативны и имеют как нулевой , так и единичный элемент . Для пересечения это ∅ и U соответственно, а для объединения они меняются местами. Однако объединение нечеткого множества и его дополнения не может привести к созданию полной вселенной U , а их пересечение не может дать пустое множество ∅. Поскольку пересечение и объединение ассоциативны, естественно определить пересечение и объединение конечного семейства нечетких множеств рекурсивно. Примечательно, что общепринятыми стандартными операторами объединения и пересечения нечетких множеств являются операторы max и min:

• $\forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ и $\mu _{A\cap {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$.

• Если стандартный отрицатель $n(\alpha )=1-\alpha ,\alpha \in [0,1]$ заменяется другим сильным отрицателем , нечеткая разность множеств может быть обобщена формулой

$\forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=n(\mu _{A}(x)).$

• Тройка нечеткого пересечения, объединения и дополнения образует тройку Де Моргана . То есть законы Де Моргана . на эту тройку распространяются

Примеры нечетких пар пересечений/объединений со стандартным отрицателем можно получить из образцов, представленных в статье о t-нормах .

Нечеткое пересечение не является идемпотентным вообще , поскольку стандартная t-норма min — единственная, обладающая этим свойством. Действительно, если в качестве t-нормы используется арифметическое умножение, результирующая операция нечеткого пересечения не является идемпотентной. То есть итеративное пересечение нечеткого множества само с собой не является тривиальным. Вместо этого он определяет m -ю степень нечеткого множества, которую можно канонически обобщить для нецелых показателей следующим образом:

• Для любого нечеткого множества $A$ и $\nu \in \mathbb {R} ^{+}$ v-я степень $A$ определяется функцией принадлежности:

$\forall x\in U:\mu _{A^{\nu }}(x)=\mu _{A}(x)^{\nu }.$

Случай второго показателя достаточно особенный, чтобы ему дали имя.

• Для любого нечеткого множества $A$ концентрация ​ $CON(A)=A^{2}$ определяется

$\forall x\in U:\mu _{CON(A)}(x)=\mu _{A^{2}}(x)=\mu _{A}(x)^{2}.$

принимая $0^{0}=1$, у нас есть $A^{0}=U$ и $A^{1}=A.$

• Учитывая нечеткие множества $A,B$, нечеткая разность множеств $A\setminus B$, также обозначается $A-B$, может быть определен непосредственно через функцию принадлежности:

$\forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),n(\mu _{B}(x))),$

что означает $A\setminus B=A\cap \neg {B}$, например:

$\forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)).$

Другое предложение по установленной разнице может быть таким:

$\forall x\in U:\mu _{A-{B}}(x)=\mu _{A}(x)-t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)).$

• Предложения о симметричных разностях нечетких множеств были сделаны Дюбуа и Прадом (1980), либо взяв абсолютное значение , либо давая

$\forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|,$

или используя комбинацию только max , min и стандартного отрицания, давая

$\forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=\max(\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)),\min(\mu _{B}(x),1-\mu _{A}(x))).$

Аксиомы для определения обобщенных симметричных различий, аналогичные аксиомам для t-норм, t-конорм и отрицателей, были предложены Vemur et al. (2014) с предшественниками Alsina et al. (2005) и Бедрегал и др. (2009).

• В отличие от четких множеств, для нечетких множеств также можно определить операции усреднения.

Непересекающиеся нечеткие множества

В отличие от общей неоднозначности операций пересечения и объединения, для непересекающихся нечетких множеств есть ясность:Два нечетких множества $A,B$ не пересекаются, если и только если

$\forall x\in U:\mu _{A}(x)=0\lor \mu _{B}(x)=0$

что эквивалентно

$\nexists$ $x\in U:\mu _{A}(x)>0\land \mu _{B}(x)>0$

а также эквивалентно

$\forall x\in U:\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))=0$

Мы помним, что min / max — это пара at/s-norm, и здесь подойдет любая другая.

Нечеткие множества не пересекаются тогда и только тогда, когда их носители не пересекаются в соответствии со стандартным определением четких множеств.

Для непересекающихся нечетких множеств $A,B$ любое пересечение даст ∅, а любое объединение даст тот же результат, который обозначается как

$A\,{\dot {\cup }}\,B=A\cup B$

с функцией принадлежности, заданной выражением

$\forall x\in U:\mu _{A{\dot {\cup }}B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)$

Обратите внимание, что только одно из обоих слагаемых больше нуля.

Для непересекающихся нечетких множеств $A,B$ справедливо следующее:

$\operatorname {Supp} (A\,{\dot {\cup }}\,B)=\operatorname {Supp} (A)\cup \operatorname {Supp} (B)$

Это можно обобщить на конечные семейства нечетких множеств следующим образом:Учитывая семью $A=(A_{i})_{i\in I}$ нечетких множеств с набором индексов I (например, I = {1,2,3,..., n }). Это семейство (попарно) непересекающееся тогда и только тогда, когда

${\text{for all }}x\in U{\text{ there exists at most one }}i\in I{\text{ such that }}\mu _{A_{i}}(x)>0.$

Семейство нечетких множеств $A=(A_{i})_{i\in I}$ не пересекается, если семейство основных носителей $\operatorname {Supp} \circ A=(\operatorname {Supp} (A_{i}))_{i\in I}$ не пересекается в стандартном смысле для семейств четких множеств.

Независимо от пары t/s-норм пересечение непересекающегося семейства нечетких множеств снова даст ∅, в то время как объединение не имеет двусмысленности:

${\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}=\bigcup _{i\in I}A_{i}$

с функцией принадлежности, заданной выражением

$\forall x\in U:\mu _{{\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}A_{i}}(x)=\sum _{i\in I}\mu _{A_{i}}(x)$

И снова только одно из слагаемых больше нуля.

Для непересекающихся семейств нечетких множеств $A=(A_{i})_{i\in I}$ справедливо следующее:

$\operatorname {Supp} \left({\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {Supp} (A_{i})$

Скалярная мощность

Для нечеткого набора $A$ с конечной поддержкой $\operatorname {Supp} (A)$ (т.е. «конечное нечеткое множество»), его мощность (она же скалярная мощность или сигма-счет ) определяется выражением

$\operatorname {Card} (A)=\operatorname {sc} (A)=|A|=\sum _{x\in U}\mu _{A}(x)$.

В случае, когда U само по себе является конечным множеством, относительная мощность определяется выражением

$\operatorname {RelCard} (A)=\|A\|=\operatorname {sc} (A)/|U|=|A|/|U|$.

Это можно обобщить, чтобы дивизор был непустым нечетким множеством: Для нечетких множеств $A,G$ с G ≠ ∅, мы можем определить относительную мощность следующим образом:

$\operatorname {RelCard} (A,G)=\operatorname {sc} (A|G)=\operatorname {sc} (A\cap {G})/\operatorname {sc} (G)$,

что очень похоже на выражение для условной вероятности .Примечание:

• $\operatorname {sc} (G)>0$ здесь.
• Результат может зависеть от конкретного выбранного пересечения (t-нормы).
• Для $G=U$ результат однозначен и аналогичен предыдущему определению.

Расстояние и сходство

Для любого нечеткого множества $A$ функция принадлежности $\mu _{A}:U\to [0,1]$ можно рассматривать как семью $\mu _{A}=(\mu _{A}(x))_{x\in U}\in [0,1]^{U}$. Последнее представляет собой метрическое пространство с несколькими метриками $d$ известно. Метрику можно получить из нормы (векторной нормы). $\|\,\|$ с помощью

$d(\alpha ,\beta )=\|\alpha -\beta \|$.

Например, если $U$ конечно, т.е. $U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}$, такая метрика может быть определена следующим образом:

$d(\alpha ,\beta ):=\max\{|\alpha (x_{i})-\beta (x_{i})|:i=1,...,n\}$ где $\alpha$ и $\beta$ представляют собой последовательности действительных чисел от 0 до 1.

Для бесконечности $U$, максимум можно заменить супремумом. Поскольку нечеткие множества однозначно определяются своей функцией принадлежности, эту метрику можно использовать для измерения расстояний между нечеткими множествами в одной и той же вселенной:

$d(A,B):=d(\mu _{A},\mu _{B})$,

который становится в приведенном выше примере:

$d(A,B)=\max\{|\mu _{A}(x_{i})-\mu _{B}(x_{i})|:i=1,...,n\}$.

Опять за бесконечность $U$ максимум должен быть заменен супремумом. Другие расстояния (например, каноническая 2-норма) могут расходиться, если бесконечные нечеткие множества слишком различны, например, $\varnothing$ и $U$.

Меры сходства (здесь обозначаются $S$) затем может быть получено из расстояния, например, по предложению Кочи:

$S=1/(1+d(A,B))$ если $d(A,B)$ конечно, $0$ еще,

или после Уильямса и Стила:

$S=\exp(-\alpha {d(A,B)})$ если $d(A,B)$ конечно, $0$ еще

где $\alpha >0$ является параметром крутизны и $\exp(x)=e^{x}$.

Другое определение интервальных (скорее «нечетких») мер сходства. $\zeta$ также предоставлены Бегом и Ашрафом.

L -нечеткие множества

Иногда используются более общие варианты понятия нечеткого множества, когда функции принадлежности принимают значения в алгебре или структуре (фиксированной или переменной). $L$ определенного вида; обычно требуется, чтобы $L$ быть хотя бы частично упорядоченным множеством или решеткой . Их обычно называют L -нечеткими множествами , чтобы отличить их от тех, которые оцениваются на единичном интервале. Обычные функции принадлежности со значениями в [0, 1] тогда называются [0, 1]-значными функциями принадлежности. Подобные обобщения впервые были рассмотрены в 1967 году Жозефом Гогеном , который был учеником Заде. Классическим следствием может быть указание значений истинности и принадлежности с помощью {f, t} вместо {0, 1}.

Расширение нечетких множеств было предложено Атанасовым . Интуиционистское нечеткое множество (IFS) $A$ характеризуется двумя функциями:

1. $\mu _{A}(x)$ – степень принадлежности x

2. $\nu _{A}(x)$ – степень непринадлежности x

с функциями $\mu _{A},\nu _{A}:U\to [0,1]$ с $\forall x\in U:\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1$.

Это напоминает ситуацию, когда какой-то человек, обозначенный $x$ голосование

• на предложение $A$: ( $\mu _{A}(x)=1,\nu _{A}(x)=0$),
• против этого:( $\mu _{A}(x)=0,\nu _{A}(x)=1$),
• или воздержитесь от голосования:( $\mu _{A}(x)=\nu _{A}(x)=0$).

Ведь у нас есть процент одобрения, процент отказов и процент воздержавшихся.

Для этой ситуации могут быть определены специальные «интуитивные нечеткие» отрицатели, t- и s-нормы. С $D^{*}=\{(\alpha ,\beta )\in [0,1]^{2}:\alpha +\beta =1\}$ и объединив обе функции для $(\mu _{A},\nu _{A}):U\to D^{*}$ эта ситуация напоминает особый вид L -нечетких множеств.

Еще раз это было расширено путем определения нечетких множеств изображений (PFS) следующим образом: PFS A характеризуется тремя функциями, отображающими U в [0, 1]: $\mu _{A},\eta _{A},\nu _{A}$, «степень положительного членства», «степень нейтрального членства» и «степень отрицательного членства» соответственно и дополнительное условие $\forall x\in U:\mu _{A}(x)+\eta _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1$Это расширяет приведенный выше образец голосования за счет дополнительной возможности «отказа от голосования».

С $D^{*}=\{(\alpha ,\beta ,\gamma )\in [0,1]^{3}:\alpha +\beta +\gamma =1\}$ и специальные отрицатели «нечеткой картинки», t- и s-нормы, это напоминает еще один тип L -нечетких множеств.

Нейтрософские нечеткие множества

Некоторые ключевые достижения во введении концепций нечетких множеств.

Концепция IFS была расширена до двух основных моделей. Двумя расширениями IFS являются нейтрософские нечеткие множества и пифагорейские нечеткие множества.

Нейтрософские нечеткие множества были представлены Смарандашем в 1998 году. Как и IFS, нейтрософские нечеткие множества имеют две предыдущие функции: одну для членства. $\mu _{A}(x)$ и еще один за нечленство $\nu _{A}(x)$. Основное отличие состоит в том, что нейтрософские нечеткие множества имеют еще одну функцию: для неопределенных $i_{A}(x)$. Это значение указывает на степень неопределённости принадлежности объекта x множеству. Эта концепция неопределенности $i_{A}(x)$ value может быть особенно полезным, когда нельзя быть очень уверенным в значениях членства или нечленства для элемента x . Таким образом, нейтрософские нечеткие множества связаны со следующими функциями:

1. $\mu _{A}(x)$– степень принадлежности x

2. $\nu _{A}(x)$— степень непринадлежности x

3. $i_{A}(x)$— степень неопределенности x

Нечеткие множества Пифагора

Другое расширение IFS — это так называемые нечеткие множества Пифагора. Нечеткие множества Пифагора более гибкие, чем IFS. IFS основаны на ограничении $\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1$, что в некоторых случаях можно считать слишком ограничительным. Именно поэтому Ягер предложил концепцию нечетких множеств Пифагора. Такие множества удовлетворяют ограничению $\mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1$, что напоминает теорему Пифагора. Нечеткие множества Пифагора могут быть применимы к реальным приложениям, в которых предыдущее условие $\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1$ недействителен. Однако менее ограничительное условие $\mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1$ может подойти для большего количества доменов.

Нечеткая логика

Основная статья: Нечеткая логика

Как расширение случая многозначной логики , оценки ( $\mu :{\mathit {V}}_{o}\to {\mathit {W}}$) пропозициональных переменных ( ${\mathit {V}}_{o}$) на набор степеней принадлежности ( ${\mathit {W}}$) можно рассматривать как функции принадлежности, отображающие предикаты в нечеткие множества (или, более формально, в упорядоченный набор нечетких пар, называемый нечетким отношением). С помощью этих оценок можно расширить многозначную логику, чтобы учесть нечеткие предпосылки , из которых можно сделать различные выводы.

Это расширение иногда называют «нечеткой логикой в ​​узком смысле» в отличие от «нечеткой логики в более широком смысле», которая зародилась в инженерных областях автоматизированного управления и инженерии знаний и которая охватывает множество тем, включающих нечеткие множества и «приближенные рассуждения». ."

Промышленное применение нечетких множеств в контексте «нечеткой логики в широком смысле» можно найти в разделе « Нечеткая логика » .

Нечеткое число и единственное число

Основная статья: Нечеткое число

Нечеткое число представляет собой нечеткое множество, удовлетворяющее всем следующим условиям:

• А нормализовано;
• A — выпуклое множество;
• Функция принадлежности $\mu _{A}(x)$ достигает значения 1 хотя бы один раз;
• Функция принадлежности $\mu _{A}(x)$ по крайней мере сегментально непрерывна.

Если эти условия не выполняются, то А не является нечетким числом . Ядром этого нечеткого числа является синглтон ; его расположение:

$\,C(A)=x^{*}:\mu _{A}(x^{*})=1$

Нечеткие числа можно сравнить с развлекательной игрой «Угадай свой вес», где кто-то угадывает вес участника, причем более близкие предположения являются более правильными, и где угадывающий «побеждает», если он или она угадывает достаточно близко к весу участника, при этом фактический вес полностью правильный (сопоставление с 1 функцией принадлежности).

Ядро $K(A)=\operatorname {Kern} (A)$ нечеткого интервала $A$ определяется как «внутренняя» часть без «исходящих» частей, где значение членства является постоянным до бесконечности. Другими словами, наименьшее подмножество $\mathbb {R}$ где $\mu _{A}(x)$ постоянен вне его, определяется как ядро.

Однако существуют и другие концепции нечетких чисел и интервалов, поскольку некоторые авторы не настаивают на выпуклости.

Нечеткие категории

Использование членства в множестве как ключевого компонента теории категорий можно обобщить и на нечеткие множества. Этот подход, появившийся в 1968 году, вскоре после появления теории нечетких множеств, привели к развитию категорий Гогена в 21 веке. В этих категориях вместо использования членства в двухзначном множестве используются более общие интервалы, которые могут представлять собой решетки, как в L -нечетких множествах.

Уравнение нечеткой связи

Уравнение нечеткого отношения — это уравнение вида A · R = B , где A и B нечеткие множества, R — нечеткое отношение, а A · R обозначает композицию A — с R .

Энтропия

Мера d нечеткости нечетких множеств Вселенной. $U$ должны выполнять следующие условия для всех $x\in U$:

1. $d(A)=0$ если $A$ это четкий набор: $\mu _{A}(x)\in \{0,\,1\}$
2. $d(A)$ имеет уникальный максимум iff $\forall x\in U:\mu _{A}(x)=0.5$
3. $\mu _{A}\leq \mu _{B}\iff$

$\mu _{A}\leq \mu _{B}\leq 0.5$

$\mu _{A}\geq \mu _{B}\geq 0.5$

это означает, что B «более четкий», чем A .

1. $d(\neg {A})=d(A)$

В этом случае $d(A)$ называется энтропией нечеткого A. множества

Для конечного $U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}$ энтропия нечеткого множества $A$ дается

$d(A)=H(A)+H(\neg {A})$,

$H(A)=-k\sum _{i=1}^{n}\mu _{A}(x_{i})\ln \mu _{A}(x_{i})$

или просто

$d(A)=-k\sum _{i=1}^{n}S(\mu _{A}(x_{i}))$

где $S(x)=H_{e}(x)$ - функция Шеннона (естественная функция энтропии)

$S(\alpha )=-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha ),\ \alpha \in [0,1]$

и $k$ — константа, зависящая от единицы измерения и используемого основания логарифма (здесь мы использовали натуральное основание e ).Физическая интерпретация k — это константа Больцмана k. ^Б .

Позволять $A$ быть нечетким множеством с непрерывной функцией принадлежности (нечеткой переменной). Затем

$H(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \ln \operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \,dt$

и его энтропия

$d(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }S(\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace )\,dt.$

Расширения

Существует множество математических конструкций, подобных нечетким множествам или более общих. С момента появления нечетких множеств в 1965 году было разработано множество новых математических конструкций и теорий, рассматривающих неточность, неточность, двусмысленность и неопределенность. Некоторые из этих конструкций и теорий являются расширением теории нечетких множеств, в то время как другие пытаются математически смоделировать неточность и неопределенность другим способом.

См. также

• Альтернативная теория множеств
• Дефаззификация
• Нечеткая концепция
• Нечеткая математика
• Операции с нечетким множеством
• Нечеткая подалгебра
• Интервальный конечный элемент
• Линейная частичная информация
• Мультисет
• Нейро-нечеткий
• Грубая нечеткая гибридизация
• Грубый набор
• Индекс сходства Сёренсена
• Нечеткие множества и системы типа 2
• Неопределенность

Ссылки

Библиография

• Альхазале С. и Саллех А.Р. Нечеткая мягкая теория мультимножеств , Аннотация и прикладной анализ, 2012, ID статьи 350600, 20 стр.
• Атанасов, К.Т. (1983) Интуиционистские нечеткие множества , VII сессия ИТКР, София (хранится в Центральной научно-технической библиотеке Болгарской академии наук, 1697/84) (на болгарском языке)
• Атанасов, Красимир Т. (1986). «Интуиционистские нечеткие множества». Нечеткие множества и системы . 20 : 87–96. дои : 10.1016/S0165-0114(86)80034-3 .
• Баруа, Хеманта К. (2011) Теория нечетких множеств: убеждения и реальности, Международный журнал энергетики, информации и коммуникаций, том, 2, выпуск 2, 1–22.
• Баруа, Хеманта К. (2012) Введение в теорию неточных множеств: математика частичного присутствия, Международный журнал вычислительных и математических наук, Vol. 2, № 2, 110 – 124.
• Бездек, Дж. К. (1978). «Нечеткие разбиения и отношения и аксиоматическая основа кластеризации». Нечеткие множества и системы . 1 (2): 111–127. дои : 10.1016/0165-0114(78)90012-X .
• Метель, Уэйн Д. (1989). «Вещественные мультимножества и нечеткие множества». Нечеткие множества и системы . 33 : 77–97. дои : 10.1016/0165-0114(89)90218-2 .
• Браун, Джозеф Г. (1971). «Заметка о нечетких множествах». Информация и контроль . 18 : 32–39. дои : 10.1016/S0019-9958(71)90288-9 .
• Бруточки Корнелия: Нечеткая логика (Диплом) – Хотя этот сценарий имеет много странностей и неточностей из-за своей незавершенности, его можно использовать в качестве шаблона для упражнений по устранению этих проблем.
• Бургин, М. Теория именованных множеств как фундаментальная основа математики, в «Структуры в математических теориях», Сан-Себастьян, 1990, стр. 417–420.
• Бургин, М.; Чунихин, А. (1997). «Именованные множества в анализе неопределенности». Методологические и теоретические проблемы математики и информатики . Киев: 72–85.
• Джанпьеро Каттанео и Давиде Чиуччи, «Алгебры Гейтинга Вайсберга как абстрактная среда, связывающая нечеткие и грубые множества» в JJ Alpigini et al. (Ред.): RSCTC 2002, LNAI 2475, стр. 77–84, 2002 г. дои : 10.1007/3-540-45813-1_10
• Чаморро-Мартинес Дж. и др.: Обсуждение нечеткой мощности и количественной оценки. Некоторые приложения в обработке изображений , SciVerse ScienceDirect: Нечеткие множества и системы 257 (2014) 85–101, 30 мая 2013 г.
• Чапин, EW (1974) Теория множеств с множеством значений, I, Notre Dame J. Formal Logic, т. 15, стр. 619–634
• Чапин, EW (1975) Теория множеств с множеством значений, II, Notre Dame J. Формальная логика, т. 16, стр. 255–267
• Корнелис, Крис; Де Кок, Мартина; Керре, Этьен Э. (2003). «Интуиционистские нечеткие грубые множества: на перекрестке несовершенных знаний». Экспертные системы . 20 (5): 260–270. дои : 10.1111/1468-0394.00250 . S2CID   15031773 .
• Корнелис, К., Дешрейвер, К., и Керре, Э.Э. (2004) Значение в интуиционистской и интервальнозначной теории нечетких множеств: построение, классификация, применение, Международный журнал приближенного рассуждения, т. 35, стр. 55–95
• Де Кок, Мартина; Боденхофер, Ульрих; Керре, Этьен Э. (1–4 октября 2000 г.). Моделирование лингвистических выражений с использованием нечетких отношений . Материалы 6-й Международной конференции по мягким вычислениям. Иидзука, Япония. стр. 353–360. CiteSeerX   10.1.1.32.8117 .
• Демирчи, Мустафа (1999). «Оригинальные наборы». Нечеткие множества и системы . 105 (3): 377–384. дои : 10.1016/S0165-0114(97)00235-2 .
• Дешрейвер, Г.; Керре, Э.Э. (2003). «О взаимосвязи между некоторыми расширениями теории нечетких множеств». Нечеткие множества и системы . 133 (2): 227–235. дои : 10.1016/S0165-0114(02)00127-6 .
• Дидье Дюбуа, Анри М. Прад, изд. (2000). Основы нечетких множеств . Серия «Справочники по нечетким множествам». Том. 7. Спрингер. ISBN  978-0-7923-7732-0 .
• Фэн Ф. Обобщенные грубые нечеткие множества на основе мягких множеств , Soft Computing, июль 2010 г., том 14, выпуск 9, стр. 899–911
• Жантильомм, Ю. (1968) Нечеткие множества в лингвистике, Cahiers Linguistique Théoretique Appliqee, 5, стр. 47–63
• Гоген, Дж. А. (1967) L-нечеткие множества, Journal Math. Приложение анализа, т. 18, стр. 145–174.
• Готвальд, С. (2006). «Вселенные нечетких множеств и аксиоматизации теории нечетких множеств. Часть I: Модельные и аксиоматические подходы». Студия Логика . 82 (2): 211–244. дои : 10.1007/s11225-006-7197-8 . S2CID   11931230 . . Готвальд, С. (2006). «Вселенные нечетких множеств и аксиоматизации теории нечетких множеств. Часть II: Теоретико-категорные подходы». Студия Логика . 84 : 23–50. дои : 10.1007/s11225-006-9001-1 . S2CID   10453751 . препринт ..
• Граттан-Гиннесс, И. (1975) Нечеткое членство, отображаемое на интервальные и многозначные величины. З. Математика. Логик. Грундладенская математика. 22, стр. 149–160.
• Гржимала-Буссе, Дж. Обучение на примерах, основанных на грубых мультимножествах, в Трудах 2-го Международного симпозиума по методологиям интеллектуальных систем, Шарлотт, Северная Каролина, США, 1987, стр. 325–332.
• Гилис, Р.П. (1994) Квантовые множества и пучки над кванталами, Liet. Матем. Ринк., т. 34, № 1, стр. 9–31.
• Ульрих Хёле, Стивен Эрнест Родабо, изд. (1999). Математика нечетких множеств: логика, топология и теория меры . Серия «Справочники по нечетким множествам». Том. 3. Спрингер. ISBN  978-0-7923-8388-8 .
• Ян, К.-У. (1975). «Интервальные множества». Математические новости . 68 : 115–132. дои : 10.1002/MANA.19750680109 .
• Кауфманн, Арнольд . Введение в теорию нечетких подмножеств. Том. 2. Академическая пр., 1975.
• Керре, Э.Э. (2001). «Первый взгляд на альтернативы теории нечетких множеств». В Б. Ройше; КХ. Темме (ред.). Вычислительный интеллект в теории и практике . Гейдельберг: Physica-Verlag. стр. 55–72. дои : 10.1007/978-3-7908-1831-4_4 . ISBN  978-3-7908-1357-9 .
• Джордж Дж. Клир; Бо Юань (1995). Нечеткие множества и нечеткая логика: теория и приложения . Прентис Холл. ISBN  978-0-13-101171-7 .
• Кузьмин, В.Б. (1982). «Построение групповых решений в пространствах строгих и нечетких бинарных отношений». Наука, Москва.
• Лейк, Дж. (1976) Множества, нечеткие множества, мультимножества и функции , J. London Math. Сок., II сер., т. 12, стр. 323–326.
• Мэн Д., Чжан К. и Цинь К. Мягкие грубые нечеткие множества и мягкие нечеткие грубые множества , «Компьютеры и математика с приложениями», т. 62, выпуск 12, 2011 г., стр. 4635–4645.
• Миямото, Садааки (2001). «Нечеткие мультимножества и их обобщения». Мультимножественная обработка . Конспекты лекций по информатике. Том. 2235. стр. 225–235. дои : 10.1007/3-540-45523-X_11 . ISBN  978-3-540-43063-6 .
• Молодцов, О. (1999) Теория мягких множеств – первые результаты, Компьютеры и математика с приложениями, т. 37, № 4/5, стр. 19–31.
• Мур, Интервальный анализ RE, Нью-Йорк, Прентис-Холл, 1966.
• Накамура, А. (1988) Нечеткие грубые множества, «Заметки о многозначной логике в Японии», т. 9, стр. 1–8.
• Нариньяни, А.С. Недоопределенные множества – новый тип данных для представления знаний, Препринт 232, Проект ВОСТОК, выпуск 4, Новосибирск, ВЦ АН СССР, 1980
• Педрич, В. Затененные множества: представление и обработка нечетких множеств, Транзакции IEEE в системе, человеке и кибернетике, часть B, 28, 103–109, 1998.
• Радецкий, Т. Нечеткие множества уровня, «Журнал кибернетики», том 7, выпуск 3–4, 1977 г.
• Радзиковска А.М. и Этьен Э. Керре, Э.Э. О L-нечетких грубых множествах , искусственном интеллекте и мягких вычислениях – ICAISC 2004, 7-я Международная конференция, Закопане, Польша, 7–11 июня 2004 г., Материалы; 01/2004
• Salii, V.N. (1965). "Binary L-relations" (PDF) . Izv. Vysh. Uchebn. Zaved. Matematika (in Russian). 44 (1): 133–145.
• Рамакришнан, ТВ, и Сабу Себастьян (2010) «Исследование мультинечетких множеств», Int. Дж. Прил. Математика. 23, 713–721.
• Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2010) Мульти-нечеткие множества, Int. Математика. Форум 50, 2471–2476.
• Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2011) Мультинечеткие множества: расширение нечетких множеств , Fuzzy Inf.Eng. 1, 35–43.
• Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2011) Многонечеткие расширения функций, Прогресс в адаптивном анализе данных 3, 339–350.
• Сабу Себастьян и Рамакришнан, ТВ (2011) Многонечеткое расширение четких функций с использованием мостовых функций , Ann. Нечеткая математика. Информ. 2 (1), 1–8
• Самбук, Р. φ-нечеткие функции: применение для диагностики патологии щитовидной железы, диссертация Ph.D. Univ. Марсель, Франция, 1975 год.
• Зейзинг, Рудольф: Фаззификация систем. Генезис теории нечетких множеств и ее первоначальные приложения - разработки до 1970-х годов (Исследования нечеткости и мягких вычислений, том 216), Берлин, Нью-Йорк, [и др.]: Springer 2007.
• Смит, Нью-Джерси (2004) Нечеткость и размытость декораций, 'Дж. Фил. Логика», 33, с. 165–235.
• Верро, Николас: Нечеткая классификация онлайн-клиентов, архивировано 1 декабря 2017 г. в Wayback Machine , Фрибурский университет, Швейцария, 2008 г., Глава 2.
• Ягер, Р.Р. (1986) К теории мешков, Международный журнал общих систем, т. 13, стр. 23–37.
• Яо, Ю. Ю., Комбинация грубых и нечетких множеств на основе множеств α-уровня, в: Грубые множества и интеллектуальный анализ данных: анализ неточных данных, Лин, Тай и Серконе, Н. (ред.), Kluwer Academic Publishers, Бостон, стр. 301–321, 1997.
• Ю. Яо, Сравнительное исследование нечетких и грубых множеств, Информационные науки, т. 109, выпуск 1–4, 1998, стр. 227–242.
• Заде, Л. (1975) Понятие лингвистической переменной и ее применение для аппроксимации рассуждений – I, Информ. Наука, т. 8, стр. 199–249.
• Ханс-Юрген Циммерманн (2001). Теория нечетких множеств и ее приложения (4-е изд.). Клювер. ISBN  978-0-7923-7435-0 .