Граница (топология)

Эта статья о границах в общей топологии. Не путать с границей многообразия или границей локально замкнутого подмножества .

Множество (голубой цвет) и его граница (темно-синий цвет).

В топологии и математике в целом граница подмножества S топологического пространства X — это набор точек S замыкания , принадлежащих внутренней части S. не Элемент границы S называется граничной точкой S . Термин « граничная операция» относится к поиску или взятию границы множества. Обозначения, используемые для границы множества S, включают $\operatorname {bd} (S),\operatorname {fr} (S),$ и $\partial S$.

Некоторые авторы (например, Уиллард в «Общей топологии» ) используют термин «граница» вместо «граница», пытаясь избежать путаницы с другим определением, используемым в алгебраической топологии и теории многообразий . Несмотря на широкое признание значения терминов «граница» и «граница», иногда они использовались для обозначения других наборов. Например, в книге « Метрические пространства» Э.Т. Копсона термин «граница» используется для обозначения , Хаусдорфа границы которая определяется как пересечение множества с его границей. Хаусдорф также ввел термин остаток , который определяется как пересечение множества с замыканием границы его дополнения.

Определения

Существует несколько эквивалентных определений границы подмножества . $S\subseteq X$ топологического пространства $X,$ который будет обозначаться $\partial _{X}S,$ $\operatorname {Bd} _{X}S,$ или просто $\partial S$ если $X$ понимается:

1. Это закрытие ​ $S$ минус интерьер ​ ​ $S$ в $X$:
   $$\partial S~:=~{\overline {S}}\setminus \operatorname {int} _{X}S$$
   где ${\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S$ означает закрытие ​ $S$ в $X$ и $\operatorname {int} _{X}S$ обозначает внутренность топологическую $S$ в $X.$
2. Это пересечение замыкания $S$ с замыканием его дополнения :
   $$\partial S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}$$
3. Это набор точек $p\in X$ такие, что окрестность каждая $p$ содержит хотя бы одну точку $S$ и хотя бы один пункт не из $S$:
   $$\partial S~:=~\{p\in X:{\text{ for every neighborhood }}O{\text{ of }}p,\ O\cap S\neq \varnothing \,{\text{ and }}\,O\cap (X\setminus S)\neq \varnothing \}.$$

Граничная точка набора — это любой элемент границы этого набора. Граница $\partial _{X}S$ множества, определенное выше, иногда называют топологической границей чтобы отличить его от других понятий с аналогичным названием, таких как граница многообразия с краем или граница многообразия с углами , и это лишь несколько примеров.

Связная компонента границы S называется граничной компонентой S .

Свойства

Закрытие набора $S$ равно объединению множества с его границей:

$${\overline {S}}=S\cup \partial _{X}S$$

где ${\overline {S}}=\operatorname {cl} _{X}S$ означает закрытие ​ $S$ в $X.$Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу, и открыто тогда и только тогда, когда оно не пересекается со своей границей. Граница множества замкнута ; это следует из формулы $\partial _{X}S~:=~{\overline {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}},$ который выражает $\partial _{X}S$ как пересечение двух замкнутых подмножеств $X.$

(«Трихотомия») Учитывая любое подмножество $S\subseteq X,$ каждая точка $X$ лежит ровно в одном из трёх множеств $\operatorname {int} _{X}S,\partial _{X}S,$ и $\operatorname {int} _{X}(X\setminus S).$ Сказал по-другому,

$$X~=~\left(\operatorname {int} _{X}S\right)\;\cup \;\left(\partial _{X}S\right)\;\cup \;\left(\operatorname {int} _{X}(X\setminus S)\right)$$

и эти три множества попарно не пересекаются . Следовательно, если эти множества не пусты затем они раздел образуют $X.$

Точка $p\in X$ является граничной точкой множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность множества $p$содержит хотя бы одну точку в множестве и хотя бы одну точку не в множестве. Граница внутренности множества, а также граница замыкания множества содержатся в границе множества.

Концептуальная диаграмма Венна , показывающая взаимосвязи между различными точками подмножества. $S$ из $\mathbb {R} ^{n}.$ $A$ = набор предельных точек $S,$ $B=$ множество граничных точек $S,$ область, заштрихованная зеленым = набор внутренних точек $S,$ область, заштрихованная желтым цветом = набор изолированных точек $S,$области, заштрихованные черным цветом = пустые наборы. Каждая точка $S$является либо внутренней точкой, либо граничной точкой. Кроме того, каждая точка $S$является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Аналогично, каждая граничная точка $S$является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Изолированные точки всегда являются граничными точками.

Примеры

и

Множество и его дополнение имеют одну и ту же границу:

$$\partial _{X}S=\partial _{X}(X\setminus S).$$

Множество $U$ является плотным открытым подмножеством $X$ если и только если $\partial _{X}U=X\setminus U.$

Внутренность границы замкнутого множества пуста. Следовательно, внутренность границы замыкания множества пуста. Внутренность границы открытого множества также пуста. Следовательно, внутренность границы внутренности множества пуста. В частности, если $S\subseteq X$ является закрытым или открытым подмножеством $X$ тогда не существует непустого подмножества $U\subseteq \partial _{X}S$ такой, что $U$ открыт в $X.$ Этот факт важен для определения и использования нигде не плотных подмножеств , тощих подмножеств и пространств Бэра .

Множество является границей некоторого открытого множества тогда и только тогда, когда оно замкнуто и нигде не плотно . Граница множества пуста тогда и только тогда, когда множество одновременно замкнуто и открыто (т. е. замкнуто- открытое множество ).

Конкретные примеры

Граница гиперболических компонент множества Мандельброта

Рассмотрим реальную линию $\mathbb {R}$ с обычной топологией (т. е. топологией, базисными наборами которой являются открытые интервалы ) и $\mathbb {Q} ,$ подмножество рациональных чисел ( топологическая внутренность которого в $\mathbb {R}$пусто). Затем

• $\partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}$
• $\partial \varnothing =\varnothing$
• $\partial \mathbb {Q} =\mathbb {R}$
• $\partial (\mathbb {Q} \cap [0,1])=[0,1]$

Эти два последних примера иллюстрируют тот факт, что граница плотного множества с пустой внутренностью является его замыканием. Они также показывают, что для границы возможно $\partial S$ из подмножества $S$ содержать непустое открытое подмножество $X:=\mathbb {R}$; то есть для внутренней части $\partial S$ в $X$быть непустым. Однако граница закрытого подмножества всегда имеет пустую внутреннюю часть.

В пространстве рациональных чисел с обычной топологией ( подпространства топология $\mathbb {R}$), граница $(-\infty ,a),$ где $a$ иррационально, пусто.

Граница множества является топологическим понятием и может измениться при изменении топологии. Например, учитывая обычную топологию на $\mathbb {R} ^{2},$ граница замкнутого диска $\Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$ окружность диска: $\partial \Omega =\left\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\right\}.$ Если диск рассматривается как набор в $\mathbb {R} ^{3}$ со своей обычной топологией, т.е. $\Omega =\left\{(x,y,0):x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},$ тогда граница диска — это сам диск: $\partial \Omega =\Omega .$ Если диск рассматривать как собственное топологическое пространство (с топологией подпространства $\mathbb {R} ^{2}$), то граница диска пуста.

Граница открытого шара и

Этот пример демонстрирует, что топологическая граница открытого шара радиуса $r>0$ не обязательно равна соответствующей сфере радиуса $r$(центрировано в той же точке); это также показывает, что замыкание открытого шара радиуса $r>0$ не обязательно равен замкнутому шару радиуса $r$(снова по центру в той же точке). Обозначим обычную евклидову метрику на $\mathbb {R} ^{2}$ к

$$d((a,b),(x,y)):={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}$$

который вызывает $\mathbb {R} ^{2}$обычная евклидова топология . Позволять $X\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ обозначают объединение $y$-ось $Y:=\{0\}\times \mathbb {R}$ с единичным кругом

$$S^{1}:=\left\{p\in \mathbb {R} ^{2}:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\}$$

с центром в начале координат $\mathbf {0} :=(0,0)\in \mathbb {R} ^{2}$; то есть, $X:=Y\cup S^{1},$ которое является топологическим подпространством $\mathbb {R} ^{2}$ топология которого равна топологии, индуцированной (ограничением) метрики $d.$ В частности, множества $Y,S^{1},Y\cap S^{1}=\{(0,\pm 1)\},$ и $\{0\}\times [-1,1]$ все являются закрытыми подмножествами $\mathbb {R} ^{2}$ и, следовательно, также замкнутые подмножества его подпространства $X.$ В дальнейшем, если явно не указано иное, каждый открытый шар, закрытый шар и сферу следует считать центрированными в начале координат. $\mathbf {0} =(0,0)$ и более того, только метрическое пространство $(X,d)$ будет рассматриваться (а не его суперпространство $(\mathbb {R} ^{2},d)$); это линейной и локальной линейной связности полное метрическое пространство .

Обозначим открытый шар радиуса $r>0$ в $(X,d)$ к $B_{r}:=\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )<r\right\}$ так что когда $r=1$ затем

$$B_{1}=\{0\}\times (-1,1)$$

является открытым подинтервалом $y$-ось строго между $y=-1$ и $y=1.$ Единичная сфера в $(X,d)$ («единица» означает, что ее радиус равен $r=1$) является

$$\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}$$

в то время как закрытый единичный шар в $(X,d)$ представляет собой объединение открытого единичного шара и единичной сферы с центром в этой же точке:

$$\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right).$$

Однако топологическая граница $\partial _{X}B_{1}$ и топологическое замыкание $\operatorname {cl} _{X}B_{1}$ в $X$ открытого единичного шара $B_{1}$ являются:

$$\partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {cl} _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \partial _{X}B_{1}~=~B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}~=~\{0\}\times [-1,1].$$

В частности, топологическая граница открытого единичного шара $\partial _{X}B_{1}=\{(0,1),(0,-1)\}$ является собственным подмножеством единичной сферы $\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}=S^{1}$ в $(X,d).$ И топологическое замыкание открытого единичного шара $\operatorname {cl} _{X}B_{1}=B_{1}\cup \{(0,1),(0,-1)\}$ является собственным подмножеством замкнутого единичного шара $\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )\leq 1\right\}=S^{1}\cup \left(\{0\}\times [-1,1]\right)$ в $(X,d).$ Смысл $(1,0)\in X,$ например, не может принадлежать $\operatorname {cl} _{X}B_{1}$ потому что не существует последовательности в $B_{1}=\{0\}\times (-1,1)$что сходится к нему; те же рассуждения обобщаются и объясняют, почему нет смысла в $X$ вне замкнутого подинтервала $\{0\}\times [-1,1]$ принадлежит $\operatorname {cl} _{X}B_{1}.$ Поскольку топологическая граница множества $B_{1}$ всегда является подмножеством $B_{1}$закрытия, отсюда следует, что $\partial _{X}B_{1}$ также должно быть подмножеством $\{0\}\times [-1,1].$

В любом метрическом пространстве $(M,\rho ),$ топологическая граница в $M$ открытого шара радиусом $r>0$ сосредоточен в точке $c\in M$ всегда является подмножеством сферы радиуса $r$ с центром в той же точке $c$; то есть,

$$\partial _{M}\left(\left\{m\in M:\rho (m,c)<r\right\}\right)~\subseteq ~\left\{m\in M:\rho (m,c)=r\right\}$$

всегда держит.

Более того, единичная сфера в $(X,d)$ содержит $X\setminus Y=S^{1}\setminus \{(0,\pm 1)\},$ которое является открытым подмножеством $X.$ Это показывает, в частности, что единичная сфера $\left\{p\in X:d(p,\mathbf {0} )=1\right\}$ в $(X,d)$ содержит непустое открытое подмножество $X.$

Граница границы

Для любого набора $S,\partial S\supseteq \partial \partial S,$ где $\,\supseteq \,$ обозначает надмножество , в котором равенство выполняется тогда и только тогда, когда граница $S$ не имеет внутренних точек, что будет иметь место, например, если $S$либо закрыт, либо открыт. Поскольку граница множества замкнута, $\partial \partial S=\partial \partial \partial S$ для любого набора $S.$ Таким образом, граничный оператор удовлетворяет ослабленному виду идемпотентности .

При обсуждении границ многообразий или симплексов и их симплициальных комплексов часто встречается утверждение, что граница границы всегда пуста. Действительно, построение сингулярных гомологии критически опирается на этот факт. Объяснение кажущегося несоответствия состоит в том, что топологическая граница (предмет этой статьи) — это немного отличное понятие от границы многообразия или симплициального комплекса. Например, граница открытого диска, рассматриваемого как многообразие, пуста, как и его топологическая граница, рассматриваемая как его подмножество, а его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, представляет собой круг, окружающий диск. И наоборот, граница замкнутого диска, рассматриваемого как многообразие, представляет собой ограничивающий круг, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как его подмножество, пуста. В частности, топологическая граница зависит от объемлющего пространства, а граница многообразия инвариантна.

См. также

• см. в обсуждении границы в топологическом многообразии . Более подробную информацию
• Граница многообразия — топологическое пространство, локально напоминающее евклидово пространство. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Граничная точка - математическое понятие, связанное с подмножествами векторных пространств.
• Замыкание (топология) - все точки и предельные точки в подмножестве топологического пространства.
• Внешний вид (топология) - наибольшее открытое множество, не пересекающееся с некоторым заданным множеством.
• Интерьер (топология) - наибольшее открытое подмножество некоторого заданного набора.
• Нигде плотное множество - математическое множество, замыкание которого имеет пустую внутреннюю часть.
• Теорема Лебега о плотности для теоретико-мерной характеристики и свойств границы
• Поверхность (топология) – двумерное многообразие.

Ссылки

• Манкрес, младший (2000). Топология . Прентис-Холл. ISBN  0-13-181629-2 .
• Уиллард, С. (1970). Общая топология . Аддисон-Уэсли. ISBN  0-201-08707-3 .
• ван ден Дрис, Л. (1998). Прирученная топология . ISBN  978-0521598385 .