Евклидова топология

В математике, и особенно в общей топологии , евклидова топология — это естественная топология, индуцированная $n$ -мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ по евклидовой метрике .

Определение [ править ]

Евклидова норма о $\mathbb {R} ^{n}$ это неотрицательная функция $\|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ определяется

\left\|\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)\right\|~:=~{\sqrt {p_{1}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}.

Как и все нормы , он порождает каноническую метрику , определяемую формулой $d(p,q)=\|p-q\|.$ Метрика $d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ индуцированная евклидовой нормой , называется евклидовой метрикой или евклидовым расстоянием , а расстояние между точками $p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)$ и $q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)$ является

d(p,q)~=~\|p-q\|~=~{\sqrt {\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{n}-q_{n}\right)^{2}}}.

В любом метрическом пространстве открытые шары образуют основу топологии этого пространства. ^[1] Евклидова топология на $\mathbb {R} ^{n}$ — топология, порожденная этими шарами. Другими словами, открытые множества евклидовой топологии на $\mathbb {R} ^{n}$ задаются (произвольными) объединениями открытых шаров $B_{r}(p)$ определяется как $B_{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(p,x)<r\right\},$ для всех реально $r>0$ и все $p\in \mathbb {R} ^{n},$ где $d$ является евклидовой метрикой.

Свойства [ править ]

При наличии такой топологии реальная линия $\mathbb {R}$ является Т5 пространством . Учитывая два подмножества, скажем $A$ и $B$ из $\mathbb {R}$ с ${\overline {A}}\cap B=A\cap {\overline {B}}=\varnothing ,$ где ${\overline {A}}$ означает закрытие $A,$ существуют открытые множества $S_{A}$ и $S_{B}$ с $A\subseteq S_{A}$ и $B\subseteq S_{B}$ такой, что $S_{A}\cap S_{B}=\varnothing .$ ^[2]