Список банаховых пространств

В математической области анализа функционального банаховы пространства являются одними из важнейших объектов исследования. В других областях математического анализа большинство возникающих на практике пространств также оказываются банаховыми.

Классические банаховы пространства

Согласно Дистелю (1984 , глава VII), классическими банаховыми пространствами являются пространства, определенные Данфордом и Шварцем (1958) , которые являются источником для следующей таблицы.

Словарь символов для таблицы ниже:

• $\mathbb {F}$ обозначает поле действительных чисел $\mathbb {R}$ или комплексные числа $\mathbb {C} .$
• $K$ — компактное хаусдорфово пространство .
• $p,q\in \mathbb {R}$ действительные числа с $1<p,q<\infty$ которые являются сопряженными по Гельдеру , что означает, что они удовлетворяют ${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}=1$ и поэтому также $q={\frac {p}{p-1}}.$
• $\Sigma$ это $\sigma$-алгебра множеств.
• $\Xi$ является алгеброй множеств (для пространств, требующих только конечной аддитивности, таких как пространство ba ).
• $\mu$ это мера с вариацией $|\mu |.$ Положительная мера — это вещественная положительная функция множества, определенная на $\sigma$-алгебра, счетно-аддитивная.

Классические банаховы пространства
	Двойное пространство	Рефлексивный	слабо последовательно завершенный	Норма		Примечания
$\mathbb {F} ^{n}$	$\mathbb {F} ^{n}$	Да	Да	$\|x\|_{2}$	$=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}\right)^{1/2}$	Евклидово пространство
$\ell _{p}^{n}$	$\ell _{q}^{n}$	Да	Да	$\|x\|_{p}$	$=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$
$\ell _{\infty }^{n}$	$\ell _{1}^{n}$	Да	Да	$\|x\|_{\infty }$	$=\max \nolimits _{1\leq i\leq n}|x_{i}|$
$\ell ^{p}$	$\ell ^{q}$	Да	Да	$\|x\|_{p}$	$=\left(\sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$
$\ell ^{1}$	$\ell ^{\infty }$	Нет	Да	$\|x\|_{1}$	$=\sum _{i=1}^{\infty }\left|x_{i}\right|$
$\ell ^{\infty }$	$\operatorname {ba}$	Нет	Нет	$\|x\|_{\infty }$	$=\sup \nolimits _{i}\left|x_{i}\right|$
$\operatorname {c}$	$\ell ^{1}$	Нет	Нет	$\|x\|_{\infty }$	$=\sup \nolimits _{i}\left|x_{i}\right|$
$c_{0}$	$\ell ^{1}$	Нет	Нет	$\|x\|_{\infty }$	$=\sup \nolimits _{i}\left|x_{i}\right|$	Изоморфен, но не изометричен $c.$
$\operatorname {bv}$	$\ell ^{\infty }$	Нет	Да	$\|x\|_{bv}$	$=\left|x_{1}\right|+\sum _{i=1}^{\infty }\left|x_{i+1}-x_{i}\right|$	Изометрически изоморфен $\ell ^{1}.$
$\operatorname {bv} _{0}$	$\ell ^{\infty }$	Нет	Да	$\|x\|_{bv_{0}}$	$=\sum _{i=1}^{\infty }\left|x_{i+1}-x_{i}\right|$	Изометрически изоморфен $\ell ^{1}.$
$\operatorname {bs}$	$\operatorname {ba}$	Нет	Нет	$\|x\|_{bs}$	$=\sup \nolimits _{n}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|$	Изометрически изоморфен $\ell ^{\infty }.$
$\operatorname {cs}$	$\ell ^{1}$	Нет	Нет	$\|x\|_{bs}$	$=\sup \nolimits _{n}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|$	Изометрически изоморфен $c.$
$B(K,\Xi )$	$\operatorname {ba} (\Xi )$	Нет	Нет	$\|f\|_{B}$	$=\sup \nolimits _{k\in K}|f(k)|$
$C(K)$	$\operatorname {rca} (K)$	Нет	Нет	$\|x\|_{C(K)}$	$=\max \nolimits _{k\in K}|f(k)|$
$\operatorname {ba} (\Xi )$	?	Нет	Да	$\|\mu \|_{ba}$	$=\sup \nolimits _{S\in \Sigma }|\mu |(S)$
$\operatorname {ca} (\Sigma )$	?	Нет	Да	$\|\mu \|_{ba}$	$=\sup \nolimits _{S\in \Sigma }|\mu |(S)$	Замкнутое подпространство $\operatorname {ba} (\Sigma ).$
$\operatorname {rca} (\Sigma )$	?	Нет	Да	$\|\mu \|_{ba}$	$=\sup \nolimits _{S\in \Sigma }|\mu |(S)$	Замкнутое подпространство $\operatorname {ca} (\Sigma ).$
$L^{p}(\mu )$	$L^{q}(\mu )$	Да	Да	$\|f\|_{p}$	$=\left(\int |f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}$
$L^{1}(\mu )$	$L^{\infty }(\mu )$	Нет	Да	$\|f\|_{1}$	$=\int |f|\,d\mu$	Двойник - это $L^{\infty }(\mu )$ если $\mu$ является $\sigma$-конечный .
$\operatorname {BV} ([a,b])$	?	Нет	Да	$\|f\|_{BV}$	$=V_{f}([a,b])+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)$	$V_{f}([a,b])$ это вариация общая $f$
$\operatorname {NBV} ([a,b])$	?	Нет	Да	$\|f\|_{BV}$	$=V_{f}([a,b])$	$\operatorname {NBV} ([a,b])$ состоит из $\operatorname {BV} ([a,b])$ функции такие, что $\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)=0$
$\operatorname {AC} ([a,b])$	$\mathbb {F} +L^{\infty }([a,b])$	Нет	Да	$\|f\|_{BV}$	$=V_{f}([a,b])+\lim \nolimits _{x\to a^{+}}f(x)$	Изоморфно пространству Соболева. $W^{1,1}([a,b]).$
$C^{n}([a,b])$	$\operatorname {rca} ([a,b])$	Нет	Нет	$\|f\|$	$=\sum _{i=0}^{n}\sup \nolimits _{x\in [a,b]}\left|f^{(i)}(x)\right|$	Изоморфен $\mathbb {R} ^{n}\oplus C([a,b]),$ по сути, по теореме Тейлора .

Банаховы пространства в других областях анализа

• Пространства Асплунда
• Пространства Харди
• Пространство $\operatorname {BMO}$ функций ограниченного среднего колебания
• Пространство функций ограниченной вариации
• Sobolev spaces
• Пространства Бирнбаума –Орлича. $L^{A}(\mu ).$
• Пространства Гельдера $C^{k}(\Omega ).$
• Лоренцево пространство

Банаховы пространства как контрпримеры

• Пространство Джеймса — банахово пространство, имеющее базис Шаудера , но не имеющее безусловного базиса Шаудера . Кроме того, пространство Джеймса изометрически изоморфно своему двойному двойнику, но не рефлексивно.
• Пространство Цирельсона — рефлексивное банахово пространство, в котором ни $\ell ^{p}$ ни $c_{0}$ можно встроить.
• WT Gowers строительство помещения $X$ который изоморфен $X\oplus X\oplus X$ но не $X\oplus X$ служит контрпримером для ослабления предпосылок теоремы Шрёдера–Бернштейна.

См. также

• Список математических пространств — математический набор с некоторой добавленной структурой. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Список топологий - Список конкретных топологий и топологических пространств.
• Расстояние Минковского - математическая метрика в нормированном векторном пространстве.

Ссылки

• Дистель, Джозеф (1984), Последовательности и ряды в банаховых пространствах , Springer-Verlag, ISBN  0-387-90859-5 .
• Данфорд, Н.; Шварц, Дж.Т. (1958), Линейные операторы, Часть I , Wiley-Interscience .