Лоренцево пространство

В математическом анализе пространства Лоренца , введенные Джорджем Г. Лоренцем в 1950-х годах, являются обобщениями более известных $L^{p}$ пространства .

Пространства Лоренца обозначаются $L^{p,q}$. Как $L^{p}$ пространства, они характеризуются нормой ( технически квазинормой ), которая кодирует информацию о «размере» функции, точно так же, как $L^{p}$ норма делает. Два основных качественных понятия «размера» функции: насколько высок график функции и насколько он разбросан. Нормы Лоренца обеспечивают более жесткий контроль над обоими качествами, чем нормы Лоренца. $L^{p}$ норм, путем экспоненциального масштабирования меры как в диапазоне ( $p$) и домен ( $q$). Нормы Лоренца, как и $L^{p}$ нормы, инвариантны относительно произвольных перестановок значений функции.

Определение

Пространство Лоренца в пространстве с мерой $(X,\mu )$ – пространство комплекснозначных измеримых функций $f$ на X такой, что следующая квазинорма конечна

$\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}$

где $0<p<\infty$ и $0<q\leq \infty$. Таким образом, когда $q<\infty$,

$\|f\|_{L^{p,q}(X,\mu )}=p^{\frac {1}{q}}\left(\int _{0}^{\infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)|^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau }{\tau }}\right)^{\frac {1}{q}}.$

и, когда $q=\infty$,

$\|f\|_{L^{p,\infty }(X,\mu )}^{p}=\sup _{t>0}\left(t^{p}\mu \left\{x:|f(x)|>t\right\}\right).$

Также принято устанавливать $L^{\infty ,\infty }(X,\mu )=L^{\infty }(X,\mu )$.

Уменьшающиеся перестановки

Квазинорма инвариантна относительно перестановки значений функции $f$, по сути, по определению. В частности, для комплекснозначной измеримой функции $f$ определенный в пространстве меры, $(X,\mu )$, его убывающая функция перестановки, $f^{\ast }:[0,\infty )\to [0,\infty ]$ может быть определен как

$f^{\ast }(t)=\inf\{\alpha \in \mathbf {R} ^{+}:d_{f}(\alpha )\leq t\}$

где $d_{f}$ это так называемая распределения функция $f$, заданный

$d_{f}(\alpha )=\mu (\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}).$

Здесь для удобства обозначений $\inf \varnothing$ определяется как $\infty$.

Две функции $|f|$ и $f^{\ast }$ равноизмеримы есть , то

$\mu {\bigl (}\{x\in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\bigr )},\quad \alpha >0,$

где $\lambda$ – мера Лебега на действительной прямой. Соответствующая симметричная убывающая функция перегруппировки , которая также равноизмерима с $f$, будет определяться на действительной линии как

$\mathbf {R} \ni t\mapsto {\tfrac {1}{2}}f^{\ast }(|t|).$

Учитывая эти определения, для $0<p<\infty$ и $0<q\leq \infty$, квазинормы Лоренца имеют вид

$\|f\|_{L^{p,q}}={\begin{cases}\left(\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end{cases}}$

Пространства последовательностей Лоренца

Когда $(X,\mu )=(\mathbb {N} ,\#)$ (счетная мера по $\mathbb {N}$), полученное пространство Лоренца является пространством последовательностей . Однако в этом случае удобно использовать другие обозначения.

Определение.

Для $(a_{n})_{n=1}^{\infty }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ (или $\mathbb {C} ^{\mathbb {N} }$ в сложном случае), пусть ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$ обозначим p-норму для $1\leq p<\infty$ и ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{\infty }=\sup _{n\in \mathbb {N} }|a_{n}|}$ ∞-норма. Обозначим через $\ell _{p}$ банахово пространство всех последовательностей с конечной p-нормой. Позволять $c_{0}$ банахово пространство всех последовательностей, удовлетворяющих $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$, наделенный ∞-нормой. Обозначим через $c_{00}$ нормированное пространство всех последовательностей с конечным числом ненулевых элементов. Все эти пространства играют роль в определении пространств последовательностей Лоренца. $d(w,p)$ ниже.

Позволять $w=(w_{n})_{n=1}^{\infty }\in c_{0}\setminus \ell _{1}$ быть последовательностью положительных действительных чисел, удовлетворяющих $1=w_{1}\geq w_{2}\geq w_{3}\geq \cdots$, и определим норму ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty }\right\|_{d(w,p)}=\sup _{\sigma \in \Pi }\left\|(a_{\sigma (n)}w_{n}^{1/p})_{n=1}^{\infty }\right\|_{p}}$. Пространство последовательностей Лоренца $d(w,p)$ определяется как банахово пространство всех последовательностей, в которых эта норма конечна. Эквивалентно, мы можем определить $d(w,p)$ по мере завершения $c_{00}$ под $\|\cdot \|_{d(w,p)}$.

Свойства

Пространства Лоренца являются подлинным обобщением $L^{p}$ пространства в том смысле, что для любого $p$, $L^{p,p}=L^{p}$, что следует из принципа Кавальери . Дальше, $L^{p,\infty }$ совпадает со слабым $L^{p}$. Они являются квазибанаховыми пространствами (т. е. квазинормированными пространствами, которые также полны) и нормируемы для $1<p<\infty$ и $1\leq q\leq \infty$. Когда $p=1$, $L^{1,1}=L^{1}$ снабжена нормой, но невозможно определить норму, эквивалентную квазинорме $L^{1,\infty }$, слабый $L^{1}$ космос. В качестве конкретного примера того, что неравенство треугольника не выполняется в $L^{1,\infty }$, учитывать

$f(x)={\tfrac {1}{x}}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{and}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0,1)}(x),$

чей $L^{1,\infty }$ квазинорма равна единице, а квазинорма их суммы $f+g$ равно четырем.

Пространство $L^{p,q}$ содержится в $L^{p,r}$ в любое время $q<r$. Пространства Лоренца являются действительными интерполяционными пространствами между $L^{1}$ и $L^{\infty }$.

Неравенство Гёльдера

$\|fg\|_{L^{p,q}}\leq A_{p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}\|f\|_{L^{p_{1},q_{1}}}\|g\|_{L^{p_{2},q_{2}}}$ где $0<p,p_{1},p_{2}<\infty$, $0<q,q_{1},q_{2}\leq \infty$, $1/p=1/p_{1}+1/p_{2}$, и $1/q=1/q_{1}+1/q_{2}$.

Двойной пробел

Если $(X,\mu )$ является неатомным σ-конечным пространством с мерой, то
(я) $(L^{p,q})^{*}=\{0\}$ для $0<p<1$, или $1=p<q<\infty$;
(ii) $(L^{p,q})^{*}=L^{p',q'}$ для $1<p<\infty ,0<q\leq \infty$, или $0<q\leq p=1$;
(iii) $(L^{p,\infty })^{*}\neq \{0\}$ для $1\leq p\leq \infty$. Здесь $p'=p/(p-1)$ для $1<p<\infty$, $p'=\infty$ для $0<p\leq 1$, и $\infty '=1$.

Атомный разложение

Следующие действия эквивалентны для $0<p\leq \infty ,1\leq q\leq \infty$.
(я) $\|f\|_{L^{p,q}}\leq A_{p,q}C$.
(ii) $f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}$ где $f_{n}$ имеет непересекающуюся поддержку с мерой $\leq 2^{n}$, на котором $0<H_{n+1}\leq |f_{n}|\leq H_{n}$ почти везде и $\|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$.
(iii) $|f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }H_{n}\chi _{E_{n}}$ почти везде, где $\mu (E_{n})\leq A_{p,q}'2^{n}$ и $\|H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$.
(iv) $f=\textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }f_{n}$ где $f_{n}$ имеет непересекающуюся поддержку $E_{n}$, с ненулевой мерой, на которой $B_{0}2^{n}\leq |f_{n}|\leq B_{1}2^{n}$ почти везде, $B_{0},B_{1}$ являются положительными константами, а $\|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$.
(v) $|f|\leq \textstyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }2^{n}\chi _{E_{n}}$ почти везде, где $\|2^{n}\mu (E_{n})^{1/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C$.

См. также

• Интерполяционное пространство
• Неравенство Харди – Литтлвуда

Ссылки

• Графакос, Лукас (2008), Классический анализ Фурье , Тексты для аспирантов по математике, том. 249 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-0-387-09432-8 , ISBN  978-0-387-09431-1 , МР   2445437 .