Неравенство Харди – Литтлвуда

В математическом анализе неравенство Харди -Литтлвуда , названное в честь Г.Х. Харди и Джона Иденсора Литтлвуда , утверждает, что если $f$ и $g$ — неотрицательные измеримые действительные функции, исчезающие на бесконечности и определенные на $n$- мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$, затем

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx$

где $f^{*}$ и $g^{*}$ являются симметричными убывающими перестановками $f$ и $g$, соответственно.

Убывающая перегруппировка $f^{*}$ из $f$ определяется через свойство, что для всех $r>0$ два набора суперуровня

$E_{f}(r)=\left\{x\in X:f(x)>r\right\}\quad$ и $\quad E_{f^{*}}(r)=\left\{x\in X:f^{*}(x)>r\right\}$

имеют одинаковый объем ( $n$-мерная мера Лебега) и $E_{f^{*}}(r)$ мяч в $\mathbb {R} ^{n}$ сосредоточено в $x=0$, т. е. имеет максимальную симметрию.

Доказательство

торта Представление слоеного позволяет нам писать общие функции $f$ и $g$ в форме

$f(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\,dr\quad$ и $\quad g(x)=\int _{0}^{\infty }\chi _{g(x)>s}\,ds$

где $r\mapsto \chi _{f(x)>r}$ равно $1$ для $r<f(x)$ и $0$ в противном случае. Аналогично, $s\mapsto \chi _{g(x)>s}$ равно $1$ для $s<g(x)$ и $0$ в противном случае.

Теперь доказательство можно получить, сначала воспользовавшись теоремой Фубини для смены порядка интегрирования. При интегрировании по $x\in \mathbb {R} ^{n}$ условия $f(x)>r$ и $g(x)>s$ Функции индикатора $x\mapsto \chi _{E_{f}(r)}(x)$ и $x\mapsto \chi _{E_{g}(s)}(x)$ появляются с наборами суперуровней $E_{f}(r)$ и $E_{g}(s)$ как было введено выше:

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)g(x)\,dx=\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\,dr\;\int _{0}^{\infty }\chi _{g(x)>s}\,ds\,dx=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\chi _{f(x)>r}\;\chi _{g(x)>s}\,dr\,ds\,dx$

$=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{E_{f}(r)}(x)\;\chi _{E_{g}(s)}(x)\,dx\,dr\,ds=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{E_{f}(r)\cap E_{g}(s)}(x)\,dx\,dr\,ds.$

Обозначая $\mu$ тот $n$-мерной меры Лебега, мы продолжим, оценивая объем пересечения по минимуму объемов двух множеств. Тогда для перестановок можно использовать равенство объёмов множеств суперуровней:

$=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(E_{f}(r)\cap E_{g}(s)\right)\,dr\,ds$

$\leq \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left\{\mu (E_{f}(r)),\,\mu (E_{g}(s))\right\}\,dr\,ds$

$=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\min \left\{\mu (E_{f^{*}}(r)),\,\mu (E_{g^{*}}(s))\right\}\,dr\,ds.$

Теперь мы используем наборы суперуровней $E_{f^{*}}(r)$ и $E_{g^{*}}(s)$ есть мячи в $\mathbb {R} ^{n}$ сосредоточено в $x=0$, что означает, что $E_{f^{*}}(r)\,\cap \,E_{g^{*}}(s)$ это в точности меньший из двух шаров:

$=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\mu \left(E_{f^{*}}(r)\cap E_{g^{*}}(s)\right)\,dr\,ds$

$=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f^{*}(x)g^{*}(x)\,dx$

Последнее тождество следует путем изменения первоначальных пяти шагов, которые работают даже для общих функций. Это завершает доказательство.

Приложение

Пусть случайная величина $X$ Обычно распределяется со средним значением $\mu$ и конечная ненулевая дисперсия $\sigma ^{2}$, то, используя неравенство Харди–Литтлвуда, можно доказать, что для $0<\delta <1$ тот $\delta ^{\text{th}}$ обратный момент для абсолютного значения $X$ является

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[{\frac {1}{\vert X\vert ^{\delta }}}\right]&\leq 2^{\frac {(1-\delta )}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {1-\delta }{2}}\right)}{\sigma ^{\delta }{\sqrt {2\pi }}}}{\text{ irrespective of the value of }}\mu \in \mathbb {R} .\end{aligned}}$

Техника, которая используется для получения вышеуказанного свойства нормального распределения, может быть использована для других унимодальных распределений.

См. также

• Неравенство перестановки
• Неравенство сумм Чебышева
• Лоренцево пространство