Представление слоеного торта

Представление слоеного торта.

В математике — представление неотрицательной слоеного пирога . действительной в виде измеримой функции $f$ определенный в пространстве меры $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ это формула

$f(x)=\int _{0}^{\infty }1_{L(f,t)}(x)\,\mathrm {d} t,$

для всех $x\in \Omega$, где $1_{E}$ обозначает индикаторную функцию подмножества $E\subseteq \Omega$ и $L(f,t)$ обозначает множество суперуровня

$L(f,t)=\{y\in \Omega \mid f(y)\geq t\}.$

Представление слоеного пирога легко следует из наблюдения, что

$1_{L(f,t)}(x)=1_{[0,f(x)]}(t)$

а затем используя формулу

$f(x)=\int _{0}^{f(x)}\,\mathrm {d} t.$

Представление слоеного пирога получило свое название от представления значения. $f(x)$ как сумма вкладов «слоев» $L(f,t)$: «слои»/значения $t$ ниже $f(x)$ вносят вклад в интеграл, а значения $t$ выше $f(x)$ не.Это обобщение принципа Кавальери , известное также под этим названием.

Важным следствием представления слоеного пирога является тождество

$\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{0}^{\infty }\mu (\{x\in \Omega \mid f(x)>t\})\,\mathrm {d} t,$

что следует из него применением теоремы Фубини-Тонелли .

Важным применением является то, что $L^{p}$ для $1\leq p<+\infty$ можно записать следующим образом

$\int _{\Omega }|f(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)=p\int _{0}^{\infty }s^{p-1}\mu (\{x\in \Omega \mid \,|f(x)|>s\})\mathrm {d} s,$

что сразу следует из замены переменных $t=s^{p}$ в представлении слоеного пирога $|f(x)|^{p}$.

Это представление можно использовать для доказательства неравенства Маркова и неравенства Чебышева .

См. также

• Симметричная убывающая перестановка

Ссылки

• Гарднер, Ричард Дж. (2002). «Неравенство Брунна – Минковского» . Бык. амер. Математика. Соц. (НС) . 39 (3): 355–405 (электронный). дои : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .
• Либ, Эллиотт ; Потеря, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике . Том. 14 (2-е изд.). Американское математическое общество . ISBN  978-0821827833 .