Неравенство Бесселя

В математике , особенно в функциональном анализе , неравенство Бесселя — это утверждение о коэффициентах элемента. $x$ в гильбертовом пространстве относительно ортонормированной последовательности . Неравенство было выведено Ф. В. Бесселем в 1828 году.

Позволять $H$ — гильбертово пространство, и предположим, что $e_{1},e_{2},...$ является ортонормированной последовательностью в $H$. Тогда для любого $x$ в $H$ у одного есть

$\sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2},$

где ⟨·,·⟩ обозначает скалярное произведение в гильбертовом пространстве $H$. Если мы определим бесконечную сумму

$x'=\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},$

состоящий из «бесконечной суммы» векторных решающих $x$ в направлении $e_{k}$ Бесселя , неравенство говорит нам о том, что этот ряд сходится . Можно думать об этом, что существует $x'\in H$ который можно описать в терминах потенциального базиса $e_{1},e_{2},\dots$.

Для полной ортонормированной последовательности (т. е. для ортонормированной последовательности, являющейся базисом ) мы имеем тождество Парсеваля , заменяющее неравенство равенством (и, следовательно, $x'$ с $x$).

Неравенство Бесселя следует из тождества

${\begin{aligned}0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}&=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Re} \langle x,\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\rangle +\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\\&=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},\end{aligned}}$

что справедливо для любого натурального n .

См. также

• Неравенство Коши – Шварца
• Теорема Парсеваля

Внешние ссылки

• «Неравенство Бесселя» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Неравенство Бесселя - статья о неравенстве Бесселя на MathWorld.

Эта статья включает в себя материал из неравенства Бесселя на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .