Теорема Гельфанда–Наймарка.

Не путать с теоремой Гельфонда–Шнайдера .

В математике теорема Гельфанда –Наймарка утверждает, что произвольная C*-алгебра A изометрически *-изоморфна C*-подалгебре ограниченных операторов в гильбертовом пространстве . Этот результат был доказан Израилем Гельфандом и Марком Наймарком в 1943 году и явился важным моментом в развитии теории С*-алгебр, поскольку он установил возможность рассмотрения С*-алгебры как абстрактной алгебраической сущности без привязки к конкретным реализациям. как операторная алгебра .

Подробности

Представление Гельфанда–Наймарка π является прямой суммой представлений π _f A , где f пробегает множество чистых состояний A, а π _f — неприводимое представление, связанное с f конструкцией GNS . Таким образом, представление Гельфанда–Наймарка действует на гильбертову прямую сумму гильбертовых пространств H _f по формуле

$\pi (x)[\bigoplus _{f}H_{f}]=\bigoplus _{f}\pi _{f}(x)H_{f}.$

π( x ) — ограниченный линейный оператор , поскольку он представляет собой прямую сумму семейства операторов, норма каждого из которых ≤ || х ||.

Теорема . Представление Гельфанда–Наймарка C*-алгебры является изометрическим *-представлением.

Достаточно показать, что отображение π инъективно , поскольку для *-морфизмов C*-алгебр инъективное влечет изометрическое. Пусть x — ненулевой элемент A . По теореме Крейна о продолжении положительных линейных функционалов существует состояние f на A такое, что f ( z ) ≥ 0 для всех неотрицательных z в A и f (− x * x ) < 0. Рассмотрим представление GNS π _f с циклическим вектором ξ. С

${\begin{aligned}\|\pi _{f}(x)\xi \|^{2}&=\langle \pi _{f}(x)\xi \mid \pi _{f}(x)\xi \rangle =\langle \xi \mid \pi _{f}(x^{*})\pi _{f}(x)\xi \rangle \\[6pt]&=\langle \xi \mid \pi _{f}(x^{*}x)\xi \rangle =f(x^{*}x)>0,\end{aligned}}$

отсюда следует, что π _f (x) ≠ 0, следовательно, π (x) ≠ 0, следовательно, π инъективен.

Конструкция представления Гельфанда–Наймарка зависит только от конструкции ОНС и поэтому имеет смысл для любой банаховой *-алгебры A, имеющей приближенное тождество . В общем случае (когда A не является C*-алгеброй) она не будет точным представлением . Замыканием образа π( A ) будет C*-алгебра операторов, называемая *-обертывающей алгеброй A C . Эквивалентно мы можем определить C*-обертывающая алгебра следующим образом: Определите вещественнозначную функцию на A формулой

$\|x\|_{\operatorname {C} ^{*}}=\sup _{f}{\sqrt {f(x^{*}x)}}$

поскольку f пробегает чистые состояния A . Это полунорма, которую мы называем C* A . полунормой Множество I элементов из A , полунорма которых равна 0, образует двусторонний идеал в A, замкнутый относительно инволюции. Таким образом, фактор-векторное пространство A / I является инволютивной алгеброй и норма

$\|\cdot \|_{\operatorname {C} ^{*}}$

факторы через норму на A / I , которая, за исключением полноты, является нормой C* на A / I (их иногда называют пре-C*-нормами). Взятие пополнения A / I относительно этой пред-C*-нормы дает C* B. -алгебру

По теореме Крейна–Мильмана можно без особого труда показать, что для x элемент банаховой *-алгебры A имеет приближенное тождество:

$\sup _{f\in \operatorname {State} (A)}f(x^{*}x)=\sup _{f\in \operatorname {PureState} (A)}f(x^{*}x).$

Отсюда следует, что эквивалентной формой нормы C* на A является принятие указанного выше супремума по всем состояниям.

Универсальная конструкция используется также для определения универсальных C*-алгебр изометрий.

Замечание . или Представление Гельфанда изоморфизм Гельфанда коммутативной С*-алгебры с единицей $A$ является изометрическим *-изоморфизмом из $A$ к алгебре непрерывных комплекснозначных функций на пространстве мультипликативных линейных функционалов, которые в коммутативном случае являются в точности чистыми состояниями, оператора А со слабой топологией.

См. также

• строительство ГНС
• Теорема о факторизации Стайнспринга
• Теорема Гельфанда–Райкова.
• Торговый оператор
• Двойственность Таннака-Крейна

Ссылки

• И. М. Гельфанд , М. А. Наймарк (1943). «О вложении нормированных колец в кольцо операторов гильбертова пространства» . Мат. Сборник . 12 (2): 197–217. (также доступно в Google Книгах )
• Диксмье, Жак (1969). C*-алгебры и их представления . Готье-Виллар. ISBN  0-7204-0762-1 . , также доступен на английском языке в издательстве North Holland Press, см., в частности, разделы 2.6 и 2.7.
• Эйснер, Таня; Фаркас, Балинт; Хаазе, Марк; Нагель, Райнер (2015). « ${\operatorname {C} ^{*}}$-Алгебра C(K) и оператор Купмана». Операторно-теоретические аспекты эргодической теории . Springer. стр. 45–70. doi : 10.1007/978-3-319-16898-2_4 . ISBN  978-3-319-16897-5 .