Теорема Гельфонда – Шнайдера.

В математике теорема Гельфонда -Шнайдера устанавливает трансцендентность большого класса чисел.

История

Первоначально это было независимо доказано в 1934 году Александром Гельфондом. и Теодор Шнайдер .

Заявление

Если a и b — комплексные алгебраические числа с a $\not \in \{0,1\}$ и b нерационально , то любое значение a ^б является трансцендентным числом .

Комментарии

• Значения a и b не ограничиваются действительными числами ; комплексные числа (здесь комплексные числа не считаются рациональными, если их мнимая часть не равна 0, даже если и действительная, и мнимая части рациональны). допускаются
• , В целом ^б = exp( b ln a ) многозначно , где ln обозначает натуральный логарифм . Этим объясняется фраза «любое значение» в формулировке теоремы.
• Эквивалентная формулировка теоремы следующая: если α и γ — ненулевые алгебраические числа и мы берем любой ненулевой логарифм α , то (log γ )/(log α ) либо рационально, либо трансцендентно. Это можно выразить так: если log α , log γ над линейно независимы рациональными числами, то они линейно независимы и над алгебраическими числами. Обобщение этого утверждения на более общие линейные формы в логарифмах некоторых алгебраических чисел находится в области теории трансцендентных чисел .
• Если снять ограничение на алгебраичность a и b , утверждение, вообще говоря, не останется верным. Например,

${\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.$

Здесь a равно √ 2 ^{√ 2} , которая (как доказано самой теоремой) является трансцендентной, а не алгебраической. Аналогично, если a = 3 и b = (log 2)/(log 3) , что является трансцендентным, то a ^б = 2 является алгебраическим. Характеристика значений a и b, которые дают трансцендентное a ^б не известно.

• Курт Малер доказал p -адический аналог теоремы: если a и b находятся в C _p , то p и они алгебраичны завершение алгебраического замыкания Q _над Q , и если $|a-1|_{p}<1$ и $|b-1|_{p}<1,$ затем $(\log _{p}a)/(\log _{p}b)$ является либо рациональным, либо трансцендентным, где log _p — функция p -адического логарифма .

Следствия

Трансцендентность следующих чисел непосредственно следует из теоремы:

• Константа Гельфонда – Шнайдера $2^{\sqrt {2}}$ и его квадратный корень ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}.$
• постоянная Гельфонда $e^{\pi }=\left(e^{i\pi }\right)^{-i}=(-1)^{-i}=23.14069263\ldots$
• $i^{i}=\left(e^{\frac {i\pi }{2}}\right)^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0.207879576\ldots$

Приложения

Теорема Гельфонда-Шнайдера утвердительно отвечает на седьмую проблему Гильберта .

См. также

• Теорема Линдеманна – Вейерштрасса
• теорема Бейкера ; расширение результата
• Гипотеза Шануэля ; если бы это было доказано, это означало бы как теорему Гельфонда – Шнайдера, так и теорему Линдеманна – Вейерштрасса.

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Бейкер, Алан (1975), Теория трансцендентных чисел , издательство Кембриджского университета , стр. 10, ISBN  978-0-521-20461-3 , Збл   0297.10013
• Фельдман, Н.И.; Нестеренко, Ю. В. (1998), Трансцендентные числа , Энциклопедия математических наук, вып. 44, Шпрингер-Верлаг , ISBN  3-540-61467-2 , МР   1603604
• Гельфонд, А.О. (1960) [1952], Трансцендентные и алгебраические числа , издания Dover Phoenix, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN  978-0-486-49526-2 , МР   0057921
• ЛеВек, Уильям Дж. (2002) [1956]. Темы теории чисел, тома I и II . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-42539-9 .
• Нивен, Иван (1956). Иррациональные числа . Математическая ассоциация Америки. ISBN  0-88385-011-7 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Гельфонда-Шнайдера» . Математический мир .

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы Гельфонда–Шнайдера.