Константа Гельфонда – Шнайдера

Константа Гельфонда – Шнайдера или число Гильберта. ^{[ 1 ]} равно двум в степени квадратного корня из двух :

2 ^{√ 2} ≈ 2.665 144 142 690 225 188 650 297 249 8731 ...

которое было трансцендентным числом Родионом Кузьминым в 1930 году. ^{[ 2 ]} В 1934 году Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер независимо друг от друга доказали более общую теорему Гельфонда – Шнайдера : ^{[ 3 ]} что решило часть седьмой проблемы Гильберта, описанную ниже.

Характеристики

Квадратный корень из постоянной Гельфонда – Шнайдера представляет собой трансцендентное число

{\sqrt {2^{\sqrt {2}}}}={\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\approx

1.632 526 919 438 152 844 77 ....

Эту же константу можно использовать, чтобы доказать, что «иррациональное, возведенное в иррациональную силу, может быть рациональным», даже без предварительного доказательства его трансцендентности. Доказательство проводится следующим образом: либо ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ является рациональным, доказывающим теорему, или оно иррационально (как оказывается), и тогда

\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\times {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2

является иррациональным к иррациональной степени, которая является рациональной, что доказывает теорему. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Доказательство неконструктивно , так как не говорит, какой из двух случаев верен, но оно значительно проще доказательства Кузьмина .

Седьмая проблема Гильберта

Часть седьмой из двадцати трёх задач, поставленных Гильбертом в 1900 году, заключалась в том, чтобы доказать или найти контрпример к утверждению, что ^б всегда трансцендентно для алгебраического a ≠ 0, 1 и иррационального алгебраического b . В своем обращении он привел два явных примера, один из них — константа Гельфонда–Шнайдера 2 ^{√ 2}.

В 1919 году он прочитал лекцию по теории чисел и рассказал о трёх гипотезах: гипотезе Римана , Великой теореме Ферма и трансцендентности 2. ^{√ 2}. Он сказал аудитории, что не ожидает, что кто-нибудь в зале проживет достаточно долго, чтобы увидеть доказательство этого результата. ^{[ 6 ]} Но доказательство трансцендентности этого числа было опубликовано Кузьминым в 1930 году: ^{[ 2 ]} еще при . жизни Гильберта А именно, Кузмин доказал случай, когда показатель b является вещественной квадратичной иррациональной величиной , который позже был расширен до произвольного алгебраического иррационального числа b Гельфондом и Шнейдером.

См. также

постоянная Гельфонда

Ссылки

^ Курант, Р .; Роббинс, Х. (1996), Что такое математика?: Элементарный подход к идеям и методам , Oxford University Press, стр. 107
^ Jump up to: ^а ^б R. O. Kuzmin (1930). "On a new class of transcendental numbers" . Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem . 7 : 585–597.
^ Александр Гельфонд (1934). «О седьмой проблеме Гильберта» . Вестник Академии наук СССР. Класс математических наук и па . VII (4): 623–634.
^ Жарден, Д. (1953), «Куриоза: простое доказательство того, что степень иррационального числа в иррациональном показателе может быть рациональной», Scripta Mathematica , 19 : 229 .
^ Джонс, JP; Топоровски, С. (1973), «Иррациональные числа», American Mathematical Monthly , 80 (4): 423–424, doi : 10.2307/2319091 , JSTOR 2319091 , MR 0314775 ,
^ Дэвид Гильберт, Природа и математическое познание: лекции, прочитанные в 1919–1920 годах .

Дальнейшее чтение

Рибенбойм, Пауло (2000). Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел . Университеттекст. Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-98911-0 . Збл 0947.11001 .
Тайдеман, Роберт (1976). «О методе Гельфонда–Бейкера и его приложениях». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, вытекающие из задач Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . Том. ХXVIII.1. Американское математическое общество . стр. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1 . Збл 0341.10026 .

[1] Курант, Р .; Роббинс, Х. (1996), Что такое математика?: Элементарный подход к идеям и методам , Oxford University Press, стр. 107

[Kuzmin-2] Jump up to: ^а ^б R. O. Kuzmin (1930). "On a new class of transcendental numbers" . Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Ser. Matem . 7 : 585–597.

[3] Александр Гельфонд (1934). «О седьмой проблеме Гильберта» . Вестник Академии наук СССР. Класс математических наук и па . VII (4): 623–634.

[4] Жарден, Д. (1953), «Куриоза: простое доказательство того, что степень иррационального числа в иррациональном показателе может быть рациональной», Scripta Mathematica , 19 : 229 .

[5] Джонс, JP; Топоровски, С. (1973), «Иррациональные числа», American Mathematical Monthly , 80 (4): 423–424, doi : 10.2307/2319091 , JSTOR 2319091 , MR 0314775 ,

[6] Дэвид Гильберт, Природа и математическое познание: лекции, прочитанные в 1919–1920 годах .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]