Седьмая проблема Гильберта

Седьмая проблема Гильберта — одна из Дэвида Гильберта, поставленных открытых математических задач в 1900 году. Она касается иррациональности и трансцендентности некоторых чисел .

Постановка задачи

Два конкретных эквивалента задаются вопросы:

1. Если в равнобедренном треугольнике отношение угла при основании к углу при вершине является алгебраическим , но не рациональным , то всегда ли соотношение между основанием и стороной трансцендентно ?
2. Является $a^{b}$ всегда трансцендентный , для алгебраического $a\not \in \{0,1\}$ и иррациональная алгебраика $b$?

Решение

На вопрос (во второй форме) утвердительно ответил Александр Гельфонд в 1934 году и уточнил Теодор Шнайдер в 1935 году. Этот результат известен как теорема Гельфонда или теорема Гельфонда – Шнайдера . (Ограничение на иррациональное b важно, поскольку легко видеть, что $a^{b}$ является алгебраическим для алгебраического a и рационального b .)

С точки зрения обобщений, это так.

$b\ln {\alpha }+\ln {\beta }=0$

общей линейной формы в логарифмах, которую изучил Гельфонд и затем решил Алан Бейкер . Она называется гипотезой Гельфонда или теоремой Бейкера . За это достижение Бейкер был награжден медалью Филдса в 1970 году.

См. также

• Число Гильберта или константа Гельфонда – Шнайдера

Библиография

• Тайдеман, Роберт (1976). «О методе Гельфонда–Бейкера и его приложениях». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, вытекающие из задач Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . Том. ХXVIII.1. Американское математическое общество . стр. 241–268. ISBN  978-0-8218-1428-4 . Збл   0341.10026 .
• Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). п. 61. ИСБН  978-3-540-20364-3 . ISSN   0938-0396 . Збл   1079.11002 .

Внешние ссылки

• Английский перевод оригинального обращения Гильберта