Тринадцатая проблема Гильберта

Тринадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, изложенных в знаменитом списке, составленном в 1900 году Дэвидом Гильбертом . Это влечет за собой доказательство существования решения для всех уравнений 7-й степени с использованием алгебраических (вариант: непрерывные ) функций двух аргументов . Впервые оно было представлено в контексте номографии и, в частности, «номографического построения» — процесса, при котором функция нескольких переменных строится с использованием функций двух переменных. Вариант для непрерывных функций был положительно решен в 1957 году Владимиром Арнольдом , когда он доказал теорему о представлении Колмогорова-Арнольда , но вариант для алгебраических функций остается нерешенным.

Введение

Используя методы, впервые предложенные Эренфридом Вальтером фон Чирнхаусом (1683 г.), Эрландом Сэмюэлем Брингом (1786 г.) и Джорджем Джеррардом (1834 г.), Уильям Роуэн Гамильтон показал в 1836 году, что каждое уравнение седьмой степени можно свести через радикалы к виду $x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0$.

Что касается этого уравнения, Гильберт спросил, может ли его решение x , рассматриваемое как функция трех переменных a , b и c , быть выражено как композиция конечного числа функций двух переменных.

История

Первоначально Гильберт поставил свою проблему для алгебраических функций (Hilbert 1927, «...Existenz von алгебраических функций...», т.е. «...существование алгебраических функций...»; также см. Abhyankar 1997, Vitushkin 2004). Однако в более поздней версии этой проблемы Гильберт также спросил, существует ли решение в классе непрерывных функций .

Обобщением второго («непрерывного») варианта задачи является следующий вопрос: может ли всякая непрерывная функция трех переменных быть выражена как композиция конечного числа непрерывных функций двух переменных? Утвердительный ответ на этот общий вопрос дал в 1957 году Владимир Арнольд , которому тогда было всего девятнадцать лет и который был учеником Андрея Колмогорова . Годом ранее Колмогоров показал, что любую функцию нескольких переменных можно построить с помощью конечного числа функций трех переменных. Затем Арнольд расширил эту работу, чтобы показать, что на самом деле требуются только функции с двумя переменными, ответив тем самым на вопрос Гильберта, заданный для класса непрерывных функций.

Позже Арнольд вернулся к алгебраической версии проблемы вместе с Горо Шимурой (Арнольд и Шимура, 1976).

Ссылки

• Шрирам Шанкар Абхьянкар , « Тринадцатая проблема Гильберта », Некоммутативная алгебра, квантовые группы и инварианты (Реймс, 1995), 1–11, Семин. Конг. , 2, соц. Математика. Франция, Париж, 1997. МР. 1601178
• В. И. Арнольд и Горо Шимура , Суперпозиция алгебраических функций (1976), в «Математических разработках, возникающих из проблем Гильберта» , том 1, Proceedings of Symposium in Pure Mathematics 28 (1976), стр. 45-46.
• Гильберт, Дэвид (1927). «Об уравнении девятой степени» . Математические летописи . 97 (1): 243–250. дои : 10.1007/BF01447867 . ЖФМ   52.0103.02 . МР1512361   .
• Лоренц, Джордж Г. (1966). Приближение функций . Нью-Йорк Чикаго Торонто: Холт, Райнхарт и Уинстон . Глава 11. МР   0213785 .
• Vitushkin, Anatoli Georgievich (2004). "13-я проблема Гильберта и смежные вопросы" (PDF) . Uspekhi Matematicheskikh Nauk . 59 (1): 11 24. doi : 10.4213/rm698 . English translation in: «О тринадцатой проблеме Гильберта и связанных с ней вопросах» . Российские математические обзоры . 59 (1): 11–25. 2004. doi : 10.1070/RM2004v059n01ABEH000698 . МР   2068840 .
• Фарб, Бенсон ; Вольфсон, Джесси (2020). «Резольвентная степень, 13-я проблема Гильберта и геометрия» . Математическое познание . 65 (3): 303–376. arXiv : 1803.04063 . дои : 10.4171/LEM/65-3/4-2 . ISSN   0013-8584 . МР   4113045 . S2CID   14000951 .

См. также

• Септическое уравнение

Внешние ссылки

• Орнес, Стивен (14 января 2021 г.). «Математики воскрешают 13-ю проблему Гильберта» . Журнал Кванта .