Двадцать вторая проблема Гильберта
Двадцать вторая задача Гильберта — предпоследняя запись в знаменитом списке из 23 задач Гильберта, составленном в 1900 году Дэвидом Гильбертом . Это влечет за собой униформизацию аналитических отношений с помощью автоморфных функций .
Постановка задачи
[ редактировать ]Полная исходная постановка задачи выглядит следующим образом:
Как первым доказал Пуанкаре, любое алгебраическое отношение между двумя переменными всегда можно привести к единообразию, используя автоморфные функции одной переменной. Т. е. если дано какое-либо алгебраическое уравнение с двумя переменными, то для этих переменных всегда можно найти две такие однозначные автоморфные функции одной переменной, замена которых делает данное алгебраическое уравнение тождественным. Обобщение этой фундаментальной теоремы на любые аналитические неалгебраические отношения между двумя переменными также с успехом было предпринято Пуанкаре, хотя и совершенно другим способом, чем тот, который помог ему в первой упомянутой специальной проблеме. Однако из доказательства Пуанкаре возможности сведения к единообразию произвольного аналитического отношения между двумя переменными не становится очевидным, можно ли определить разрешающие функции с учетом некоторых дополнительных условий. А именно, не показано, могут ли две однозначные функции одной новой переменной быть выбраны так, что, пока эта переменная пересекает регулярную область определения этих функций, действительно достигается и представляется совокупность всех регулярных точек данного аналитического поля. . Напротив, из исследований Пуанкаре кажется, что помимо точек ветвления существуют некоторые другие, вообще бесконечно много других дискретных исключительных точек аналитического поля, которые могут быть достигнуты только путем приближения новой переменной к некоторым предельным значениям. точки функций. Ввиду принципиальной важности постановки вопроса Пуанкаре мне кажется, что выяснение и разрешение этой трудности крайне желательно.
В связи с этой проблемой возникает проблема приведения к единообразию алгебраического или любого другого аналитического отношения между тремя и более комплексными переменными — задача, которая, как известно, разрешима во многих частных случаях. Для решения этой проблемы недавние исследования Пикара об алгебраических функциях двух переменных следует рассматривать как желанные и важные предварительные исследования. [ 1 ]
Частичные решения
[ редактировать ]Кебе доказал общую теорему униформизации , согласно которой, если риманова поверхность гомеоморфна открытому подмножеству комплексной сферы (или, что то же самое, если каждая жорданова кривая разделяет ее), то она конформно эквивалентна открытому подмножеству комплексной сферы.
Текущий статус
[ редактировать ]В настоящее время эта проблема открыта. [ 2 ] [ сомнительно – обсудить ] Некоторого прогресса добились Гриффит и Берс.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Гильберт, Дэвид, «Математические проблемы» Göttinger Nachrichten , (1900), стр. 253–297, и в Архивах математики и физики , (3) 1 (1901), 44–63 и 213–237. Опубликовано в английском переводе Dr. Мэби Винтон Ньюсон, Бюллетень Американского математического общества 8 (1902), 437–479 [1] [2] дои : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . [Более полное название журнала Göttinger Nachrichten — Nachrichten von der Königl. Общество науки в Геттинген.]
- ^ Адачи, Юкинобу. «О многомерной теореме Римана об отображении и ее приложениях». Журнал математических исследований 6.3 (2014): стр. 13.
- Берс, Липман (1976). «О двадцать второй проблеме Гильберта». В Феликсе Э. Браудере (ред.). Математические разработки, вытекающие из задач Гильберта . Труды симпозиумов по чистой математике . Том. ХXVIII.2. Американское математическое общество . стр. 559–609. ISBN 0-8218-1428-1 .