Одиннадцатая проблема Гильберта
Одиннадцатая проблема Гильберта - одна из Дэвида Гильберта , списков открытых математических проблем поставленных на Втором Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Развивая теорию квадратичных форм , он сформулировал проблему следующим образом:
- Наши нынешние знания теории полей квадратичных чисел позволяют нам успешно атаковать теорию квадратичных форм с любым числом переменных и с любыми алгебраическими числовыми коэффициентами. Это приводит, в частности, к интересной задаче: решить данное квадратное уравнение с алгебраическими числовыми коэффициентами от любого числа переменных с помощью целых или дробных чисел, принадлежащих алгебраической области рациональности, определяемой коэффициентами. [ 1 ]
Как заявил Капланский: «11-я проблема заключается в следующем: классифицировать квадратичные формы над полями алгебраических чисел ». Именно это Минковский сделал для квадратичной формы с дробными коэффициентами. Квадратная форма (не квадратное уравнение) — это любой многочлен , в котором каждый член имеет переменные, встречающиеся ровно два раза. Общий вид такого уравнения: ax 2 + bxy + cy 2 . (Все коэффициенты должны быть целыми числами.)
Говорят, что данная квадратичная форма представляет , натуральное число если замена переменных определенными числами дает это число. Гаусс и его последователи обнаружили, что если мы изменим переменные определенным образом, новая квадратичная форма будет представлять те же натуральные числа, что и старая, но в другой, более легко интерпретируемой форме. Он использовал эту теорию эквивалентных квадратичных форм для доказательства результатов теории чисел. Лагранж, например, показал, что любое натуральное число можно выразить в виде суммы четырех квадратов. Гаусс доказал это, используя свою теорию отношений эквивалентности. [ 2 ] показав, что квадратичное представляет все натуральные числа. Как упоминалось ранее, Минковский создал и доказал аналогичную теорию для квадратичных форм, коэффициентами которых были дроби. Одиннадцатая проблема Гильберта требует аналогичной теории. То есть это способ классификации, позволяющий нам определить, эквивалентна ли одна форма другой, но в случае, когда коэффициенты могут быть алгебраическими числами . Гельмут Хассе достиг этого в доказательстве, используя свой локально-глобальный принцип и тот факт, что теория относительно проста для p -адических систем в октябре 1920 года. Он опубликовал свои работы в 1923 и 1924 годах. См. Принцип Хассе , теорему Хассе-Минковского. . Локально-глобальный принцип гласит, что общий результат о рациональном числе или даже обо всех рациональных числах часто можно получить, проверив, что этот результат верен для каждой из p -адических систем счисления.
Есть также более поздняя работа по одиннадцатой проблеме Гильберта, изучающей случаи, когда целое число может быть представлено квадратичной формой. Примером могут служить работы Когделла, Пятецкого-Шапиро и Сарнака . [ 3 ]
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ Дэвид Гилберт, «Математические задачи» . Бюллетень Американского математического общества , вып. 8, № 10 (1902), стр. 437-479. Более ранние публикации (в оригинальном немецком языке) появились в Göttinger Nachrichten , 1900, стр. 253–297, и в Archives of Mathematics and Physics , 3rd series, vol. 1 (1901), стр. 44–63, 213–237.
- ^ Янделл, Бен (2002). Класс с отличием: проблемы Гильберта и их решения . Натик, Массачусетс: АК Питерс. стр. 245–255. ISBN 1-56881-141-1 . OCLC 47644376 .
- ^ Когделл, Джеймс В. (2003). «О суммах трех квадратов» (PDF) . Журнал Теории Номбров . 15 : 33–44.
Ссылки
[ редактировать ]- Янделл, Бенджамин Х. Класс с отличием: проблемы Гильберта и их решения. Натик: К. Питерс. Распечатать.