Девятнадцатая проблема Гильберта

Девятнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта , изложенных в списке, составленном Дэвидом Гильбертом в 1900 году. Он спрашивает, всегда ли решения регулярных задач вариационного исчисления являются аналитическими . Неофициально и, возможно, менее прямо, поскольку концепция Гильберта « регулярной вариационной проблемы » идентифицирует это именно как вариационную задачу, которой уравнение Эйлера-Лагранжа представляет собой эллиптическое уравнение в частных производных с аналитическими коэффициентами, Девятнадцатая проблема Гильберта, несмотря на ее кажущуюся техническую формулировку, просто спрашивает, наследует ли какое-либо решение в этом классе уравнений в частных производных относительно простое и хорошо понятное свойство быть аналитической функцией от уравнения, которому оно удовлетворяет. Девятнадцатая проблема Гильберта была независимо решена в конце 1950-х годов Эннио Де Джорджи и Джоном Форбсом Нэшем-младшим .

История

Истоки проблемы

Один из самых концептуально странных фактов в элементах теории аналитических функций я вижу в том факте, что существуют уравнения в частных производных, все интегралы которых обязательно являются аналитическими функциями независимых переменных, которые, короче говоря, способны только аналитические решения.

— Дэвид Гильберт ( Hilbert 1900 , стр. 288).

Дэвид Гильберт представил то, что сейчас называют своей девятнадцатой проблемой, в своей речи на втором Международном конгрессе математиков . В ( Hilbert 1900 , стр. 288) он утверждает, что, по его мнению, одним из наиболее замечательных фактов теории аналитических функций является то, что существуют классы уравнений в частных производных, которые допускают в качестве решений только аналитические функции, перечисляя уравнение Лапласа : уравнение Лиувилля , уравнение минимальной поверхности и класс линейных уравнений в частных производных, изученных Эмилем Пикаром в качестве примеров. Затем он отмечает, что большинство уравнений в частных производных, обладающих этим свойством, представляют собой уравнения Эйлера – Лагранжа четко определенного типа вариационной задачи, удовлетворяющие следующим трем свойствам:

(1)      ${\iint F(p,q,z;x,y)dxdy}={\text{Minimum}}\qquad \left[{\frac {\partial z}{\partial x}}=p\quad ;\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}=q\right]$,

(2)      ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}p}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}q}}-\left({\frac {\partial ^{2}F}{{\partial p}{\partial q}}}\right)^{2}>0$,

(3)       F — аналитическая функция всех своих аргументов p , q , z , x и y .

Гильберт называет это « регулярной вариационной проблемой ». Свойство (1) означает, что это минимальные задачи . Свойство (2) представляет собой условие эллиптичности уравнений Эйлера–Лагранжа, связанных с данным функционалом , а свойство (3) представляет собой простое предположение о регулярности функции F . Выявив класс рассматриваемых задач, он ставит следующий вопрос: « …любое ли лагранжево уравнение в частных производных регулярной вариационной задачи обладает свойством допускать исключительно аналитические интегралы? » Далее он спрашивает, так ли это, даже когда функция должна принимать граничные значения, которые являются непрерывными, но не аналитическими, как это происходит в задаче Дирихле для потенциальной функции .

Путь к полному решению

Гильберт сформулировал свою девятнадцатую проблему как проблему регулярности для класса эллиптических уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами. Поэтому первые усилия исследователей, пытавшихся ее решить, были направлены на изучение регулярности классических решений уравнений, принадлежащих к этому классу. Что касается решений C   3   , на проблему Гильберта положительно ответил Сергей Бернштейн ( 1904 ) в своей диссертации. Он показал, что C   3   решения нелинейных эллиптических аналитических уравнений с двумя переменными аналитичны. Результат Бернштейна с годами был улучшен несколькими авторами, такими как Петровски (1939) , который снизил требования к дифференцируемости решения, необходимые для доказательства его аналитичности. С другой стороны, прямые методы вариационного исчисления показали существование решений с очень слабыми свойствами дифференцируемости. В течение многих лет существовал разрыв между этими результатами. Было известно, что решения, которые можно было построить, имели интегрируемые с квадратом вторые производные, но этого было недостаточно, чтобы использовать механизм, который мог доказать их аналитичность, что требовало непрерывности первых производных. Этот пробел был восполнен независимо Эннио Де Джорджи ( 1956 , 1957 ) и Джон Форбс Нэш ( 1957 , 1958 ), которые смогли показать, что решения имеют первые производные, непрерывные по Гельдеру . Из предыдущих результатов это означало, что решения являются аналитическими всякий раз, когда дифференциальное уравнение имеет аналитические коэффициенты, что завершает решение девятнадцатой проблемы Гильберта. Впоследствии Юрген Мозер дал альтернативное доказательство результатов, полученных Эннио Де Джорджи ( 1956 , 1957 ) и Джоном Форбсом Нэшем ( 1957 , 1958 ).

Контрпримеры к различным обобщениям проблемы

Утвердительный ответ на девятнадцатую проблему Гильберта, данный Эннио Де Джорджи и Джоном Форбсом Нэшем, поднял вопрос, справедлив ли тот же вывод и для уравнений Эйлера-Лагранжа более общих функционалов . В конце 1960-х годов Мазья (1968) , Де Джорджи (1968) , Джусти и Миранда (1968) независимо друг от друга построили несколько контрпримеров . показывая, что в целом нет никакой надежды доказать такие результаты регулярности без добавления дополнительных гипотез.

Именно, Мазья (1968) привел несколько контрпримеров, включающих одно эллиптическое уравнение порядка больше двух с аналитическими коэффициентами. Для экспертов сенсацией стал тот факт, что такие уравнения могут иметь неаналитические и даже негладкие решения.

Де Джорджи (1968) и Джусти и Миранда (1968) привели контрпримеры, показывающие, что в случае, когда решение имеет векторное, а не скалярное значение, оно не обязательно должно быть аналитическим; пример Де Джорджи представляет собой эллиптическую систему с ограниченными коэффициентами, а пример Джусти и Миранды имеет аналитические коэффициенты. Позже Нечас (1977) представил другие, более уточненные примеры векторной задачи.

О теории Георгия

Ключевая теорема, доказанная Де Джорджи, представляет собой априорную оценку, утверждающую, что если u является решением подходящего линейного строго эллиптического УЧП второго порядка вида

$D_{i}(a^{ij}(x)\,D_{j}u)=0$

и $u$ имеет суммируемые с квадратом первые производные, то $u$ является гельдеровским.

Применение теоремы Де Джорджи к проблеме Гильберта

Проблема Гильберта спрашивает, являются ли минимизаторы $w$ энергетического функционала, такого как

$\int _{U}L(Dw)\,\mathrm {d} x$

являются аналитическими. Здесь $w$ является функцией на некотором компактном множестве $U$ Р ​ ^н , $Dw$ - его вектор градиента , а $L$ — лагранжиан, функция производных $w$ удовлетворяющее определенным условиям роста, гладкости и выпуклости. Гладкость $w$ можно показать с помощью теоремы Де Джорджи следующее. Уравнением Эйлера –Лагранжа для этой вариационной задачи является нелинейное уравнение

$\sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i}}(Dw))_{x_{i}}=0$

и дифференцируя это относительно $x_{k}$ дает

$\sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i}p_{j}}(Dw)w_{x_{j}x_{k}})_{x_{i}}=0$

Это означает, что $u=w_{x_{k}}$ удовлетворяет линейному уравнению

$D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0$

с

$a^{ij}=L_{p_{i}p_{j}}(Dw)$

таким образом, согласно результату Де Джорджи, решение w имеет непрерывные по Гельдеру первые производные, если матрица $L_{p_{i}p_{j}}$ ограничен. Если это не так, необходим следующий шаг: нужно доказать, что решение $w$ является липшицевым непрерывным , т.е. градиент $Dw$ это $L^{\infty }$ функция.

Если w известно, что имеет непрерывные по Гельдеру ( n +1)-е производные для некоторого n ≥ 1, то коэффициенты a ^ij имеют непрерывные по Гельдеру n -ые производные, поэтому из теоремы Шаудера следует, что ( n +2)-я производные также являются непрерывными по Гёльдеру, поэтому бесконечное повторение этого утверждения показывает, что решение w является гладким.

Nash's theorem

Джон Нэш дал оценку непрерывности решений параболического уравнения

$D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=D_{t}(u)$

где u — ограниченная функция от x ₁ ,..., x _n , t, определенная при t ≥ 0. Из своей оценки Нэш смог вывести оценку непрерывности решений эллиптического уравнения

$D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0$ рассматривая особый случай, когда u не зависит от t .

Ссылки

• Бернштейн, С. (1904), «Об аналитической природе решений уравнений в частных производных второго порядка» , Mathematische Annalen (на французском языке), 59 (1–2): 20–76, doi : 10.1007/BF01444746 , ISSN   0025-5831 , JFM   35.0354.01 , S2CID   121487650 .
• Бомбьери, Энрико (1975), «Вариационные задачи и эллиптические уравнения» , Труды Международного конгресса математиков, Ванкувер, Британская Колумбия, 1974, Vol. 1 , ICM Proceedings, Montreal: Canadian Mathematical Congress, стр. 53–63, MR   0509259 , Zbl   0344.49002 , заархивировано из оригинала (PDF) 31 декабря 2013 г. , получено 29 января 2011 г. Перепечатано в Бомбьери, Энрико (1976), «Вариационные задачи и эллиптические уравнения», Браудер, Феликс Э. (редактор), Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта , Труды симпозиумов по чистой математике , том. XXVIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 525–535, ISBN.  978-0-8218-1428-4 , МР   0425740 , Збл   0347.35032 .
• Де Джорджи, Эннио (1956), «Об аналитичности экстремалей кратных интегралов», Труды Национальной академии Линчеи. Отчеты. Класс физических, математических и естественных наук , серия VIII (на итальянском языке), 20 : 438–441, MR   0082045 , Zbl   0074.31503 . « Об аналитичности экстремалей кратных интегралов » (английский перевод названия) представляет собой краткое сообщение об исследовании, раскрывающее результаты, подробно описанные позже в ( De Giorgi 1957 ). Хотя, согласно « Полному списку научных публикаций Де Джорджи» (De Giorgi 2006 , стр. 6), английский перевод должен быть включен в ( De Giorgi 2006 ), к сожалению, он отсутствует.
• Де Джорджи, Эннио (1957), «О дифференцируемости и аналитичности экстремалей регулярных кратных интегралов», Мемуары Академии наук Турина. Класс физических, математических и естественных наук , серия III (на итальянском языке), 3 : 25–43, MR   0093649 , Zbl   0084.31901 . Переведено на английский язык как « О дифференцируемости и аналитичности экстремалей регулярных кратных интегралов » в ( De Giorgi 2006 , стр. 149–166).
• Де Джорджи, Эннио (1968), «Пример разрывных экстремалей для вариационной задачи эллиптического типа», Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Serie IV (на итальянском языке), 1 : 135–137, MR   0227827 , Zbl   0084.31901 . Переведено на английский язык как « Пример разрывных экстремалей для вариационной задачи эллиптического типа » в ( De Giorgi 2006 , стр. 285–287).
• Де Джорджи, Эннио (2006), Амбросио, Луиджи ; Даль Масо, Джанни ; Форти, Марко; Миранда, Марио ; Спаньоло, Серджио (ред.), Избранные статьи , Сборник сочинений Спрингера по математике, Берлин – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. x + 889, номер домена : 10.1007/978-3-642-41496-1 , ISBN  978-3-540-26169-8 , МР   2229237 , Збл   1096.01015 .
• Джаквинта, Мариано (1983), Множественные интегралы в вариационном исчислении и нелинейных эллиптических системах , Анналы математических исследований , том. 105, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, стр. vii+297, ISBN  978-0-691-08330-8 , МР   0717034 , Збл   0516.49003 .
• Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил С. (2001) [1998], Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка , Классика математики (пересмотренное 3-е издание 2-го изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag, стр. xiv + 517, ISBN  978-3-540-41160-4 , МР   1814364 , Збл   1042.35002 .
• Джусти, Энрико (1994), Прямые методы вариационного исчисления , Математические монографии (на итальянском языке), Болонья : Unione Matematica Italiana , стр. VI+422, MR   1707291 , Zbl   0942.49002 , переводится на английский как Джусти, Энрико (2003), Прямые методы вариационного исчисления , Ривер Эдж, Нью-Джерси – Лондон – Сингапур: World Scientific Publishing, стр. viii+403, doi : 10.1142/9789812795557 , ISBN  978-981-238-043-2 , МР   1962933 , Збл   1028.49001 .
• Джусти, Энрико ; Миранда, Марио (1968), «Пример разрывных решений задачи минимума, связанной с регулярным интегралом вариационного исчисления», Bollettino dell'Unione Matematica Italiana , Серия IV (на итальянском языке), 2 : 1–8, MR.   0232265 , Збл   0155.44501 .
• Гоберг, Израиль (1999), «Владимир Мазья: друг и математик. Воспоминания», Россман, Юрген; Такач, Питер; Вильденхайн, Гюнтер (ред.), Юбилейный сборник «Мазья». Том. 1: О работах Мазьи в области функционального анализа, уравнений в частных производных и приложений. На основе докладов, сделанных на конференции, Росток, Германия, 31 августа – 4 сентября 1998 г. , Теория операторов. Достижения и приложения, том. 109, Базель: Birkhäuser Verlag, стр. 1–5, ISBN.  978-3-7643-6201-0 , МР   1747861 , Збл   0939.01018 .
• Хедберг, Ларс Инге (1999), «О работе Мазьи в теории потенциала и теории функциональных пространств», Россманн, Юрген; Такач, Питер; Вильденхайн, Гюнтер (ред.), Юбилейный сборник Мазья , Теория операторов: достижения и приложения, том. 109, Базель : Birkhäuser Verlag, стр. 7–16, doi : 10.1007/978-3-0348-8675-8_2 , ISBN.  978-3-0348-9726-6 , МР   1747862 , Збл   0939.31001
• Гильберт, Дэвид (1900), «Математические проблемы» , Новости Королевского общества наук в Геттингене, Математически-физический класс (на немецком языке) (3): 253–297, JFM   31.0068.03 .
  - Перепечатано как «Математические проблемы» , Архив математики и физики , третья серия (на немецком языке), 1 : 44–63 и 253–297, 1900, JFM   32.0084.05 .
  - Переведено на английский Мэри Фрэнсис Уинстон Ньюсон как Гильберт, Дэвид (1902), «Математические проблемы», Бюллетень Американского математического общества , 8 (10): 437–479, doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 , JFM   33.0976.07 , MR   1557926 .
  - Перепечатано как Гильберт, Дэвид (2000), «Математические проблемы», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 37 (4): 407–436, doi : 10.1090/S0273-0979-00-00881-8 , MR   1779412 , S2CID   12695502 , Збл   0979.01028 .
  - Переведено на французский язык М. Л. Лагелем (с дополнениями самого Гильберта) как Гильберт, Давид (1902), «О будущих проблемах математики» , в Дюпорке, Э. (редактор), Отчет Второго Международного конгресса математиков, проходившего в Париже с 6 по 12 августа 1900 года. Протоколы и сообщения , ICM Proceedings, Париж: Готье-Виллар, стр. 58–114, JFM   32.0084.06 , заархивировано из оригинала (PDF) 31 декабря 2013 г. , получено 28 декабря 2013 г.
  – Существует также более раннее (и более короткое) резюме оригинального выступления Гильберта, переведенное на французский язык и опубликованное как Гильберт, Д. (1900), «Математические проблемы», L'Enseignement Mathématique (на французском языке), 2 : 349–355, doi : 10.5169/seals-3575 , JFM   31.0905.03 .
• Кристенсен, Ян; Минджоне, Джузеппе (октябрь 2011 г.). Очерки теории регулярности ХХ века и работы Йиндржиха Нечаса (PDF) (Отчет). Оксфорд: Оксфордский центр нелинейного PDE. стр. 1–30. ОксПДЭ-11/17. Архивировано из оригинала (PDF) 7 января 2014 г. .
• Maz'ya, V. G. (1968), Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами , Funktsional'nyĭ Analiz I Ego Prilozheniya (in Russian), 2 (3): 53–57, MR  0237946 .
  - Переведено на английский как Мазья, В.Г. (1968), "Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллиптических уравнений с аналитическими коэффициентами", Функциональный анализ и его приложения , 2 (3): 230–234, doi : 10.1007/BF01076124 , S2CID   121038871 , Zbl   0179.43601 .
• Минджоне, Джузеппе (2006), «Регулярность минимумов: приглашение на темную сторону вариационного исчисления». , Applications of Mathematics , 51 (4): 355–426, CiteSeerX   10.1.1.214.9183 , doi : 10.1007/s10778-006-0110-3 , hdl : 10338.dmlcz/134645 , MR   2291779 , S2CID   16385131 , Збл   1164.49324 .
• Морри, Чарльз Б. (1966), Множественные интегралы в вариационном исчислении , Основные доктрины математических наук, том. 130, Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xii + 506, ISBN.  978-3-540-69915-6 , МР   0202511 , Збл   0142.38701 .
• Нэш, Джон (1957), «Параболические уравнения», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 43 (8): 754–758, Бибкод : 1957PNAS...43..754N , doi : 10.1073/ пнас.43.8.754 , ISSN   0027-8424 , JSTOR   89599 , MR   0089986 , PMC   528534 , PMID   16590082 , Zbl   0078.08704 .
• Нэш, Джон (1958), «Непрерывность решений параболических и эллиптических уравнений» (PDF) , American Journal of Mathematics , 80 (4): 931–954, Бибкод : 1958AmJM...80..931N , doi : 10.2307/ 2372841 , HDL : 10338.dmlcz/101876 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2372841 , MR   0100158 , Zbl   0096.06902 .
• Нечас, Йиндржих (1977), «Пример нерегулярного решения нелинейной эллиптической системы с аналитическими коэффициентами и условиями регулярности», в Клюге, Рейнхард; Мюллер, Вольфдитрих (ред.), Теория нелинейных операторов: конструктивные аспекты. Материалы четвертой международной летней школы, проходившей в Берлине, ГДР, с 22 по 26 сентября 1975 г. , Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften der DDR, vol. 1, Берлин: Akademie-Verlag, стр. 197–206, MR   0509483 , Zbl   0372.35031 .
• Петровский, И.Г. (1939), «Об аналитичности решений систем дифференциальных уравнений» , Recueil Mathématique (Математический сборник) (на французском языке), 5 (47): 3–70, JFM   65.0405.02 , MR   0001425 , Zbl   0022.22601 .