Вариационное исчисление

«Вариационный метод» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об использовании метода аппроксимации в квантовой механике, см. Вариационный метод (квантовая механика) .

( Вариационное исчисление или вариационное исчисление ) — это область математического анализа , в которой используются вариации, представляющие собой небольшие изменения функций. и функционалы , чтобы найти максимумы и минимумы функционалов: отображения набора функций на действительные числа . Функционалы часто выражаются в виде определенных интегралов, включающих функции и их производные . Функции, которые максимизируют или минимизируют функционалы, можно найти с помощью уравнения Эйлера – Лагранжа вариационного исчисления.

Простой пример такой задачи — найти кривую кратчайшей длины, соединяющую две точки. Если ограничений нет, решением является прямая линия между точками. Однако если кривая вынуждена лежать на поверхности в пространстве, то решение менее очевидно и, возможно, может существовать множество решений. Такие решения известны как геодезические . Схожая проблема возникает в соответствии с принципом Ферма : свет следует по пути наименьшей оптической длины, соединяющему две точки, который зависит от материала среды. Одним из соответствующих понятий в механике является принцип наименьшего/стационарного действия .

Многие важные задачи связаны с функциями нескольких переменных. Решения краевых задач для уравнения Лапласа удовлетворяют принципу Дирихле . Задача Плато требует нахождения поверхности минимальной площади, охватывающей заданный контур в пространстве: решение часто можно найти, окунув рамку в мыльную воду. Хотя такие эксперименты сравнительно легко провести, их математическая формулировка далеко не проста: локально минимизирующих поверхностей может быть несколько, и они могут иметь нетривиальную топологию .

История

Можно сказать, что вариационное исчисление началось с задачи Ньютона о минимальном сопротивлении в 1687 году, за которой последовала проблема брахистохронной кривой, поднятая Иоганном Бернулли (1696). Это сразу же привлекло внимание Якоба Бернулли и маркиза Лопиталя , но Леонард Эйлер впервые разработал эту тему, начиная с 1733 года. Лагранж находился под влиянием работ Эйлера и внес значительный вклад в теорию. После того, как Эйлер увидел работу 19-летнего Лагранжа 1755 года, Эйлер отказался от своего частично геометрического подхода в пользу чисто аналитического подхода Лагранжа и переименовал этот предмет в вариационное исчисление в своей лекции 1756 года Elementa Calculi Variationum .

Лежандр (1786) предложил не совсем удовлетворительный метод различения максимумов и минимумов. Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц также рано уделили этому вопросу внимание. в эту дискриминацию Винченцо Бруначчи (1810 г.), Карл Фридрих Гаусс (1829 г.), Симеон Пуассон (1831 г.), Михаил Остроградский (1834 г.) и Карл Якоби (1837 г.) внесли свой вклад . Важной общей работой является работа Сарруса (1842 г.), которая была сокращена и улучшена Коши (1844 г.). Другие ценные трактаты и мемуары были написаны Штраухом (1849 г.), Джеллеттом (1850 г.), Отто Гессе (1857 г.), Альфредом Клебшем (1858 г.) и Льюисом Баффетом Карлом (1885 г.), но, возможно, самая важная работа века состоит в том, что из Вейерштрасса . Его знаменитый курс теории является эпохальным, и можно утверждать, что он был первым, кто положил его на прочный и неоспоримый фундамент. и 20-я 23 -я задачи Гильберта, опубликованные в 1900 году, стимулировали дальнейшее развитие.

В 20-м веке Давид Гильберт , Оскар Больза , Гилберт Эймс Блисс , Эмми Нётер , Леонида Тонелли , Анри Лебег и Жак Адамар . значительный вклад внесли Марстон Морс применил вариационное исчисление в том, что сейчас называется теорией Морса . Лев Понтрягин , Ральф Рокафеллар и Ф.Х. Кларк разработали новые математические инструменты для вариационного исчисления в теории оптимального управления . Динамическое программирование Ричарда Беллмана является альтернативой вариационному исчислению.

Экстрим

Вариационное исчисление занимается максимумами и минимумами (в совокупности называемыми экстремумами ) функционалов. Функционал отображает функции в скаляры , поэтому функционалы описываются как «функции функций». Функционалы имеют экстремумы по элементам $y$ данного функционального пространства, определенного в данной области . Функциональный $J[y]$ Говорят, что функция имеет экстремум $f$ если $\Delta J=J[y]-J[f]$ имеет один и тот же знак для всех $y$ в сколь угодно малой окрестности $f.$ Функция $f$ называется экстремальной функцией или экстремалом. Конец $J[f]$ называется локальным максимумом, если $\Delta J\leq 0$ всюду в сколь угодно малой окрестности $f,$ и локальный минимум, если $\Delta J\geq 0$ там. Для функционального пространства непрерывных функций экстремумы соответствующих функционалов называются сильными экстремумами или слабыми экстремумами , в зависимости от того, являются ли первые производные непрерывных функций соответственно непрерывными или нет.

Как сильные, так и слабые экстремумы функционалов относятся к пространству непрерывных функций, но к сильным экстремумам предъявляется дополнительное требование, чтобы первые производные функций в пространстве были непрерывными. Таким образом, сильный экстремум является одновременно и слабым экстремумом, но обратное может не иметь места. Найти сильные экстремумы сложнее, чем найти слабые экстремумы. Примером необходимого условия , которое используется для нахождения слабых экстремумов, является уравнение Эйлера–Лагранжа .

–

Основная статья: уравнение Эйлера – Лагранжа

Нахождение экстремумов функционалов аналогично нахождению максимумов и минимумов функций. Максимумы и минимумы функции можно найти, найдя точки, в которых ее производная обращается в нуль (т. е. равна нулю). Экстремумы функционалов можно получить, найдя функции, у которых функциональная производная равна нулю. Это приводит к решению связанного уравнения Эйлера-Лагранжа .

Рассмотрим функционал

$$J[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L\left(x,y(x),y'(x)\right)\,dx\,.$$

где

• $x_{1},x_{2}$ являются константами ,
• $y(x)$ дважды непрерывно дифференцируема,
• $y'(x)={\frac {dy}{dx}},$
• $L\left(x,y(x),y'(x)\right)$ дважды непрерывно дифференцируемо по своим аргументам $x,y,$ и $y'.$

Если функционал $J[y]$ достигает локального минимума при $f,$ и $\eta (x)$ — произвольная функция, имеющая хотя бы одну производную и обращающаяся в нуль на концах $x_{1}$ и $x_{2},$ тогда для любого числа $\varepsilon$ близко к 0,

$$J[f]\leq J[f+\varepsilon \eta ]\,.$$

Термин $\varepsilon \eta$ называется вариацией функции $f$ и обозначается $\delta f.$

Замена $f+\varepsilon \eta$ для $y$ в функционале $J[y],$ результат является функцией $\varepsilon ,$

$$\Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]\,.$$

Поскольку функционал $J[y]$ имеет минимум для $y=f$ функция $\Phi (\varepsilon )$ имеет минимум в $\varepsilon =0$ и таким образом,

$$\Phi '(0)\equiv \left.{\frac {d\Phi }{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx=0\,.$$

Взяв полную производную от $L\left[x,y,y'\right],$ где $y=f+\varepsilon \eta$ и $y'=f'+\varepsilon \eta '$ рассматриваются как функции $\varepsilon$ скорее, чем $x,$ урожайность

$${\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {dy}{d\varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {dy'}{d\varepsilon }}$$

и потому что ${\frac {dy}{d\varepsilon }}=\eta$ и ${\frac {dy'}{d\varepsilon }}=\eta ',$

$${\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial y'}}\eta '.$$

Поэтому,

$${\begin{aligned}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta '\right)\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial f}}\eta \,dx+\left.{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta \right|_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta -\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx\\\end{aligned}}$$

где $L\left[x,y,y'\right]\to L\left[x,f,f'\right]$ когда $\varepsilon =0$ и мы использовали интегрирование по частям по второму члену. Второе слагаемое во второй строке исчезает, поскольку $\eta =0$ в $x_{1}$ и $x_{2}$ по определению. Кроме того, как упоминалось ранее, левая часть уравнения равна нулю, так что

$$\int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta (x)\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx=0\,.$$

Согласно основной лемме вариационного исчисления , часть подынтегрального выражения в скобках равна нулю, т.е.

$${\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0$$

которое называется уравнением Эйлера–Лагранжа . Левая часть этого уравнения называется производной функциональной $J[f]$ и обозначается $\delta J/\delta f(x).$

второго порядка В общем случае это дает обыкновенное дифференциальное уравнение , которое можно решить, чтобы получить экстремальную функцию $f(x).$ Уравнение Эйлера–Лагранжа является необходимым , но недостаточным условием экстремума. $J[f].$ Достаточное условие минимума приведено в разделе Вариации и достаточное условие минимума .

Пример

Для иллюстрации этого процесса рассмотрим задачу нахождения экстремальной функции $y=f(x),$ какая самая короткая кривая, соединяющая две точки $\left(x_{1},y_{1}\right)$ и $\left(x_{2},y_{2}\right).$ Длина дуги кривой определяется выражением

$$A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,$$

с

$$y'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{2})\,.$$

Обратите внимание, что предположение, что y является функцией x, теряет общность; в идеале оба должны быть функцией какого-то другого параметра. Этот подход хорош исключительно для поучительных целей.

Уравнение Эйлера–Лагранжа теперь будет использоваться для нахождения экстремальной функции $f(x)$ что минимизирует функционал $A[y].$

$${\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0$$

с

$$L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.$$

С $f$ не проявляется явно в $L,$ первое слагаемое в уравнении Эйлера–Лагранжа обращается в нуль при всех $f(x)$ и таким образом,

$${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0\,.$$

Замена на $L$ и взяв производную,

$${\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.$$

Таким образом

$${\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}=c\,,$$

для некоторой константы $c.$ Затем

$${\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x)]^{2}}}=c^{2}\,,$$

где

$$0\leq c^{2}<1.$$

Решая, получаем

$$[f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}$$

что подразумевает, что

$$f'(x)=m$$

является константой и, следовательно, кратчайшая кривая, соединяющая две точки $\left(x_{1},y_{1}\right)$ и $\left(x_{2},y_{2}\right)$ является

$$f(x)=mx+b\qquad {\text{with}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}$$

и таким образом мы нашли экстремальную функцию $f(x)$ что минимизирует функционал $A[y]$ так что $A[f]$ это минимум. Уравнение прямой линии имеет вид $y=f(x).$ Другими словами, кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая линия.

Бельтрами

В задачах по физике может случиться так, что ${\frac {\partial L}{\partial x}}=0,$ означает, что подынтегральная функция является функцией $f(x)$ и $f'(x)$ но $x$ отдельно не появляется. В этом случае уравнение Эйлера–Лагранжа можно упростить до тождества Бельтрами.

$$L-f'{\frac {\partial L}{\partial f'}}=C\,,$$

где $C$ является константой. Левая часть представляет собой преобразование Лежандра . $L$ относительно $f'(x).$

Интуиция, лежащая в основе этого результата, заключается в том, что, если переменная $x$ на самом деле время, то утверждение ${\frac {\partial L}{\partial x}}=0$ подразумевает, что лагранжиан не зависит от времени. По теореме Нётер существует соответствующая сохраняющаяся величина. В данном случае этой величиной является гамильтониан, преобразование Лежандра лагранжиана, который (часто) совпадает с энергией системы. Это (минус) константа в личности Бельтрами.

–

Если $S$ зависит от высших производных $y(x),$ то есть, если

$$S=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x),\dots ,y^{(n)}(x))dx,$$

затем $y$ должно удовлетворять уравнению Эйлера– Пуассона ,

$${\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+\dots +(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.$$

Реймона

До сих пор в обсуждении предполагалось, что экстремальные функции обладают двумя непрерывными производными, хотя существование интеграла $J$ требуются только первые производные пробных функций. Условие исчезновения первой вариации в экстремали можно рассматривать как слабую форму уравнения Эйлера–Лагранжа. Теорема Дюбуа-Реймона утверждает, что из этой слабой формы следует сильная форма. Если $L$ имеет непрерывные первую и вторую производные по всем своим аргументам, и если

$${\frac {\partial ^{2}L}{\partial f'^{2}}}\neq 0,$$

затем $f$ имеет две непрерывные производные и удовлетворяет уравнению Эйлера – Лагранжа.

Lavrentiev phenomenon

Гильберт был первым, кто дал хорошие условия для того, чтобы уравнения Эйлера – Лагранжа давали стационарное решение. В пределах выпуклой области и положительного трижды дифференцируемого лагранжиана решения состоят из счетного набора сечений, которые либо идут вдоль границы, либо удовлетворяют уравнениям Эйлера – Лагранжа внутри.

Однако Лаврентьев в 1926 году показал, что существуют обстоятельства, при которых оптимального решения не существует, но к нему можно приблизиться сколь угодно близко, увеличивая число секций. Феномен Лаврентьева определяет разницу в нижней части задачи минимизации для разных классов допустимых функций. Например, следующая задача, поставленная Маниа в 1934 году:

$$L[x]=\int _{0}^{1}(x^{3}-t)^{2}x'^{6},$$

$${A}=\{x\in W^{1,1}(0,1):x(0)=0,\ x(1)=1\}.$$

Четко, $x(t)=t^{\frac {1}{3}}$минимизирует функционал, но находим любую функцию $x\in W^{1,\infty }$ дает значение, ограниченное нижней границей.

Примеры (в одном измерении) традиционно проявляются в $W^{1,1}$ и $W^{1,\infty },$ но Болл и Мизель закупили первый функционал, отображающий «Феномен Лаврентьева» на всей территории $W^{1,p}$ и $W^{1,q}$ для $1\leq p<q<\infty .$ Есть несколько результатов, которые дают критерии, при которых это явление не возникает - например, «стандартный рост», лагранжиан без зависимости от второй переменной или аппроксимирующая последовательность, удовлетворяющая условию Чезари (D), - но результаты часто частны, и применимо к небольшому классу функционалов.

С феноменом Лаврентьева связано свойство отталкивания: любой функционал, отображающий феномен Лаврентьева, будет проявлять свойство слабого отталкивания.

Функции нескольких переменных

Например, если $\varphi (x,y)$ обозначает смещение мембраны над доменом $D$ в $x,y$ плоскости, то его потенциальная энергия пропорциональна площади его поверхности:

$$U[\varphi ]=\iint _{D}{\sqrt {1+\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi }}\,dx\,dy.$$

Задача Плато состоит в нахождении функции, которая минимизирует площадь поверхности, принимая заданные значения на границе $D$; решения называются минимальными поверхностями . Уравнение Эйлера–Лагранжа для этой задачи нелинейно:

$$\varphi _{xx}(1+\varphi _{y}^{2})+\varphi _{yy}(1+\varphi _{x}^{2})-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.$$

Подробности см. Курант (1950).

Принцип Дирихле

Часто бывает достаточно рассматривать только небольшие смещения мембраны, разница в энергии которых от отсутствия смещения аппроксимируется выражением

$$V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.$$

Функционал $V$ должно быть сведено к минимуму среди всех пробных функций $\varphi$ которые принимают заданные значения на границе $D.$ Если $u$ минимизирующая функция и $v$ — произвольная гладкая функция, обращающаяся в нуль на границе $D,$ тогда первый вариант $V[u+\varepsilon v]$ должен исчезнуть:

$$\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]\right|_{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.$$

При условии, что u имеет две производные, мы можем применить теорему о дивергенции, чтобы получить

$$\iint _{D}\nabla \cdot (v\nabla u)\,dx\,dy=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v+v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=\int _{C}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,ds,$$

где $C$ является границей $D,$ $s$ длина дуги вдоль $C$ и $\partial u/\partial n$ является нормальной производной $u$ на $C.$ С $v$ исчезает на $C$ и первая вариация исчезает, результат

$$\iint _{D}v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=0$$

для всех плавных функций $v$ исчезающие на границе $D.$ Доказательство для случая одномерных интегралов можно адаптировать к этому случаю, чтобы показать, что

$$\nabla \cdot \nabla u=0$$

в $D.$

Трудность этого рассуждения состоит в предположении, что минимизирующая функция $u$ должно иметь две производные. Риман утверждал, что существование плавной минимизирующей функции обеспечивается связью с физической проблемой: мембраны действительно принимают конфигурации с минимальной потенциальной энергией. Риман назвал эту идею принципом Дирихле в честь своего учителя Петера Густава Лежена Дирихле . Однако Вейерштрасс привел пример вариационной задачи без решения: минимизировать

$$W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx$$

среди всех функций $\varphi$ которые удовлетворяют $\varphi (-1)=-1$ и $\varphi (1)=1.$$W$ можно сделать сколь угодно малым, выбрав кусочно-линейные функции, которые совершают переход между −1 и 1 в небольшой окрестности начала координат. Однако не существует функции, которая делает $W=0.$ В конце концов было показано, что принцип Дирихле справедлив, но требует сложного применения теории регулярности для эллиптических уравнений в частных производных ; см. Йост и Ли-Йост (1998).

другие краевые

Более общее выражение для потенциальной энергии мембраны:

$$V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \right]\,ds.$$

Это соответствует плотности внешней силы $f(x,y)$ в $D,$ внешняя сила $g(s)$ на границе $C,$ и упругие силы с модулем $\sigma (s)$действуя на $C.$ Функцию, минимизирующую потенциальную энергию без ограничения ее граничных значений, будем обозначать через $u.$ При условии, что $f$ и $g$ непрерывны, из теории регулярности следует, что минимизирующая функция $u$ будет иметь две производные. При выборе первого варианта не нужно накладывать граничные условия на приращение $v.$ Первая вариация $V[u+\varepsilon v]$ дается

$$\iint _{D}\left[\nabla u\cdot \nabla v+fv\right]\,dx\,dy+\int _{C}\left[\sigma uv+gv\right]\,ds=0.$$

Если мы применим теорему о дивергенции, результат будет таким:

$$\iint _{D}\left[-v\nabla \cdot \nabla u+vf\right]\,dx\,dy+\int _{C}v\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g\right]\,ds=0.$$

Если мы сначала установим $v=0$ на $C,$ граничный интеграл обращается в нуль, и мы, как и раньше, заключаем, что

$$-\nabla \cdot \nabla u+f=0$$

в $D.$ Тогда, если мы позволим $v$ предполагать произвольные граничные значения, это означает, что $u$ должно удовлетворять граничному условию

$${\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g=0,$$

на $C.$ Это граничное условие является следствием минимизирующего свойства $u$: оно не навязывается заранее. Такие условия называются естественными граничными условиями .

Предыдущее рассуждение неверно, если $\sigma$ тождественно исчезает на $C.$ В таком случае мы могли бы разрешить пробную функцию $\varphi \equiv c,$ где $c$ является константой. Для такой пробной функции

$$V[c]=c\left[\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds\right].$$

При соответствующем выборе $c,$ $V$ может принимать любое значение, если только величина в скобках не обращается в нуль. Следовательно, вариационная задача бессмысленна, если

$$\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds=0.$$

Это условие подразумевает, что чистые внешние силы, действующие на систему, находятся в равновесии. Если эти силы находятся в равновесии, то вариационная задача имеет решение, но оно не единственное, так как можно добавить произвольную константу. Более подробную информацию и примеры можно найти у Куранта и Гильберта (1953).

Проблемы

Как одномерные, так и многомерные задачи на собственные значения можно сформулировать как вариационные задачи.

Штурма

Смотрите также: теория Штурма – Лиувилля

Штурма – Лиувилля Проблема собственных значений включает общую квадратичную форму

$$Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx,$$

где $y$ ограничивается функциями, удовлетворяющими граничным условиям

$$y(x_{1})=0,\quad y(x_{2})=0.$$

Позволять $R$ быть нормировочным интегралом

$$R[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)y(x)^{2}\,dx.$$

Функции $p(x)$ и $r(x)$ должны быть всюду положительными и отделены от нуля. Основная вариационная задача состоит в минимизации отношения $Q/R$ среди всех $y$ удовлетворяющее условиям конечной точки, что эквивалентно минимизации $Q[y]$ при условии, что $R[y]$ является постоянным. Ниже показано, что уравнение Эйлера–Лагранжа для минимизации $u$ является

$$-(pu')'+qu-\lambda ru=0,$$

где $\lambda$ это частное

$$\lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.$$

Можно показать (см. Гельфанд и Фомин, 1963), что минимизирующая $u$ имеет две производные и удовлетворяет уравнению Эйлера–Лагранжа. Связанный $\lambda$ будет обозначаться $\lambda _{1}$; это наименьшее собственное значение для этого уравнения и граничных условий. Соответствующую минимизирующую функцию будем обозначать через $u_{1}(x).$ Эта вариационная характеристика собственных значений приводит к методу Рэлея – Ритца : выберите аппроксимирующий $u$ как линейную комбинацию базисных функций (например, тригонометрических функций) и осуществлять конечномерную минимизацию среди таких линейных комбинаций. Этот метод часто оказывается на удивление точным.

Следующее наименьшее собственное значение и собственная функция могут быть получены путем минимизации $Q$ под дополнительным ограничением

$$\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)u_{1}(x)y(x)\,dx=0.$$

Эту процедуру можно расширить для получения полной последовательности собственных значений и собственных функций задачи.

Вариационная задача применима и к более общим граничным условиям. Вместо того, чтобы требовать этого $y$ исчезают в конечных точках, мы не можем налагать какие-либо условия в конечных точках и установить

$$Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx+a_{1}y(x_{1})^{2}+a_{2}y(x_{2})^{2},$$

где $a_{1}$ и $a_{2}$ являются произвольными. Если мы установим $y=u+\varepsilon v$, первый вариант отношения $Q/R$ является

$$V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda r(x)u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),$$

где λ определяется соотношением $Q[u]/R[u]$ как раньше.После интегрирования по частям

$${\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].$$

Если мы сначала потребуем этого $v$ исчезают в конечных точках, первая вариация исчезнет для всех таких $v$ только если

$$-(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}<x<x_{2}.$$

Если $u$ удовлетворяет этому условию, то первая вариация обратится в нуль для произвольного $v$ только если

$$-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})=0,\quad {\hbox{and}}\quad p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})=0.$$

Эти последние условия являются естественными граничными условиями для этой задачи, поскольку они не накладываются на пробные функции для минимизации, а являются следствием минимизации.

в нескольких

Задачи на собственные значения в более высоких размерностях определяются аналогично одномерному случаю. Например, задан домен $D$ с границей $B$ в трех измерениях мы можем определить

$$Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,$$

и

$$R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.$$

Позволять $u$ быть функцией, которая минимизирует частное $Q[\varphi ]/R[\varphi ],$без каких-либо условий, заданных на границе $B.$ Уравнение Эйлера – Лагранжа, которому удовлетворяет уравнение $u$ является

$$-\nabla \cdot (p(X)\nabla u)+q(x)u-\lambda r(x)u=0,$$

где

$$\lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.$$

Минимизация $u$ также должно удовлетворять естественному граничному условию

$$p(S){\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma (S)u=0,$$

на границе $B.$ Этот результат зависит от теории регулярности эллиптических уравнений в частных производных; подробнее см. Йост и Ли-Йост (1998). Многие расширения, включая результаты о полноте, асимптотические свойства собственных значений и результаты, касающиеся узлов собственных функций, содержатся в работе Куранта и Гильберта (1953).

Приложения

Оптика

Принцип Ферма гласит, что свет проходит путь, который (локально) минимизирует оптическую длину между его конечными точками. Если $x$-координата выбирается в качестве параметра вдоль пути, а $y=f(x)$ вдоль пути, то оптическая длина определяется выражением

$$A[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,$$

где показатель преломления $n(x,y)$ зависит от материала.Если мы попробуем $f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)$ тогда вариант первый $A$ (производная от $A$ относительно ε) есть

$$\delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.$$

После интегрирования по частям первого слагаемого в скобках получим уравнение Эйлера–Лагранжа

$$-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.$$

Световые лучи можно определить путем интегрирования этого уравнения. Этот формализм используется в контексте лагранжевой оптики и гамильтоновой оптики .

Закон Снеллиуса

Показатель преломления меняется, когда свет попадает в линзу или выходит из нее. Позволять

$$n(x,y)={\begin{cases}n_{(-)}&{\text{if}}\quad x<0,\\n_{(+)}&{\text{if}}\quad x>0,\end{cases}}$$

где $n_{(-)}$ и $n_{(+)}$ являются константами. Тогда уравнение Эйлера–Лагранжа по-прежнему справедливо в области, где $x<0$ или $x>0,$ и на самом деле путь там представляет собой прямую линию, так как показатель преломления постоянный. На $x=0,$ $f$ должно быть непрерывным, но $f'$ может быть прерывистым. После интегрирования по частям в отдельных областях и использования уравнений Эйлера–Лагранжа первая вариация принимает вид

$$\delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{(-)}{\frac {f_{0}'(0^{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{-})^{2}}}}-n_{(+)}{\frac {f_{0}'(0^{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{+})^{2}}}}\right].$$

Фактор, умножающий $n_{(-)}$ – синус угла падающего луча с $x$ ось, и коэффициент, умножающий $n_{(+)}$ – синус угла преломленного луча с $x$ ось. Закон Снелла для преломления требует, чтобы эти члены были равны. Как показывает этот расчет, закон Снелла эквивалентен обращению в нуль первой вариации длины оптического пути.

Принцип Ферма в трёх измерениях

Целесообразно использовать векторную запись: пусть $X=(x_{1},x_{2},x_{3}),$ позволять $t$ быть параметром, пусть $X(t)$ быть параметрическим представлением кривой $C,$ и пусть ${\dot {X}}(t)$ быть его касательным вектором. Оптическая длина кривой определяется выражением

$$A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,dt.$$

Заметим, что этот интеграл инвариантен относительно изменений параметрического представления $C.$ Уравнения Эйлера–Лагранжа для минимизирующей кривой имеют симметричный вид

$${\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,\nabla n,$$

где

$$P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}.$$

Из определения следует, что $P$ удовлетворяет

$$P\cdot P=n(X)^{2}.$$

Поэтому интеграл можно записать и в виде

$$A[C]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt.$$

Эта форма предполагает, что если мы сможем найти функцию $\psi$ градиент которого определяется выражением $P,$ тогда интеграл $A$ определяется разницей $\psi$ в конечных точках интервала интегрирования. Таким образом, задачу изучения кривых, стационирующих интеграл, можно связать с изучением поверхностей уровня $\psi .$Чтобы найти такую ​​функцию, обратимся к волновому уравнению, которое управляет распространением света. Этот формализм используется в контексте лагранжевой оптики и гамильтоновой оптики .

Связь с волновым уравнением

Волновое уравнение для неоднородной среды имеет вид

$$u_{tt}=c^{2}\nabla \cdot \nabla u,$$

где $c$ это скорость, которая обычно зависит от $X.$ Волновые фронты света являются характерными поверхностями для этого уравнения в частных производных: они удовлетворяют

$$\varphi _{t}^{2}=c(X)^{2}\,\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi .$$

Мы можем искать решения в виде

$$\varphi (t,X)=t-\psi (X).$$

В этом случае $\psi$ удовлетворяет

$$\nabla \psi \cdot \nabla \psi =n^{2},$$

где $n=1/c.$ Согласно теории уравнений в частных производных первого порядка , если $P=\nabla \psi ,$ затем $P$ удовлетворяет

$${\frac {dP}{ds}}=n\,\nabla n,$$

вдоль системы кривых ( световых лучей ), которые задаются формулой

$${\frac {dX}{ds}}=P.$$

Эти уравнения решения уравнения в частных производных первого порядка идентичны уравнениям Эйлера – Лагранжа, если провести отождествление

$${\frac {ds}{dt}}={\frac {\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}{n}}.$$

Делаем вывод, что функция $\psi$ – значение минимизирующего интеграла $A$ как функция верхней конечной точки. То есть при построении семейства минимизирующих кривых значения оптической длины удовлетворяют характеристическому уравнению, соответствующему волновому уравнению. Следовательно, решение ассоциированного уравнения в частных производных первого порядка эквивалентно нахождению семейств решений вариационной задачи. Это существенное содержание теории Гамильтона – Якоби , которое применимо к более общим вариационным задачам.

Механика

Основная статья: Экшен (физика)

В классической механике действие, $S,$ определяется как интеграл по времени от лагранжиана, $L.$ Лагранжиан – это разность энергий,

$$L=T-U,$$

где $T$ - кинетическая энергия механической системы и $U$ его потенциальная энергия . Принцип Гамильтона (или принцип действия) гласит, что движение консервативной голономной (интегрируемой связи) механической системы таково, что интеграл действия

$$S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)\,dt$$

стационарен относительно изменений пути $x(t).$Уравнения Эйлера-Лагранжа для этой системы известны как уравнения Лагранжа:

$${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},$$

и они эквивалентны уравнениям движения Ньютона (для таких систем).

Сопряженные импульсы $P$ определяются

$$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.$$

Например, если

$$T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},$$

затем

$$p=m{\dot {x}}.$$

Гамильтонова механика получается, если вместо ${\dot {x}}$ преобразованием Лежандра лагранжиана $L$ в гамильтониан $H$ определяется

$$H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).$$

Гамильтониан – это полная энергия системы: $H=T+U.$Аналогия с принципом Ферма предполагает, что решения уравнений Лагранжа (траектории частиц) могут быть описаны в терминах поверхностей уровня некоторой функции $X.$ Эта функция является решением уравнения Гамильтона – Якоби :

$${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+H\left(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t\right)=0.$$

Дальнейшие применения

Дальнейшие применения вариационного исчисления включают следующее:

• Вывод цепной формы
• Решение задачи о минимальном сопротивлении Ньютона
• Решение брахистохроны проблемы
• Решение проблемы таутохрона
• Решение изопериметрических задач
• Расчет геодезических
• Нахождение минимальных поверхностей и решение проблемы Плато
• Оптимальное управление
• Аналитическая механика , или переформулировка законов движения Ньютона, особенно механика Лагранжа и Гамильтона ;
• Геометрическая оптика, особенно лагранжева и гамильтонова оптика ;
• Вариационный метод (квантовая механика) , один из способов нахождения приближений к собственному или основному состоянию с наименьшей энергией и некоторым возбужденным состояниям;
• Вариационные байесовские методы — семейство методов аппроксимации трудноразрешимых интегралов, возникающих при байесовском выводе и машинном обучении;
• Вариационные методы в общей теории относительности — семейство методов, использующих вариационное исчисление для решения задач общей теории относительности Эйнштейна;
• Метод конечных элементов — вариационный метод поиска численного решения краевых задач в дифференциальных уравнениях;
• Полное шумоподавление — метод обработки изображений для фильтрации сигналов с высокой дисперсией или зашумленных сигналов.

Вариации и достаточное условие минимума

Вариационное исчисление занимается вариациями функционалов, которые представляют собой небольшие изменения значения функционала из-за небольших изменений функции, которая является его аргументом. Первая вариация определяется как линейная часть изменения функционала, а вторая вариация определяется как квадратичная часть.

Например, если $J[y]$ является функционалом с функцией $y=y(x)$ в качестве аргумента, и в его аргументе есть небольшое изменение по сравнению с $y$ к $y+h,$ где $h=h(x)$ является функцией в том же функциональном пространстве, что и $y,$ то соответствующее изменение функционала будет

$$\Delta J[h]=J[y+h]-J[y].$$

Функционал $J[y]$ называется дифференцируемым, если

$$\Delta J[h]=\varphi [h]+\varepsilon \|h\|,$$

где $\varphi [h]$ является линейным функционалом, $\|h\|$ это норма $h,$ и $\varepsilon \to 0$ как $\|h\|\to 0.$ Линейный функционал $\varphi [h]$ это первая вариация $J[y]$ и обозначается

$$\delta J[h]=\varphi [h].$$

Функционал $J[y]$ называется дважды дифференцируемым, если

$$\Delta J[h]=\varphi _{1}[h]+\varphi _{2}[h]+\varepsilon \|h\|^{2},$$

где $\varphi _{1}[h]$ — линейный функционал (первая вариация), $\varphi _{2}[h]$ является квадратичным функционалом, и $\varepsilon \to 0$ как $\|h\|\to 0.$ Квадратичный функционал $\varphi _{2}[h]$ это вторая вариация $J[y]$ и обозначается

$$\delta ^{2}J[h]=\varphi _{2}[h].$$

Второй вариант $\delta ^{2}J[h]$ называется сильно положительным, если

$$\delta ^{2}J[h]\geq k\|h\|^{2},$$

для всех $h$ и для некоторой константы $k>0$.

Используя приведенные выше определения, особенно определения первой вариации, второй вариации и строго положительного, можно сформулировать следующее достаточное условие минимума функционала.

Достаточное условие минимума:

Функционал $J[y]$ имеет минимум в $y={\hat {y}}$ если это первая вариация $\delta J[h]=0$ в $y={\hat {y}}$ и его вторая вариация $\delta ^{2}J[h]$ сильно положителен в $y={\hat {y}}.$

См. также

• Первый вариант
• Изопериметрическое неравенство
• Вариационный принцип
• Вариационный бикомплекс
• Принцип Ферма
• Принцип наименьшего действия
• Бесконечномерная оптимизация
• Метод конечных элементов
• Функциональный анализ
• Вариационный принцип Экланда
• Обратная задача лагранжевой механики.
• Проблема с препятствиями
• Методы возмущения
• Молодой мера
• Оптимальное управление
• Прямой метод вариационного исчисления
• Теорема Нётер
• Теория Дондера-Вейля
• Вариационные байесовские методы
• Задача Чаплыгина
• С коллектором горшка
• Принцип Ху-Васидзу
• Вариационный принцип Люка
• Теорема о горном перевале
• Категория:Вариационный аналитик
• Меры центральной тенденции как решения вариационных задач
• Медаль Стампаккья
• Премия Ферма
• Удобное векторное пространство

Дальнейшее чтение

• Бенешова Б. и Крузик М.: «Слабая полунепрерывность снизу интегральных функционалов и приложения» . Обзор СИАМ 59(4) (2017), 703–766.
• Больца О .: Лекции по вариационному исчислению . Издательство Chelsea Publishing Company, 1904 г., доступно в библиотеке цифровой математики. 2-е издание переиздано в 1961 г., в мягкой обложке в 2005 г., ISBN   978-1-4181-8201-4 .
• Кассель, Кевин В.: Вариационные методы с применением в науке и технике , Cambridge University Press, 2013.
• Клегг, Дж. К.: Вариационное исчисление , Interscience Publishers Inc., 1968.
• Курант Р .: Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности . Интерсайенс, 1950.
• Дакоронья, Бернар : « Введение » Введение в вариационное исчисление , 3-е издание. 2014, Мировое научное издательство, ISBN   978-1-78326-551-0 .
• Эльсгольк, Л.Э.: Вариационное исчисление , Pergamon Press Ltd., 1962.
• Форсайт, А.Р.: Вариационное исчисление , Дувр, 1960.
• Фокс, Чарльз: Введение в вариационное исчисление , Dover Publ., 1987.
• Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан: Вариационное исчисление I и II, Springer-Verlag, ISBN   978-3-662-03278-7 и ISBN   978-3-662-06201-2
• Йост, Дж. и X. Ли-Йост: Вариационное исчисление . Издательство Кембриджского университета, 1998.
• Лебедев Л.П. и Клауд М.Дж.: Вариационное исчисление и функциональный анализ с оптимальным управлением и приложениями в механике , World Scientific, 2003, страницы 1–98.
• Логан, Дж. Дэвид: Прикладная математика , 3-е издание. Вили-Интерсайенс, 2006 г.
• Пайк, Ральф В. «Глава 8: Вариационное исчисление» . Оптимизация инженерных систем . Университет штата Луизиана . Архивировано из оригинала 5 июля 2007 г.
• Рубичек Т.: « Вариационное исчисление ». Глава 17 в: Математические инструменты для физиков . (Ред. М. Гринфельд) Дж. Уайли, Вайнхайм, 2014 г., ISBN   978-3-527-41188-7 , стр. 551–588.
• Саган, Ганс: Введение в вариационное исчисление , Дувр, 1992.
• Вайнсток, Роберт: Вариационное исчисление с приложениями к физике и технике , Дувр, 1974 (перепечатка изд. 1952 г.).

Внешние ссылки

• Вариационное исчисление . Энциклопедия математики .
• вариационное исчисление . ПланетаМатематика .
• Вариационное исчисление . Математический мир .
• Вариационное исчисление . Примеры задач.
• Математика — вариационное исчисление и интегральные уравнения . Лекции на YouTube .
• Избранные статьи о геодезических полях. Часть I , Часть II .