Принцип Дирихле

В математике , и особенно в теории потенциала , принцип Дирихле — это предположение, что минимизатор определенного энергетического функционала является решением уравнения Пуассона .

Официальное заявление [ править ]

Принцип Дирихле гласит, что если функция $u(x)$ является решением уравнения Пуассона

\Delta u+f=0

в домене $\Omega$ из $\mathbb {R} ^{n}$ с граничным условием

u=g

на границе

\partial \Omega

,

тогда u можно получить как минимизатор энергии Дирихле

E[v(x)]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x

среди всех дважды дифференцируемых функций $v$ такой, что $v=g$ на $\partial \Omega$ (при условии, что существует хотя бы одна функция, делающая интеграл Дирихле конечным). Это понятие названо в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле .

История [ править ]

Название «принцип Дирихле» принадлежит Бернхарду Риману , который применил его при изучении комплексных аналитических функций . ^[1]

Риман (и другие, такие как Карл Фридрих Гаусс и Питер Густав Лежен Дирихле ) знали, что интеграл Дирихле ограничен снизу, что доказывает существование инфимума ; однако он считал само собой разумеющимся существование функции, достигающей минимума. Карл Вейерштрасс опубликовал первую критику этого предположения в 1870 году, приведя пример функционала, максимальная нижняя граница которого не является минимальным значением. Примером Вейерштрасса был функционал

J(\varphi )=\int _{-1}^{1}\left(x{\frac {d\varphi }{dx}}\right)^{2}\,dx

где $\varphi$ постоянно включен $[-1,1]$ , непрерывно дифференцируемый по $(-1,1)$ , и при соблюдении граничных условий $\varphi (-1)=a$ , $\varphi (1)=b$ где $a$ и $b$ являются константами и $a\neq b$ . Вейерштрасс показал, что $\textstyle \inf _{\varphi }J(\varphi )=0$ , но нет допустимой функции $\varphi$ могу сделать $J(\varphi )$ равен 0. Этот пример не опроверг принцип Дирихле как таковой , поскольку интеграл в примере отличается от интеграла Дирихле. Но это действительно подорвало рассуждения, которые использовал Риман, и стимулировало интерес к доказательству принципа Дирихле, а также к более широким достижениям в вариационном исчислении и, в конечном счете, функциональном анализе . ^[2]^[3]

В 1900 году Гильберт позже оправдал использование Риманом принципа Дирихле, разработав прямой метод вариационного исчисления . ^[4]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Человек 1975, с. 33
^ Человек 1975, с. 33–37, 43–44
^ Джаквинта и Хильдебранд, с. 43–44
^ Монна 1975, с. 55–56, со ссылкой на Гильберт, Давид (1905), «О принципе Дирихле», Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1905 (129): 63–67, doi : 10.1515/crll.1905.129.63 , S2CID 120074769

Ссылки [ править ]

Курант Р. (1950), Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности. Приложение М. Шиффер , Interscience
Лоуренс К. Эванс (1998), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0772-9
Джаквинта, Мариано ; Хильдебрандт, Стефан (1996), Вариационное исчисление I , Springer
А.Ф. Монна (1975), Принцип Дирихле: математическая комедия ошибок и ее влияние на развитие анализа , Остхук, Шелтема и Холкема
Вайсштейн, Эрик В. «Принцип Дирихле» . Математический мир .

[1] Человек 1975, с. 33

[2] Человек 1975, с. 33–37, 43–44

[3] Джаквинта и Хильдебранд, с. 43–44

[4] Монна 1975, с. 55–56, со ссылкой на Гильберт, Давид (1905), «О принципе Дирихле», Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1905 (129): 63–67, doi : 10.1515/crll.1905.129.63 , S2CID 120074769

[1]

[2]

[3]

[4]