Двадцатая проблема Гильберта
Двадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, изложенных в знаменитом списке, составленном в 1900 году Дэвидом Гильбертом . Он спрашивает, все ли краевые задачи могут быть решены (то есть, имеют ли решения вариационные задачи с определенными граничными условиями ).
Введение
[ редактировать ]Гильберт отметил, что существуют методы решения уравнений в частных производных, в которых значения функции заданы на границе, но проблема требует методов решения уравнений в частных производных с более сложными условиями на границе (например, с использованием производных функции), или для решения задач вариационного исчисления более чем в одном измерении (например, задач о минимальной поверхности или задач о минимальной кривизне)
Постановка задачи
[ редактировать ]Исходная постановка задачи в целом выглядит следующим образом:
Важной проблемой, тесно связанной с вышеизложенным (имеется в виду девятнадцатая проблема Гильберта ), является вопрос о существовании решений уравнений в частных производных, когда значения на границе области заданы. Эта задача решается в основном с помощью изящных методов Г. А. Шварца, К. Неймана и Пуанкаре для дифференциального уравнения потенциала. Однако эти методы, по-видимому, вообще не допускают прямого распространения на случай, когда вдоль границы заданы либо дифференциальные коэффициенты, либо какие-либо связи между ними и значениями функции. Их нельзя также сразу распространить на случай, когда речь идет не о потенциальных поверхностях, а, скажем, о поверхностях наименьшей площади или поверхностях постоянной положительной гауссовой кривизны, которые должны проходить через заданную искривленную кривую или растягиваться по заданной кривой. поверхность кольца. Я убежден, что эти теоремы существования можно будет доказать с помощью общего принципа, природа которого указана Принцип Дирихле . Тогда этот общий принцип, возможно, позволит нам подойти к вопросу: не имеет ли каждая регулярная вариационная задача решения при условии, что выполняются определенные предположения относительно данных граничных условий (скажем, что функции, рассматриваемые в этих граничных условиях, непрерывны и имеют в сечениях один или несколько больше производных), а также при условии, что, если необходимо, понятие решения будет соответствующим образом расширено? [ 1 ]
Краевые задачи
[ редактировать ]В области дифференциальных уравнений краевая задача представляет собой дифференциальное уравнение вместе с набором дополнительных ограничений, называемых граничными условиями . Решением краевой задачи является решение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничным условиям.
Чтобы быть полезной в приложениях, краевая задача должна быть корректно поставлена . Это означает, что при наличии входных данных для задачи существует единственное решение, которое непрерывно зависит от входных данных. Большая теоретическая работа в области уравнений в частных производных посвящена доказательству корректности краевых задач, возникающих из научных и технических приложений.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Гильберт, Дэвид, «Математические проблемы» Göttinger Nachrichten , (1900), стр. 253–297, и в Архивах математики и физики , (3) 1 (1901), 44–63 и 213–237. Опубликовано в английском переводе Dr. Мэби Винтон Ньюсон, Бюллетень Американского математического общества 8 (1902), 437–479 [1] [2] дои : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . [Более полное название журнала Göttinger Nachrichten — Nachrichten von der Königl. Общество науки в Геттинген.]
- Крживицкий, Анджей (1997), «Двадцатая проблема Гильберта», Проблемы Гильберта (Mi\polhk edzyzdroje, 1993) (на польском языке), Polsk. Акад. Наук, Варшава, с. 237–245, МР 1632452 .
- Серрин, Джеймс (1976), «Разрешимость краевых задач», Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта (Университет Северного Иллинойса, Де Калб, Иллинойс, май 1974 г.) , Труды симпозиумов по чистой математике, том. XXVIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 507–524, MR 0427784 .
- Сигалов А.Г. (1969), «О девятнадцатой и двадцатой проблемах Гильберта», Проблемы Гильберта (на русском языке), Москва: Издат. «Наука», стр. 204–215, МР 0251611 .