Пятая проблема Гильберта

Пятая проблема Гильберта — пятая математическая проблема из списка проблем, опубликованного в 1900 году математиком Дэвидом Гильбертом , и касается характеристики групп Ли .

Теория групп Ли описывает непрерывную симметрию в математике; ее значение здесь и в теоретической физике (например, теории кварков ) неуклонно росло в двадцатом веке. Грубо говоря, теория групп Ли — это общая основа теории групп и теории топологических многообразий . Вопрос, который задал Гильберт, был очень острым, чтобы уточнить это: есть ли какая-то разница, если ограничение на гладкие многообразия наложено ?

Ожидаемый ответ был отрицательным ( классические группы , наиболее центральные примеры в теории групп Ли, являются гладкими многообразиями). В конечном итоге это было подтверждено в начале 1950-х годов. Поскольку точное понятие «многообразия» не было доступно Гильберту, есть место для некоторых дискуссий по поводу формулировки проблемы на современном математическом языке.

Формулировка проблемы

Современная постановка проблемы (в ее простейшей интерпретации) такова:

Пусть G — топологическая группа , которая также является топологическим многообразием (т. е. локально гомеоморфна евклидову пространству ). Следует ли из этого, что G должна быть изоморфна (как топологическая группа) группе Ли ?

Эквивалентная формулировка этой проблемы, более близкая к формулировке Гильберта, в терминах законов композиции, выглядит следующим образом:

Пусть V ⊆ U — открытые подмножества евклидова пространства, такие, что существует непрерывная функция f : V × V → U, удовлетворяющая групповой аксиоме ассоциативности . Следует ли отсюда, что f должна быть гладкой ( с точностью до непрерывной перепараметризации)?

В такой форме задачу решили Монтгомери-Зиппин и Глисон.

Более сильная интерпретация (рассматривая G как группу преобразований, а не абстрактную группу) приводит к гипотезе Гильберта-Смита о действиях группы на многообразиях, которая в полной общности все еще остается открытой. Классически оно известно для действий на двумерных многообразиях и недавно было решено для трехмерного пространства Джоном Пардоном .

Решение

Первым крупным результатом был результат Джона фон Неймана в 1933 году. дающий утвердительный ответ для компактных групп . Случай локально компактной абелевой группы был решен в 1934 году Львом Понтрягиным . Окончательное решение, по крайней мере в приведенной выше интерпретации того, что имел в виду Гильберт, пришло с работами Эндрю Глисона , Дина Монтгомери и Лео Зиппина в 1950-х годах.

В 1953 году Хидехико Ямабе получил дополнительные результаты о топологических группах, которые не могут быть многообразиями:

Любая локально компактная связная группа является проективным пределом последовательности групп Ли. Далее, это группа Ли, если она не имеет малых подгрупп.

Отсюда следует, что каждая локально компактная группа содержит открытую подгруппу, которая является проективным пределом групп Ли по теореме Ван Данцига (это последнее утверждение называется теоремой Глисона – Ямабе в Тао (2014 , теорема 1.1.17)).

Нет маленьких подгрупп

Важным условием теории является отсутствие малых подгрупп . топологическая группа G или частичная часть группы, подобной F Говорят, что выше, не имеет малых подгрупп, если существует окрестность N e , не содержащая подгруппы большей, чем { e } . Например, группа кругов удовлетворяет условию, а целые p -адические числа Z _p в качестве аддитивной группы — нет, поскольку N будет содержать подгруппы: p ^к  Z _p для всех больших целых чисел k . Это дает представление о том, в чем состоит сложность задачи. В случае гипотезы Гильберта–Смита речь идет об известной редукции к вопросу о том, может ли Z _p действовать точно на замкнутом многообразии . Глисон, Монтгомери и Зиппин охарактеризовали группы Ли среди локально компактных групп как группы, не имеющие малых подгрупп.

Бесконечные размеры

Исследователи также рассмотрели пятую проблему Гильберта, не предполагая конечномерности . Это было предметом Пера Энфло докторской диссертации ; его работа обсуждается в Benyamini & Lindenstrauss (2000 , глава 17).

См. также

• Полностью разобщенная группа

Ссылки

• Морикуни, Гото (1961). «Хидэхико Ямабе (1923–1960) » Осакский математический журнал . 13 (1): i – ii. МР   0126362 . Збл   0095.00505 .
• Розингер, Элемер Э. (1998). Параметрические действия группы Ли на глобальных обобщенных решениях нелинейного УЧП. Включая решение пятой проблемы Гильберта . Математика и ее приложения. Том. 452. Дордрехт – Бостон – Лондон: Kluwer Academic Publishers . стр. xvii+234. ISBN  0-7923-5232-7 . МР   1658516 . Збл   0934.35003 .
• Тао, Теренс (2014). Пятая проблема Гильберта и связанные с ней темы . Аспирантура по математике. Американское математическое общество. стр. xiii+338. ISBN  978-1-4704-1564-8 . Збл   1298.22001 .
• Монтгомери, Дин; Зиппин, Лео (1955). Топологические группы преобразований . Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике. Издательство Интерсайенс. п. 281.
• Ямабе, Хидехико, О дугообразно связной подгруппе группы Ли , Osaka Mathematical Journal v.2, no. 1 марта (1950), 13–14.
• Ирвинг Каплански , Алгебры Ли и локально компактные группы , Чикагские лекции по математике, 1971.
• Беньямини, Йоав; Линденштраусс, Йорам (2000). Геометрический нелинейный функциональный анализ . Публикации коллоквиума. Американское математическое общество.
• Энфло, Пер . (1970) Исследования пятой проблемы Гильберта для нелокально компактных групп . (Докторская диссертация из пяти статей Enflo с 1969 по 1970 гг.)
  • Энфло, Пер; 1969a: Топологические группы, в которых одностороннее умножение дифференцируемо или линейно. Математика. Скан. , 24, 195–197.
  • Пер Энфло (1969). «О несуществовании равномерных гомеоморфизмов между _{пространствами Lp} » . Арк. Мат. 8 (2): 103–105. дои : 10.1007/BF02589549 .
  • Энфло, Пер; 1969б: К задаче Смирнова. Арк. Мат. 8 , 107–109.
  • Энфло, П. (1970). «Однородные структуры и квадратные корни в топологических группах». Израильский математический журнал . 8 (3): 230–252. дои : 10.1007/BF02771560 . S2CID   189773170 .
  • Энфло, П. (1970). «Однородные структуры и квадратные корни в топологических группах». Израильский математический журнал . 8 (3): 253–272. дои : 10.1007/BF02771561 . S2CID   121193430 .