Локально компактная абелева группа

В некоторых математических областях, включая гармонический анализ , топологию и теорию чисел , локально компактные абелевы группы — это абелевы группы , которые имеют особенно удобную топологию. Например, группа целых чисел (наделенная дискретной топологией ), или действительные числа, или круг (оба со своей обычной топологией) являются локально компактными абелевыми группами.

Определение и примеры [ править ]

Топологическая группа называется локально компактной, если лежащее в ее основе топологическое пространство локально компактно и хаусдорфово ; топологическая группа называется абелевой, если лежащая в ее основе группа абелева .

Примеры локально компактных абелевых групп включают:

$\mathbb {R} ^{n}$ для n — положительное целое число, а сложение векторов — групповая операция.
Положительные действительные числа $\mathbb {R} ^{+}$ с умножением в качестве операции. Эта группа изоморфна $(\mathbb {R} ,+)$ по экспоненциальной карте.
Любая конечная абелева группа с дискретной топологией . По структурной теореме для конечных абелевых групп все такие группы являются произведениями циклических групп.
Целые числа $\mathbb {Z}$ Кроме того, опять же с дискретной топологией.
Группа кругов , обозначаемая $\mathbb {T}$ для тора . Это группа комплексных чисел по модулю 1. $\mathbb {T}$ как топологическая группа изоморфна факторгруппе $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ .
Поле $\mathbb {Q} _{p}$ сложенных p -адических чисел с обычной p -адической топологией.

Двойная группа [ править ]

Если $G$ — локально компактная абелева , характер группа $G$ является непрерывным групповым гомоморфизмом из $G$ со значениями в группе кругов $\mathbb {T}$ . Набор всех персонажей на $G$ можно превратить в локально компактную абелеву группу, называемую двойственной группой к $G$ и обозначили ${\widehat {G}}$ . Групповая операция в двойственной группе задается точечным умножением характеров, обратным характеру является его комплексно-сопряженный элемент, а топология в пространстве характеров представляет собой топологию равномерной сходимости на компактных множествах (т. е. компактно-открытую топологию , рассматривающую ${\widehat {G}}$ как подмножество пространства всех непрерывных функций из $G$ к $\mathbb {T}$ .). Эта топология, вообще говоря, не метризуема. Однако если группа $G$ — сепарабельная локально компактная абелева группа, то двойственная группа метризуема.

Это аналогично двойственному пространству в линейной алгебре: так же, как и для векторного пространства $V$ над полем $K$ , двойственное пространство $\mathrm {Hom} (V,K)$ , так же как и двойственная группа $\mathrm {Hom} (G,\mathbb {T} )$ . Более абстрактно, это оба примера представимых функторов , представленных соответственно $K$ и $\mathbb {T}$ .

Группа, изоморфная (как топологические группы) своей двойственной группе, называется самодуальной . Хотя вещественные числа и конечные циклические группы самодуальны, группа и двойственная группа не являются естественно изоморфными, и их следует рассматривать как две разные группы.

Примеры двойных групп [ править ]

Двойник $\mathbb {Z}$ изоморфна группе окружностей $\mathbb {T}$ . Символ бесконечной циклической группы целых чисел $\mathbb {Z}$ при сложении определяется его значением в генераторе 1. Таким образом, для любого символа $\chi$ на $\mathbb {Z}$ , $\chi (n)=\chi (1)^{n}$ . Более того, эта формула определяет символ для любого выбора $\chi (1)$ в $\mathbb {T}$ . Топология равномерной сходимости на компактах в этом случае является топологией поточечной сходимости . Это топология группы кругов, унаследованная от комплексных чисел.

Двойник $\mathbb {T}$ канонически изоморфен $\mathbb {Z}$ . Действительно, персонаж на $\mathbb {T}$ имеет форму $z\mapsto z^{n}$ для $n$ целое число. С $\mathbb {T}$ компактна, топология дуальной группы — это топология равномерной сходимости, которая оказывается дискретной топологией .

Группа действительных чисел $\mathbb {R}$ , изоморфен своему двойственному; персонажи на $\mathbb {R}$ имеют форму $r\mapsto e^{i\theta r}$ для $\theta$ реальное число. Учитывая эти двойственности, версия преобразования Фурье, которая будет введена следующей, совпадает с классическим преобразованием Фурье на $\mathbb {R}$ .

Аналогично, группа $p$ -адические числа $\mathbb {Q} _{p}$ изоморфен своему двойственному. (Фактически любое конечное расширение $\mathbb {Q} _{p}$ также самодвойственна.) Отсюда следует, что адели самодвойственны.

Двойственность Понтрягина [ править ]

Двойственность Понтрягина утверждает, что функтор

G\mapsto {\hat {G}}

индуцирует эквивалентность категорий между противоположностью категории локально компактных абелевых групп (с непрерывными морфизмами) и самой собой:

LCA^{op}{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}LCA.

Категориальные свойства [ править ]

Клаузен (2017) показывает, что категория LCA локально компактных абелевых групп, очень грубо говоря, измеряет разницу между целыми и действительными числами. Точнее, алгебраический спектр K-теории категории локально компактных абелевых групп, а также спектры Z и R лежат в последовательности гомотопических слоев

K(\mathbf {Z} )\to K(\mathbf {R} )\to K(LCA).

Ссылки [ править ]

Клаузен, Дастин (2017), K-теоретический подход к картам Артина , arXiv : 1703.07842v2