Алгебраическая К -теория

Алгебраическая K -теория — это предметная область математики, связанная с геометрией , топологией , теорией колец и теорией чисел . Геометрическим, алгебраическим и арифметическим объектам присваиваются объекты, называемые K -группами. Это группы в смысле абстрактной алгебры . Они содержат подробную информацию об исходном объекте, но их очень сложно вычислить; например, важной нерешенной проблемой является вычисление K -групп целых чисел .

K -теория была открыта в конце 1950-х годов Александром Гротендиком в его исследовании теории пересечений алгебраических многообразий . На современном языке Гротендик определил только K ₀ , нулевую K -группу, но даже эта единственная группа имеет множество приложений, таких как теорема Гротендика–Римана–Роха . Теория пересечений по-прежнему является движущей силой в развитии (высшей) алгебраической K -теории благодаря ее связям с мотивными когомологиями и, в частности, группами Чоу . Предмет также включает в себя классические темы теории чисел, такие как квадратичная взаимность и вложение числовых полей в действительные и комплексные числа , а также более современные проблемы, такие как построение высших регуляторов и специальные значения L -функций .

Первыми были открыты нижние К -группы в том смысле, что были найдены адекватные описания этих групп в терминах других алгебраических структур. Например, если — поле , то K0 _F ( F ) изоморфно целым числам Z и тесно связано с понятием размерности векторного пространства . Для коммутативного кольца R группа K0 _R ( R ) связана с группой Пикара кольца , и когда R — кольцо целых чисел в числовом поле, это обобщает классическую конструкцию группы классов . Группа K ₁ ( R ) тесно связана с группой единиц R ^× , а если R — поле, то это именно группа единиц. Для числового поля F группа K ₂ ( F ) связана с теорией полей классов , символом Гильберта и разрешимостью квадратных уравнений над пополнениями. Напротив, нахождение правильного определения высших K -групп колец было трудным достижением Дэниела Квиллена , и многие основные факты о высших K -группах алгебраических многообразий не были известны до работы Роберта Томасона .

История

История К -теории подробно описана Чарльзом Вейбелем .

Группа Гротендика К ₀

В 19 веке Бернхард Риман и его ученик Густав Рох доказали то, что сейчас известно как теорема Римана-Роха . Если X — риманова поверхность , то множества мероморфных функций и мероморфных дифференциальных форм на X образуют векторные пространства. Линейное расслоение на X определяет подпространства этих векторных пространств, и если X проективно, то эти подпространства конечномерны. Теорема Римана-Роха утверждает, что разница в размерностях между этими подпространствами равна степени линейного расслоения (мере скрученности) плюс один минус род X . В середине 20 века теорема Римана–Роха была обобщена Фридрихом Хирцебрухом на все алгебраические многообразия. В формулировке Хирцебруха, теореме Хирцебруха-Римана-Роха , теорема стала утверждением об эйлеровых характеристиках : эйлерова характеристика векторного расслоения на алгебраическом многообразии (которая представляет собой знакопеременную сумму размерностей его групп когомологий) равна эйлеровой характеристике тривиального расслоения плюс поправочный коэффициент, исходящий из характеристические классы векторного расслоения. Это обобщение, поскольку на проективной римановой поверхности эйлерова характеристика линейного расслоения равна упомянутой ранее разнице размерностей, эйлерова характеристика тривиального расслоения равна единице минус род, а единственным нетривиальным характеристическим классом является степень.

Предмет K -теории получил свое название от конструкции Александра Гротендика 1957 года , которая появилась в теореме Гротендика-Римана-Роха , его обобщении теоремы Хирцебруха. Пусть X — гладкое алгебраическое многообразие. Каждому векторному расслоению на X Гротендик сопоставляет инвариант — его класс . Множество всех классов на X называлось K ( X ) от немецкого Klasse . По определению K ( X ) является фактором свободной абелевой группы по классам изоморфизма векторных расслоений на X и, следовательно, является абелевой группой. Если базовый элемент, соответствующий векторному расслоению V, обозначается [ V ], то для каждой короткой точной последовательности векторных расслоений:

$0\to V'\to V\to V''\to 0,$

Гротендик установил соотношение [ V ] = [ V′ ] + [ V″ ] . Эти генераторы и отношения определяют K ( X ) и подразумевают, что это универсальный способ назначить инварианты векторным расслоениям способом, совместимым с точными последовательностями.

Гротендик придерживался точки зрения, что теорема Римана-Роха — это утверждение о морфизмах многообразий, а не о самих многообразиях. что существует гомоморфизм из K ( X ) в Чоу X , исходящий из характера Чженя и класса Тодда X. Он доказал , группы Кроме того, он доказал, что собственный морфизм f : X → Y гладкого многообразия Y определяет гомоморфизм f _* : K ( X ) → K ( Y ), называемый pushforward . Это дает два способа определения элемента в группе Чоу Y из векторного расслоения на X : начиная с X , можно сначала вычислить прямое движение в K -теории, а затем применить характер Черна и класс Тодда Y , или можно сначала примените характер Черна и класс Тодда X , а затем вычислите продвижение вперед для групп Чоу. Теорема Гротендика-Римана-Роха утверждает, что они равны. Когда Y — точка, векторное расслоение — это векторное пространство, класс векторного пространства — это его размерность, а теорема Гротендика-Римана-Роха специализируется на теореме Хирцебруха.

Группа K ( X ) теперь известна как K0 _X ( ) . После замены векторных расслоений проективными модулями K ₀ стал определен и для некоммутативных колец, где он имел приложения к групповым представлениям . Атья и Хирцебрух быстро перенесли конструкцию Гротендика в топологию и использовали ее для определения топологической К-теории . Топологическая K -теория была одним из первых примеров необычной теории когомологий : она сопоставляет каждому топологическому пространству X (удовлетворяющему некоторым мягким техническим ограничениям) последовательность групп K _n ( X ), которые удовлетворяют всем аксиомам Эйленберга – Стинрода, за исключением нормализации. аксиома. Однако установка алгебраических многообразий гораздо более жесткая, а гибкие конструкции, используемые в топологии, отсутствовали. Хотя группа K0 _, чтобы стать началом теории когомологий алгебраических многообразий и некоммутативных колец, не было четкого определения высшего Kn _{казалось, удовлетворяла необходимым свойствам ,} ( X ). Даже когда такие определения были разработаны, технические проблемы, связанные с ограничением и склеиванием, обычно заставляли K _n определять только для колец, а не для разновидностей.

К ₀ , К ₁ и К ₂

Группа, близкородственная K ₁ для групповых колец, была ранее введена Дж. Х. Уайтхедом . Анри Пуанкаре попытался определить числа Бетти многообразия в терминах триангуляции. Однако в его методах был серьезный пробел: Пуанкаре не смог доказать, что две триангуляции многообразия всегда дают одни и те же числа Бетти. Совершенно очевидно, что числа Бетти не изменились при разделении триангуляции, и поэтому было ясно, что любые две триангуляции, имеющие общее подразделение, имели одинаковые числа Бетти. Неизвестно было, что любые две триангуляции допускают общее подразделение. Эта гипотеза стала гипотезой, известной как Hauptvermutung (примерно «основная гипотеза»). Тот факт, что триангуляции устойчивы при подразделении, побудил Дж. Уайтхеда ввести понятие простого гомотопического типа . Простая гомотопическая эквивалентность определяется как добавление симплексов или ячеек к симплициальному комплексу или клеточному комплексу таким образом, что каждый дополнительный симплекс или деформация ячейки втягивается в подразделение старого пространства. Частично мотивацией для этого определения является то, что подразделение триангуляции является простым гомотопически эквивалентным исходной триангуляции, и, следовательно, две триангуляции, имеющие общее подразделение, должны быть простым гомотопически эквивалентным. Уайтхед доказал, что простая гомотопическая эквивалентность является более тонким инвариантом, чем гомотопическая эквивалентность, введя инвариант, называемый кручением . Кручение гомотопической эквивалентности принимает значения в группе, которая теперь называется группой Уайтхеда и обозначается Wh ( π ), где π — фундаментальная группа целевого комплекса. Уайтхед нашел примеры нетривиального кручения и тем самым доказал, что некоторые гомотопические эквивалентности не являются простыми. Позже было обнаружено, что группа Уайтхеда является фактором K ₁ ( Z π ), где Z π — интеграл групповое кольцо π . Позже Джон Милнор использовал кручение Райдемейстера , инвариант, связанный с кручением Уайтхеда, чтобы опровергнуть Hauptvermutung.

Первое адекватное определение К ₁ кольца было сделано Хайманом Бассом и Стивеном Шануэлем . В топологической K -теории K ₁ определяется с помощью векторных расслоений на надстройке пространства. Все такие векторные расслоения происходят из конструкции сцепления , где два тривиальных векторных расслоения на двух половинах пространства склеены вдоль общей полосы пространства. Эти данные склейки выражаются с использованием общей линейной группы , но элементы этой группы, происходящие из элементарных матриц (матриц, соответствующих элементарным операциям со строками или столбцами), определяют эквивалентные склейки. Исходя из этого, определение Басса–Шанюэля K ₁ кольца R — это GL ( R )/ E ( R ) , где GL ( R ) — бесконечная общая линейная группа (объединение всех GL _n ( R )) и E ( R ) — подгруппа элементарных матриц. Они также дали определение K ₀ гомоморфизма колец и доказали, что K ₀ и K ₁ могут быть объединены в точную последовательность, подобную точной последовательности относительной гомологии.

Кульминацией работ в области K -теории этого периода стала книга Басса « Алгебраическая K -теория» . Помимо последовательного изложения известных на тот момент результатов, Басс улучшил многие формулировки теорем. Особо следует отметить, что Басс, опираясь на свою более раннюю работу с Мерти, предоставил первое доказательство того, что сейчас известно как фундаментальная теорема алгебраической K -теории . Это четырехчленная точная последовательность, связывающая K ₀ кольца R с K ₁ кольца R , кольцо многочленов R [ t ] и локализацию R [ t , t ⁻¹ ]. дает описание K0 _{Басс признал ,} полностью в терминах K1 _. что эта теорема Рекурсивно применив это описание, он создал отрицательные K -группы K _−n ( R ). В независимой работе Макс Каруби дал другое определение отрицательных K -групп для некоторых категорий и доказал, что его определения дают те же самые группы, что и определения Басса.

Следующим важным достижением в этой теме стало определение K ₂ . Стейнберг изучил универсальные центральные расширения группы Шевалле над полем и дал явное представление этой группы в терминах образующих и отношений. В случае группы En ₍ k ) элементарных матриц универсальное центральное расширение теперь обозначается Stn ₍ k ) и называется группой Штейнберга . Весной 1967 года Джон Милнор определил K ₂ ( R ) как ядро ​​гомоморфизма St( R ) → E ( R ) . Группа K ₂ расширила некоторые точные последовательности, известные для K ₁ и K ₀ , и нашла поразительные приложения в теории чисел. Диссертация Хидея Мацумото 1968 года что для поля F показал , K ₂ ( F ) изоморфен:

$F^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }F^{\times }/\langle x\otimes (1-x)\colon x\in F\setminus \{0,1\}\rangle .$

Этому соотношению удовлетворяет и символ Гильберта , выражающий разрешимость квадратных уравнений над локальными полями . В частности, Джон Тейт смог доказать, что K ₂ ( Q ) по существу структурирован вокруг закона квадратичной взаимности .

Высшие К -

несколько определений высшей К В конце 1960-х — начале 1970-х годов было предложено -теории. Лебедь и Герстен обе дали определения K _n для всех n , и Герстен доказал, что его теории и теории Свона эквивалентны, но не было известно, что эти две теории удовлетворяют всем ожидаемым свойствам. Нобиле и Вилламайор также предложили определение высших К -групп. с хорошим поведением Каруби и Вилламайор определили K -группы для всех n , но их эквивалентом K ₁ иногда был собственный фактор Басса-Шанюэля K ₁ . Их K -группы теперь называются KV _n и относятся к гомотопически-инвариантным модификациям K -теории.

Частично вдохновленный теоремой Мацумото, Милнор дал определение высших K -групп поля. Он назвал свое определение «чисто ad hoc ». и оно, по-видимому, не распространялось на все кольца и не казалось правильным определением высшей K -теории полей. Много позже его открыли Нестеренко и Суслин. и Тотаро -теория Милнора что К на самом деле является прямым слагаемым истинной К -теории поля. В частности, K -группы имеют фильтрацию, называемую весовой фильтрацией , а K -теория Милнора является частью K -теории с наивысшей весовой градуировкой. Кроме того, Томасон обнаружил, что не существует аналога К -теории Милнора для общего многообразия.

Первым определением высшей К -теории, получившим широкое признание, было определение Дэниела Квиллена . В рамках работы Квиллена над гипотезой Адамса в топологии он построил отображения классифицирующих пространств BGL ( F _q ) в гомотопический слой ψ ^д − 1 , где ψ ^д — q -я операция Адамса, действующая на классифицирующее пространство BU . Эта карта является ациклической, и после небольшого изменения BGL ( F _q ) для создания нового пространства BGL ( F _q ) ⁺ , отображение стало гомотопической эквивалентностью. Эта модификация получила название « плюсовая конструкция» . было известно, что операции Адамса связаны с классами Чженя и K Со времен Гротендика -теорией, и поэтому Квиллен был вынужден определить K -теорию R как гомотопические группы BGL ( R ). ⁺ . Это не только восстановило K ₁ и K ₂ , связь K -теории с операциями Адамса позволила Квиллену вычислить K -группы конечных полей.

Классифицирующее пространство BGL связно, поэтому определение Квиллена не смогло дать правильное значение K ₀ . Кроме того, он не дал никаких отрицательных K -групп. Поскольку К ₀ имело известное и общепринятое определение, эту трудность можно было обойти, но это оставалось технически неудобным. Концептуально проблема заключалась в том, что определение возникло из GL , который классически был источником K ₁ . Поскольку GL знает только о склейке векторных расслоений, а не о самих векторных расслоениях, для нее было невозможно описать K ₀ .

Вдохновленный беседами с Квилленом, Сигал вскоре представил другой подход к построению алгебраической K -теории под названием Γ-объектов. Подход Сигала является гомотопическим аналогом конструкции Гротендика K ₀ . Там, где Гротендик работал с классами изоморфизма расслоений, Сигал работал с самими расслоениями и использовал изоморфизмы расслоений как часть своих данных. В результате получается спектр , гомотопическими группами которого являются высшие K -группы (включая K ₀ ). Однако подход Сигала позволял устанавливать отношения только для разделенных точных последовательностей, а не для общих точных последовательностей. В категории проективных модулей над кольцом каждая короткая точная последовательность расщепляется, и поэтому Γ-объекты можно использовать для определения K -теории кольца. Однако в категории векторных расслоений на многообразии и в категории всех модулей над кольцом существуют нерасщепляемые короткие точные последовательности, поэтому подход Сигала не применим ко всем интересующим случаям.

Весной 1972 года Квиллен нашел другой подход к построению высшей К -теории, который оказался чрезвычайно успешным. Это новое определение началось с точной категории , категории, удовлетворяющей определенным формальным свойствам, подобным, но немного более слабым, чем свойства, которым удовлетворяет категория модулей или векторных расслоений. Из этого он построил вспомогательную категорию, используя новый прием, названный его « Q -конструкцией ». Как и Γ-объекты Сигала, Q -конструкция берет свое начало в определении Гротендика K ₀ . Однако, в отличие от определения Гротендика, Q -конструкция строит категорию, а не абелеву группу, и в отличие от Γ-объектов Сигала, Q -конструкция работает непосредственно с короткими точными последовательностями. Если C — абелева категория , то QC — категория с теми же объектами, что и C, морфизмы которой определяются в терминах коротких точных последовательностей в C. но -группы K точной категории являются гомотопическими группами Ω BQC , пространства петель геометрической реализации (взятие пространства петель исправляет индексацию). Квиллен дополнительно доказал свою " + = Q теорема», что два его определения K -теории согласуются друг с другом. Это дало правильное K ₀ и привело к более простым доказательствам, но все еще не привело ни к каким отрицательным K -группам.

Все абелевы категории являются точными категориями, но не все точные категории абелевы. Поскольку Квиллен мог работать в этой более общей ситуации, он мог использовать точные категории в качестве инструментов в своих доказательствах. Этот метод позволил ему доказать многие основные теоремы алгебраической К -теории. Кроме того, удалось доказать, что более ранние определения Свона и Герстена при определенных условиях были эквивалентны определениям Квиллена.

K -теория теперь оказалась теорией гомологии колец и теорией когомологий многообразий. Однако многие из его основных теорем содержали гипотезу о том, что рассматриваемое кольцо или многообразие регулярно. «последовательностью локализации»), связывающая K -теорию многообразия X и открытое подмножество U. Одним из основных ожидаемых отношений была длинная точная последовательность ( называемая Квиллену не удалось доказать существование последовательности локализации в полной общности. Однако он смог доказать ее существование для родственной теории, называемой G -теорией (или иногда K' -теорией). G -теория была определена Гротендиком на ранних этапах разработки этого предмета. Гротендик определил G0 _по ( X ) для многообразия X как свободную абелеву группу на классах изоморфизма когерентных пучков на X модулю отношений, происходящих из точных последовательностей когерентных пучков. В категориальной структуре, принятой более поздними авторами, K -теория многообразия является K -теорией его категории векторных расслоений, тогда как его G -теория является K -теорией его категории когерентных пучков. Квиллен не только смог доказать существование точной последовательности локализации для G -теория, он мог доказать, что для регулярного кольца или многообразия K -теория равна G -теории, и, следовательно, K -теория регулярных многообразий имела точную последовательность локализации. Поскольку эта последовательность была фундаментальной для многих фактов по этой теме, гипотезы регулярности пронизывали ранние работы по высшей K -теории.

алгебраической K в

Самым ранним применением алгебраической K -теории к топологии была конструкция кручения Уайтхеда. Близкая конструкция была обнаружена CTC Wall в 1963 году. Уолл обнаружил, что пространство X, в котором доминирует конечный комплекс, имеет обобщенную эйлерову характеристику, принимающую значения в факторе K ₀ ( Z π ), где π — фундаментальная группа пространства. Этот инвариант называется препятствием конечности Уолла , поскольку X гомотопически эквивалентно конечному комплексу тогда и только тогда, когда инвариант обращается в нуль. Лоран Зибенман в своей диссертации нашел инвариант, аналогичный инварианту Уолла, который препятствует тому, чтобы открытое многообразие было внутренней частью компактного многообразия с краем. Если два многообразия с границей M и N имеют изоморфные внутренности (в TOP, PL или DIFF, в зависимости от обстоятельств), то изоморфизм между ними определяет h -кобордизм между M и N .

Кручение Уайтхеда в конечном итоге было переосмыслено в более прямом смысле K -теории. Эта реинтерпретация произошла благодаря изучению h -кобордизмов . Два n -мерных многообразия M и N являются h -кобордантными, если существует ( n + 1) -мерное многообразие с краем W , граница которого является дизъюнктным объединением M и N и для которого включения M и N в W гомотопичны. эквиваленты (в категориях TOP, PL или DIFF). Стивена Смейла о h -кобордизмах Теорема утверждал, что если n ≥ 5 , W компактен, а M , N и W односвязны, то W изоморфен цилиндру M × [0, 1] (в TOP, PL или DIFF, в зависимости от обстоятельств). Эта теорема доказала гипотезу Пуанкаре для n ≥ 5 .

Если не предполагается, что M и N односвязны, то h -кобордизм не обязательно должен быть цилиндром. Теорема о s -кобордизме, выдвинутая независимо Мазуром, Столлингс и Барден, объясняет общую ситуацию: h -кобордизм является цилиндром тогда и только тогда, когда кручение Уайтхеда включения M ⊂ W обращается в нуль. Это обобщает теорему о h -кобордизме, поскольку из гипотез простой связности следует, что соответствующая группа Уайтхеда тривиальна. Фактически из теоремы о s -кобордизмах следует, что существует биективное соответствие между классами изоморфизма h -кобордизмов и элементами группы Уайтхеда.

Очевидным вопросом, связанным с существованием h -кобордизмов, является их единственность. Естественным понятием эквивалентности является изотопия . Жан Серф доказал, что для односвязных гладких многообразий M размерности не менее 5 изотопия h -кобордизмов совпадает с более слабым понятием, называемым псевдоизотопией. Хэтчер и Ваггонер изучили компоненты пространства псевдоизотопий и связали их с фактором K ₂ ( Z π ).

Правильным контекстом теоремы о s -кобордизмах является классифицирующее пространство h -кобордизмов. Если M — CAT-многообразие, то H ^КОТ ( M ) — пространство, классифицирующее расслоения - кобордизмов на M. h Теорему о s -кобордизме можно переинтерпретировать как утверждение, что множество компонент связности этого пространства является группой Уайтхеда π ₁ ( M ). Это пространство содержит строго больше информации, чем группа Уайтхеда; например, компонент связности тривиального кобордизма описывает возможные цилиндры на M и, в частности, является препятствием для единственности гомотопии между многообразием и M × [0, 1] . Рассмотрение этих вопросов привело Вальдхаузена к созданию алгебраической К -теории пространств. Алгебраическая K -теория M — это пространство A ( M ), определенное так, что оно играет по существу ту же роль для высших групп какую K1 _, ( Zπ1 - _для ( M )) играет M. K В частности, Вальдхаузен показал, что существует отображение A ( M ) в пространство Wh( M ), которое обобщает отображение K ₁ ( Z π ₁ ( M )) → Wh( π ₁ ( M )) и гомотопический слой которого есть теория гомологии.

Чтобы полностью разработать А -теорию, Вальдхаузен добился значительных технических успехов в основах К -теории. Вальдхаузен ввел Вальдхаузена , а для категории Вальдхаузена C он ввел симплициальную категорию S _⋅ C ( S — Сигал), определенную в терминах цепей корасслоений в C. категории Это освободило основы К -теории от необходимости привлекать аналоги точных последовательностей.

Алгебраическая топология и алгебраическая геометрия K теории

Квиллен предположил своему ученику Кеннету Брауну , что возможно создать теорию пучков спектров , которой могла бы служить К примером -теория. Пучок спектров K -теории будет ассоциировать с каждым открытым подмножеством многообразия K -теорию этого открытого подмножества. Браун разработал такую ​​теорию для своей диссертации. Одновременно Герстену пришла в голову та же идея. На конференции в Сиэтле осенью 1972 года они вместе обнаружили спектральную последовательность , сходящуюся с пучковыми когомологиями ${\mathcal {K}}_{n}$, пучок K _n -групп на X , к K -группе всего пространства. Теперь это называется спектральной последовательностью Брауна-Герстена .

Спенсер Блох под влиянием работ Герстена о пучках K -групп доказал, что на регулярной поверхности группа когомологий $H^{2}(X,{\mathcal {K}}_{2})$ изоморфна группе Чоу CH ² ( X циклов коразмерности 2 на X. ) Вдохновленный этим, Герстен предположил, что для регулярного локального кольца R с полем частных F , K _n ( R ) инжектируется в K _n ( F ) для всех n . Вскоре Квиллен доказал, что это верно, когда R содержит поле и используя это, он доказал, что

$H^{p}(X,{\mathcal {K}}_{p})\cong \operatorname {CH} ^{p}(X)$

для всех п . Это известно как формула Блоха . Хотя с тех пор в гипотезе Герстена был достигнут прогресс, общий случай остается открытым.

Лихтенбаум предположил, что специальные значения дзета-функции числового поля могут быть выражены через K -группы кольца целых чисел поля. Было известно, что эти специальные значения связаны с этальными когомологиями кольца целых чисел. Таким образом, Квиллен обобщил гипотезу Лихтенбаума, предсказав существование спектральной последовательности, подобной спектральной последовательности Атьи – Хирцебруха, в топологической K -теории. Предложенная Квилленом спектральная последовательность будет начинаться с этальных когомологий кольца R и в достаточно высоких степенях и после завершения на простом l, обратимом в R , примыкать к l -адическому завершению K -теории R . В случае, изученном Лихтенбаумом, спектральная последовательность вырождается, что приводит к гипотезе Лихтенбаума.

Необходимость локализации в простом числе l подсказала Браудеру, что должен существовать вариант К -теории с конечными коэффициентами. Он ввел K группы теории Kn _- ( R ; Z / l Z ), которые представляли собой Z / l Z -векторные пространства, и нашел аналог элемента Ботта в топологической K -теории. Соул использовал эту теорию для построения «этальных классов Чженя », аналога топологических классов Чженя, который привёл элементы алгебраической K -теории к классам в этальных когомологиях . В отличие от алгебраической K -теории, этальные когомологии легко вычислимы, поэтому этальные классы Черна предоставили эффективный инструмент для обнаружения существования элементов в K -теории. Затем Уильям Г. Дуайер и Эрик Фридлендер изобрели аналог К -теории для этальной топологии, названный этальной К -теорией. Для многообразий, определенных над комплексными числами, этальная K -теория изоморфна топологической K -теории. Более того, этальная K -теория допускала спектральную последовательность, подобную той, которую предположил Квиллен. Примерно в 1980 году Томасон доказал, что после обращения элемента Ботта алгебраическая K -теория с конечными коэффициентами стала изоморфной этальной K -теории.

На протяжении 1970-х и начала 1980-х годов К -теория сингулярных многообразий все еще не имела адекватных оснований. Хотя считалось, что К -теория Квиллена дает правильные группы, не было известно, что эти группы обладают всеми предусмотренными свойствами. Для этого алгебраическую К пришлось переформулировать -теорию. Это было сделано Томасоном в длинной монографии, соавтором которой он назвал своего умершего друга Томаса Тробо, который, по его словам, дал ему ключевую идею во сне. -теории Вальдхаузена Томасон объединил конструкцию K с основами теории пересечений, описанными в шестом томе «Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie» Гротендика . Там K ₀ описывался в терминах комплексов пучков на алгебраических многообразиях. Томасон обнаружил, что если работать с производной категорией пучков, то существует простое описание того, когда комплекс пучков может быть расширен от открытого подмножества разнообразия до всего многообразия. Применяя конструкцию К -теории Вальдхаузена к производным категориям, Томасон смог доказать, что алгебраическая К -теория обладает всеми ожидаемыми свойствами теории когомологий.

В 1976 году Кейт Деннис открыл совершенно новую технику вычисления К -теории, основанную на гомологии Хохшильда . Это было основано на существовании карты следов Денниса, гомоморфизма K -теории гомологиям Хохшильда. Хотя карта следов Денниса казалась успешной для расчетов K -теории с конечными коэффициентами, она оказалась менее успешной для рациональных расчетов. Гудвилли, руководствуясь своим «исчислением функторов», предположил существование теории, промежуточной между К -теорией и гомологиями Хохшильда. Он назвал эту теорию топологической гомологией Хохшильда, потому что ее основным кольцом должен быть спектр сферы (рассматриваемый как кольцо, операции которого определены только с точностью до гомотопии). В середине 1980-х годов Бокстедт дал определение топологической гомологии Хохшильда, которое удовлетворяло почти всем гипотетическим свойствам Гудвилли, и это сделало возможным дальнейшие вычисления K -групп. Версия карты следов Денниса Бокстедта представляла собой преобразование спектров K → THH . Это преобразование учитывало действие фиксированных точек окружности на THH , что предполагало связь с циклической гомологией . В ходе доказательства алгебраического K -теоретического аналога гипотезы Новикова Бокстедт, Сян и Мэдсен ввели топологические циклические гомологии, которые имели такое же отношение к топологическим гомологиям Хохшильда, как циклические гомологии к гомологиям Хохшильда. Трассировка Денниса отображает топологические факторы гомологии Хохшильда посредством топологической циклической гомологии, предоставляя еще более подробный инструмент для расчетов. В 1996 году Дандас, Гудвилли и Маккарти доказали, что топологические циклические гомологии имеют в точном смысле ту же локальную структуру, что и алгебраическая К -теория, так что если вычисление в К -теории или топологической циклической гомологии возможно, то многие другие «близкие» " Далее следуют расчеты.

Нижние К -

Нижние K -группы были открыты первыми и получили различные специальные описания, которые остаются полезными. Пусть далее A кольцо — .

К ₀

Функтор K0 _{переводит} кольцо A в группу Гротендика множества классов изоморфизма его конечно порожденных проективных модулей , рассматриваемых как моноид относительно прямой суммы. Любой кольцевой гомоморфизм A → B дает отображение K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ) путем отображения (класса) проективного A -модуля M в M ⊗ _A B , делая K ₀ ковариантным функтором.

Если кольцо A коммутативно, мы можем определить подгруппу K ₀ ( A ) как множество

${\tilde {K}}_{0}\left(A\right)=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideal of }}A}\mathrm {Ker} \dim _{\mathfrak {p}},$

где :

$\dim _{\mathfrak {p}}:K_{0}\left(A\right)\to \mathbf {Z}$

— это отображение, переводящее каждый (класс a) конечно порожденный проективный A -модуль M в ранг свободного $A_{\mathfrak {p}}$-модуль $M_{\mathfrak {p}}$ (этот модуль действительно свободен, как свободен любой конечно порожденный проективный модуль над локальным кольцом). Эта подгруппа ${\tilde {K}}_{0}\left(A\right)$ известна как -теория A . приведенная нулевая K

Если B — кольцо без единичного элемента , мы можем расширить определение K0 _{следующим} образом. Пусть A = B ⊕ Z — расширение B до кольца с единицей, полученной присоединением единичного элемента (0,1). Существует короткая точная последовательность B → A → Z , и мы определяем K ₀ ( B ) как ядро ​​соответствующего отображения K ₀ ( A ) → K ₀ ( Z ) = Z .

Примеры

См. Также: Группа Гротендика § Дополнительные примеры

• (Проективные) модули над полем k являются векторными пространствами а K0 _, ( k ) изоморфно Z по размерности .
• Конечно порожденные проективные модули над локальным кольцом A свободны, и поэтому в этом случае ( _K0 A ) снова изоморфен Z по рангу .
• Для A — , дедекиндова область K 0 ₍ A ) = Pic( ) ⊕ Z , где Pic( A ) — группа Пикара A A ,

Алгебро-геометрический вариант этой конструкции применяется к категории алгебраических многообразий ; он сопоставляет данному алгебраическому многообразию X -группу Гротендика K категории локально свободных пучков (или когерентных пучков) на X . Для компактного топологического пространства X топологическая теория K - K ^{вершина} ( X ) (вещественных) векторных расслоений над X совпадает с K ₀ кольца непрерывных вещественных функций на X .

Относительный К ₀

Пусть я идеал кольца A и определю «двойник» как подкольцо декартова произведения A × A :

$D(A,I)=\{(x,y)\in A\times A:x-y\in I\}\ .$

Относительная К-группа определяется в терминах «двойного»

$K_{0}(A,I)=\ker \left({K_{0}(D(A,I))\rightarrow K_{0}(A)}\right)\ .$

где отображение индуцировано проекцией на первый фактор.

Относительное K ₀ ( A , I ) изоморфно K ₀ ( I ), рассматривая I как кольцо без единицы. Независимость от A является аналогом теоремы вырезания в гомологиях.

К ₀ как кольцо

Если A — коммутативное кольцо, то тензорное произведение проективных модулей снова проективно, и поэтому тензорное произведение вызывает умножение, превращающее K ₀ в коммутативное кольцо с классом [ A ] в качестве единицы. Внешний продукт аналогичным образом индуцирует структуру λ-кольца .Группа Пикара вкладывается как подгруппа группы единиц K ₀ ( A ) ^∗ .

К ₁

Хайман Басс дал это определение, которое обобщает группу единиц кольца: K ₁ ( A ) — это абелианизация бесконечной общей линейной группы :

$K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]$

Здесь

$\operatorname {GL} (A)=\operatorname {colim} \operatorname {GL} (n,A)$

является прямым пределом GL( n ), который встраивается в GL( n + 1) как верхняя левая блочная матрица , и $[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]$ является его коммутантом . Определите элементарную матрицу как сумму единичной матрицы и одного недиагонального элемента (это подмножество элементарных матриц, используемых в линейной алгебре ). Тогда лемма Уайтхеда утверждает, что группа E ( A ), порожденная элементарными матрицами, равна коммутанту [GL( A ), GL( A )]. Действительно, группа GL( A )/E( A ) была впервые определена и изучена Уайтхедом, и называется группой Уайтхеда кольца A .

Относительный К ₁

Относительная К-группа определяется в терминах «двойного»

$K_{1}(A,I)=\ker \left({K_{1}(D(A,I))\rightarrow K_{1}(A)}\right)\ .$

Существует естественная точная последовательность

$K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\rightarrow K_{1}(A/I)\rightarrow K_{0}(A,I)\rightarrow K_{0}(A)\rightarrow K_{0}(A/I)\ .$

Коммутативные кольца и поля

Для A, коммутативного кольца , можно определить определитель det: GL( A ) → A* для группы единиц A , который обращается в нуль на E( A ) и, таким образом, спускается к отображению det : K ₁ ( A ) → A * . Поскольку E( A ) ◅ SL( A ), можно также определить группу Уайтхеда SK специальную ₁ ( A ) := SL( A )/E( A ). Это отображение распадается через отображение A* → GL(1, A ) → K ₁ ( A ) (единица в верхнем левом углу) и, следовательно, находится на и имеет специальную группу Уайтхеда в качестве ядра, что дает расщепленную короткую точную последовательность :

$1\to SK_{1}(A)\to K_{1}(A)\to A^{*}\to 1,$

которая является фактором обычной расщепляемой короткой точной последовательности, определяющей специальную линейную группу , а именно

$1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{*}\to 1.$

Определитель разбивается путем включения группы единиц A* = GL ₁ ( A ) в общую линейную группу GL (A) , поэтому K ₁ ( A ) распадается как прямая сумма группы единиц и специальной группы Уайтхеда: К ₁ ( А ) ≅ А* ⊕ СК ₁ ( А ).

Когда A является евклидовой областью (например, полем или целыми числами), SK 1 ₍ A ) обращается в нуль, а детерминантное отображение является изоморфизмом из K ₁ ( A ) в A ^∗ . В целом для PID это неверно , что обеспечивает одну из редких математических особенностей евклидовых областей, которая не распространяется на все PID. Явный PID, такой, что SK ₁ не равен нулю, был дан Ишебеком в 1980 году и Грейсоном в 1981 году. Если A — дедекиндова область, поле фактор-поле которой является полем алгебраических чисел (конечное расширение рациональных чисел), то Милнор (1971 , следствие 16.3) показывает, что SK 1 ₍ A ) обращается в нуль.

Исчезновение SK ₁ можно интерпретировать как утверждение, что K ₁ порождается образом GL ₁ в GL. Когда это не удается, можно спросить, порождается ли K ₁ образом GL ₂ . Для дедекиндовой области это так: действительно, K ₁ порождается образами GL ₁ и SL ₂ в GL. Подгруппу SK ₁ , порожденную SL _2, можно изучать с помощью символов Меннике . Для дедекиндовых областей, у которых все факторы по максимальным идеалам конечны, SK ₁ является периодической группой.

Для некоммутативного кольца определитель, вообще говоря, не может быть определен, но отображение GL( A ) → K ₁ ( A ) является обобщением определителя.

Центральные простые алгебры

В случае центральной простой алгебры A над полем F приведенная норма обеспечивает обобщение определителя, дающее отображение K ₁ ( A ) → F ^∗ и SK ₁ ( A ) может быть определен как ядро. Теорема Ванга утверждает, что если A имеет простую степень, то SK 1 ₍ A ) тривиально, и это можно расширить до степени, свободной от квадратов. Ван также показал, что SK 1 ₍ A ) тривиален для любой центральной простой алгебры над числовым полем: но Платонов привел примеры алгебр степени простой квадрат, для которых SK 1 ₍ A ) нетривиален.

К ₂

Смотрите также: группа Штейнберга (K-теория)

Джон Милнор нашел правильное определение K ₂ : это центр группы Стейнберга St( A ) A. группы

Его также можно определить как ядро ​​карты

$\varphi \colon \operatorname {St} (A)\to \mathrm {GL} (A),$

или как множитель Шура группы элементарных матриц .

Для поля K ₂ определяется символами Штейнберга : это приводит к теореме Мацумото.

Можно вычислить, что K ₂ равно нулю для любого конечного поля. Вычисление K ₂ ( Q ) сложно: Тейт доказал

$K_{2}(\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /4)^{*}\times \prod _{p{\text{ odd prime}}}(\mathbf {Z} /p)^{*}\$

и заметил, что доказательство последовало за квадратичной первым доказательством Гаусса Закона взаимности .

Для неархимедовых локальных полей группа K ₂ ( F ) является прямой суммой конечной циклической группы порядка m , скажем, и делимой группы K ₂ ( F ) ^м .

Имеем K ₂ ( Z ) = Z /2, и, вообще говоря, K ₂ конечен для кольца целых числового поля.

Далее имеем K ₂ ( Z / n ) = Z /2, если n делится на 4, и в противном случае – ноль.

Теорема Мацумото

Теорема Мацумото утверждает, что для поля k вторая K -группа задается формулой

$K_{2}(k)=k^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }k^{\times }/\langle a\otimes (1-a)\mid a\not =0,1\rangle .$

Исходная теорема Мацумото еще более общая: для любой системы корней она дает представление о нестабильной K-теории. Это изложение отличается от приведенного здесь только для симплектических корневых систем. Для несимплектических корневых систем нестабильная вторая K-группа относительно корневой системы является в точности стабильной K-группой для GL( A ). Нестабильные вторые K-группы (в данном контексте) определяются путем взятия ядра универсального центрального расширения группы Шевалле универсального типа для данной корневой системы. Эта конструкция дает ядро ​​расширения Штейнберга для систем корней An _{> 1) и} ( n , в пределе, стабильные вторые K -группы.

Длинные точные последовательности

Если A — дедекиндова область с полем дробей F , то существует длинная точная последовательность

$K_{2}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{1}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{1}A\rightarrow K_{1}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{0}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{0}A\rightarrow K_{0}F\rightarrow 0\$

где p пробегает все простые идеалы A .

Существует также расширение точной последовательности для относительных K ₁ и K ₀ :

$K_{2}(A)\rightarrow K_{2}(A/I)\rightarrow K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\cdots \ .$

Пейринг

Существует спаривание в K ₁ со значениями в K ₂ . Учитывая коммутирующие матрицы X и Y над A , возьмите элементы x и y в группе Стейнберга с X , Y в качестве изображений. Коммутатор $xyx^{-1}y^{-1}$ является элементом K ₂ . Карта не всегда сюръективна.

Милнор К -теория

Основная статья: К-теория Милнора

Приведенное выше выражение для K ₂ поля k привело Милнора к следующему определению «высших» K -групп по формуле

$K_{*}^{M}(k):=T^{*}(k^{\times })/(a\otimes (1-a)),$

таким образом, как градуированные части фактора тензорной алгебры группы мультипликативной k ^× двусторонним идеалом , порожденным

$\left\{a\otimes (1-a):\ a\neq 0,1\right\}.$

Для n = 0,1,2 они совпадают с приведенными ниже, но для n ⩾ 3 они в целом отличаются. Например, у нас есть К. ^М
_n ( F _q ) = 0 для n ⩾ 2но K _n F _q отличен от нуля при нечетном n (см. ниже).

Тензорное произведение в тензорной алгебре индуцирует произведение $K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}$ изготовление $K_{*}^{M}(F)$ , градуированное кольцо которое является градуированно-коммутативным .

Изображения элементов $a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}$ в $K_{n}^{M}(k)$ называются символами , обозначаемыми $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$. Для целого числа m, обратимого по k, существует отображение

$\partial :k^{*}\rightarrow H^{1}(k,\mu _{m})$

где $\mu _{m}$ обозначает группу корней m-й степени из единицы в некотором сепарабельном расширении k . Это распространяется на

$\partial ^{n}:k^{*}\times \cdots \times k^{*}\rightarrow H^{n}\left({k,\mu _{m}^{\otimes n}}\right)\$

удовлетворяющие определяющим соотношениям K-группы Милнора. Следовательно $\partial ^{n}$ можно рассматривать как карту $K_{n}^{M}(k)$, называемая картой символов Галуа .

Связь между этальными (или Галуа ) когомологиями поля и К-теорией Милнора по модулю 2 — это гипотеза Милнора , доказанная Владимиром Воеводским . Аналогичным утверждением для нечетных простых чисел является гипотеза Блоха-Като , доказанная Воеводским, Ростом и другими.

Высшая К -

Принятые определения высших К -групп были даны Квилленом (1973) спустя несколько лет, в течение которых было предложено несколько несовместимых определений. Целью программы было найти определения K ( R ) и K ( R , I ) в терминах классификации пространств так, чтобы R ⇒ K ( R ) и ( R , I ) ⇒ K ( R , I ) являются функторами в гомотопическую категорию а длинная точная последовательность для относительных K-групп возникает как длинная точная гомотопическая последовательность расслоения K пространств , ( R , я ) → K ( р ) → K ( р / я ).

Квиллен дал две конструкции: «плюс-конструкцию» и « Q -конструкцию», последняя впоследствии по-разному видоизменилась. Обе конструкции дают одни и те же K-группы.

+-конструкция

Одно из возможных определений высшей алгебраической K -теории колец было дано Квилленом.

$K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}),$

Здесь π _n — гомотопическая группа , GL( R ) — прямой предел общих линейных групп над R для размера матрицы, стремящейся к бесконечности, B — конструкция классифицирующего пространства гомотопической теории , а ⁺ Квиллена это конструкция плюс . Первоначально он пришел к этой идее, изучая групповые когомологии $GL_{n}(\mathbb {F} _{q})$ и отметил, что некоторые из его расчетов были связаны с $K_{1}(\mathbb {F} _{q})$.

Это определение справедливо только для n > 0, поэтому высшую алгебраическую K -теорию часто определяют через

$K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}\times K_{0}(R))$

Поскольку БГЛ ( R ) ⁺ является линейно связным и дискретным K ₀ ( R ), это определение не отличается более высокими степенями и справедливо также для n = 0.

Q ​ -конструкция

Основная статья: Q-конструкция

Q - конструкция дает те же результаты, что и +-конструкция, но применяется в более общих ситуациях. Более того, определение является более прямым в том смысле, что K -группы, определенные с помощью Q -конструкции, по определению функториальны. Этот факт не является автоматическим в плюсовой конструкции.

Предполагать $P$ — точная категория ; связанный с $P$ новая категория $QP$ определено, объектами которого являются объекты $P$ а морфизмы из M ′ в M ″ являются классами изоморфизма диаграмм

$M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',$

где первая стрелка — допустимый эпиморфизм , а вторая стрелка — допустимый мономорфизм . Обратите внимание на морфизмы в $QP$ аналогичны определениям морфизмов в категории мотивов , где морфизмы заданы как соответствия $Z\subset X\times Y$ такой, что

$X\leftarrow Z\rightarrow Y$

— это диаграмма, где стрелка слева — это покрывающая карта (следовательно, сюръективная), а стрелка справа — инъективная. Затем эту категорию можно превратить в топологическое пространство, используя конструкцию классифицирующего пространства. $BQP$ который определяется как реализация нерва , геометрическая $QP$. Тогда i-я K -группа точной категории $P$ затем определяется как

$K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)$

с фиксированным нулевым объектом $0$. Обратите внимание на классифицирующее пространство группоида. $B{\mathcal {G}}$ перемещает гомотопические группы на одну степень вверх, отсюда и сдвиг в градусах для $K_{i}$ существование $\pi _{i+1}$ пространства.

Это определение совпадает с приведенным выше определением K ₀ ( P ). Если P — категория конечно порожденных проективных R -модулей , это определение согласуется с приведенным выше BGL. ⁺ определение K _n ( R ) для всех n .В более общем смысле, для схемы X высшие K -группы X определяются как K -группы (точной категории) локально свободных пучков на X. когерентных

Используется также следующий вариант: вместо конечно порожденных проективных (= локально свободных) модулей берутся конечно порожденные модули. Получающиеся K обычно обозначаются Gn ₍ R -группы ). Если R — нётерово регулярное кольцо , то G- и K -теории совпадают. Действительно, глобальная размерность регулярных колец конечна, т.е. любой конечно порожденный модуль имеет конечную проективную резольвенту * _→ M , и простое рассуждение показывает, что каноническое отображение ( _K0 R) → G0 _P (R) является изоморфизмом , с [ M ] = Σ ± [ P _n ]. Этот изоморфизм распространяется и на высшие K -группы.

конструкция S -

Основная статья: Вальдхаузен S-конструкция

Третьей конструкцией групп K -теории является S -конструкция, предложенная Вальдхаузеном . Это относится к категориям с корасслоениями (также называемым категориями Вальдхаузена ). Это более общее понятие, чем точные категории.

Примеры

Хотя алгебраическая K -теория Квиллена дала глубокое понимание различных аспектов алгебраической геометрии и топологии, K -группы оказались особенно трудными для вычисления, за исключением нескольких изолированных, но интересных случаев. (См. также: K-группы поля .)

Алгебраические K -группы конечных полей

Первые и одни из важнейших расчетов высших алгебраических K -групп кольца были произведены самим Квилленом для случая конечных полей :

Если F _q — конечное поле с q элементами, то:

• К ₀ ( F _q ) знак равно Z ,
• K _{2 i} ( F _q ) = 0 для i ≥1,
• K _{2 i –1} ( F _q ) = Z /( q  ^я − 1) Z для i ≥ 1.

Рик Джардин ( 1993 ) опроверг вычисления Квиллена, используя различные методы.

Алгебраические K -группы колец целых чисел

Квиллен доказал, что если A — кольцо целых алгебраических чисел в поле алгебраических чисел F (конечное расширение рациональных чисел), то алгебраические K-группы A конечно порождены. Арман Борель использовал это для расчета K _i ( A ) и K _i ( F ) по модулю кручения. Например, для целых чисел Z Борель доказал, что (по модулю кручения)

• K _i ( Z )/tors.=0 для положительного i, если только i=4k+1 с k положительным
• K _{4 k +1} ( Z )/tors.= Z для положительного k .

периодические подгруппы группы K _{2 i +1} ( Z ) и порядки конечных групп K _{4 k +2} ( Z Недавно были определены ), но являются ли последние группы циклическими и являются ли группы K _{4 k} ( Z ) ) нулю зависит от гипотезы Вандивера о группах классов круговых целых чисел. Более подробную информацию см . в гипотезе Квиллена – Лихтенбаума .

Заявки и открытые вопросы

Алгебраические K -группы используются в гипотезах о специальных значениях L-функций и формулировке некоммутативной основной гипотезы теории Ивасавы , а также при построении высших регуляторов .

Гипотеза Паршина касается высших алгебраических K -групп для гладких многообразий над конечными полями и утверждает, что в этом случае группы исчезают с точностью до кручения.

Другая фундаментальная гипотеза Хаймана Басса ( гипотеза Басса что все группы Gn _{) гласит ,} ( A ) конечно порождены, когда A является конечно порожденной Z -алгеброй. (Группы G _n ( A ) — K -группы категории конечно порожденных A -модулей)

См. также

• Аддитивная К-теория
• Формула Блоха
• Основная теорема алгебраической K -теории
• Основные теоремы алгебраической K -теории
• К -теория
• К -теория категории
• К -группа поля
• K -теории Спектр
• Гипотеза о красном смещении
• Топологическая К -теория
• Жесткость ( К -теория)

Ссылки

• Басс, Хайман (1968), Алгебраическая K -теория , Серия лекций по математике, Нью-Йорк-Амстердам: WA Benjamin, Inc., Zbl   0174.30302
• Фридлендер, Эрик ; Грейсон, Дэниел, ред. (2005), Справочник по K-теории , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-27855-9 , ISBN  978-3-540-30436-4 , МР   2182598
• Фридлендер, Эрик М .; Вейбель, Чарльз В. (1999), Обзор алгебраической K -теории , World Sci. Publ., River Edge, Нью-Джерси, стр. 1–119, MR   1715873.
• Гилле, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006), Центральные простые алгебры и когомологии Галуа , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 101, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-86103-8 , Збл   1137.12001
• Гра, Жорж (2003), Теория полей классов. От теории к практике , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-44133-5 , Збл   1019.11032
• Жардин, Джон Фредерик (1993), «К-теория конечных полей, новый взгляд», K-Theory , 7 (6): 579–595, doi : 10.1007/BF00961219 , MR   1268594
• Лам, Цит-Юэнь (2005), Введение в квадратичные формы над полями , Аспирантура по математике, том. 67, Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1095-8 , МР   2104929 , Збл   1068.11023
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12893-0 , ISBN  978-3-540-66957-9 , МР   1761696 , Збл   0949.11002
• Милнор, Джон Уиллард (1970), «Алгебраическая K -теория и квадратичные формы», Inventiones Mathematicae , 9 (4): 318–344, Bibcode : 1970InMat...9..318M , doi : 10.1007/BF01425486 , ISSN   0020- 9910 , МР   0260844
• Милнор, Джон Уиллард (1971), Введение в алгебраическую K-теорию , Анналы математических исследований, том. 72, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , MR   0349811 , Zbl   0237.18005 (нижние K-группы)
• Куиллен, Дэниел (1973), «Высшая алгебраическая K-теория. I», Алгебраическая K-теория, I: Высшие K-теории (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Сиэтл, Вашингтон, 1972) , конспекты лекций в Математика, том. 341, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 85–147, doi : 10.1007/BFb0067053 , ISBN.  978-3-540-06434-3 , МР   0338129
• Куиллен, Дэниел (1975), «Высшая алгебраическая K-теория», Труды Международного конгресса математиков (Ванкувер, Британская Колумбия, 1974), Vol. 1 , Монреаль, Квебек: Канада. Математика. Конгресс, стр. 171–176, MR   0422392 (Q-конструкция Квиллена)
• Куиллен, Дэниел (1974), «Высшая K-теория для категорий с точными последовательностями», Новые разработки в топологии (Proc. Sympos. Algebraic Topology, Oxford, 1972) , London Math. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 11, Cambridge University Press , стр. 95–103, MR   0335604 (отношение Q-конструкции к плюс-конструкции)
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения , Тексты для аспирантов по математике , том. 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-4314-4 , ISBN.  978-0-387-94248-3 , МР   1282290 , Збл   0801.19001 . Ошибки
• Зайлер, Вольфганг (1988), «λ-кольца и операции Адамса в алгебраической K-теории», в Rapoport, M.; Шнайдер, П.; Шаппахер, Н. (ред.), Гипотезы Бейлинсона об особых значениях L-функций , Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN  978-0-12-581120-0
• Сильвестр, Джон Р. (1981), Введение в алгебраическую K-теорию , Серия математики Чепмена и Холла , Лондон, Нью-Йорк: Чепмен и Холл , ISBN  978-0-412-22700-4 , Збл   0468.18006
• Вайбель, Чарльз (2005), «Алгебраическая K-теория колец целых чисел в локальных и глобальных полях» (PDF) , Справочник по K-теории , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 139–190, doi : 10.1007 /3-540-27855-9_5 , ISBN  978-3-540-23019-9 , МР   2181823 (обзорная статья)
• Вейбель, Чарльз (1999), Развитие алгебраической K-теории до 1980 года , Contemporary Mathematics, vol. 243, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 211–238, doi : 10.1090/conm/243/03695 , MR   1732049.

Дальнейшее чтение

• Луис-Пуэбла, Эмилио; Лоде, Жан-Луи; Жилле, Анри; Суле, Кристоф; Снайт, Виктор (1992), Высшая алгебраическая K-теория: обзор , Конспект лекций по математике, том. 1491, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-55007-5 , Збл   0746.19001
• Магурн, Брюс А. (2009), Алгебраическое введение в K-теорию , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 87 (исправленное издание в мягкой обложке), Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-10658-0
• Сринивас, В. (2008), Алгебраическая K -теория , Modern Birkhäuser Classics (переиздание в мягкой обложке 2-го изд. 1996 г.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser , ISBN  978-0-8176-4736-0 , Збл   1125.19300
• Вейбель, К., К-книга: введение в алгебраическую К-теорию.

ссылки

• Высшая алгебраическая К-теория: обзор
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения , Тексты для аспирантов по математике , том. 147, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-4314-4 , ISBN.  978-0-387-94248-3 , МР   1282290 , Збл   0801.19001 . Ошибки
• Вейбель, Чарльз (2013), K-книга: введение в алгебраическую K-теорию , Аспирантура по математике , том. 145, АМС

Исторические справки

• Атья, Майкл Ф .; Хирцебрух, Фридрих (1961), Векторные расслоения и однородные пространства , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 3, Американское математическое общество , стр. 7–38.
• Барден, Деннис (1964). О структуре и классификации дифференциальных многообразий (Диссертация). Кембриджский университет .
• Басс, Хайман ; Мурти, член парламента (1967). «Группы Гротендика и группы Пикара абелевых групповых колец». Анналы математики . 86 (1): 16–73. дои : 10.2307/1970360 . JSTOR   1970360 .
• Басс, Хайман ; Шануэль, С. (1962). «Гомотопическая теория проективных модулей» . Бюллетень Американского математического общества . 68 (4): 425–428. дои : 10.1090/s0002-9904-1962-10826-x .
• Басс, Хайман (1968). Алгебраическая К -теория . Бенджамин.
• Блох, Спенсер (1974). « К ₂ алгебраических циклов». Анналы математики . 99 (2): 349–379. дои : 10.2307/1970902 . JSTOR   1970902 .
• Бокстедт М. Топологические гомологии Хохшильда . Препринт, Билефельд, 1986.
• Бокстедт М., Сян В.К., Мэдсен И., Круговой след и алгебраическая K -теория пространств . Изобретать. Матем., 111 (3) (1993), 465–539.
• Борель, Арман ; Серр, Жан-Пьер (1958). «Теорема Римана–Роха» . Бюллетень Математического общества Франции . 86 : 97–136. дои : 10.24033/bsmf.1500 .
• Браудер, Уильям (1978), Алгебраическая K -теория с коэффициентами Z / p , Конспект лекций по математике, вып. 657, Springer – Verlag, стр. 40–84.
• Браун, К., Герстен, С., Алгебраическая K -теория как обобщенные пучковые когомологии , Алгебраическая K-теория I, Конспект лекций по математике, т. 1, с. 341, Springer-Verlag, 1973, стр. 266–292.
• Серф, Жан (1970). «Естественная стратификация пространств вещественных дифференцируемых функций и теорема о псевдоизотопии» . Публикации IHÉS по математике . 39 :5–173. дои : 10.1007/BF02684687 .
• Деннис Р.К., Высшая алгебраическая K -теория и гомологии Хохшильда , неопубликованный препринт (1976).
• Герстен, С (1971). «О функторе К ₂ » . Дж. Алгебра . 17 (2): 212–237. дои : 10.1016/0021-8693(71)90030-5 .
• Гротендик, Александр, Classes de fasiceaux et теорема Римана-Роха , мимеографированные записи, Принстон, 1957.
• Хэтчер, Аллен ; Вагонер, Джон (1973), «Псевдоизотопии компактных многообразий», Asterisque , 6 , MR   0353337
• Каруби, Макс (1968). «Производные функторы и K -теория. Категории фильтров». Доклады Академии наук, серия АВ . 267 : А328–А331.
• Каруби, Макс ; Вилламайор, О. (1971). «Алгебраическая К-теория и топологическая К-теория» . Математика. Скан . 28 : 265–307. дои : 10.7146/math.scand.a-11024 .
• Мацумото, Хидэя (1969). «Об ариметических подгруппах развернутых полупростых групп» . Научные анналы Высшей нормальной школы . 2 :1–62. дои : 10.24033/asens.1174 .
• Мазур, Барри (1963). «Дифференциальная топология с точки зрения простой теории гомотопий» (PDF) . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 15 :5–93.
• Милнор, Дж (1970). «Алгебраическая К -теория и квадратичные формы». Изобретать. Математика . 9 (4): 318–344. Бибкод : 1970ИнМат...9..318М . дои : 10.1007/bf01425486 .
• Милнор, Дж., Введение в алгебраическую K -теорию , Princeton Univ. Пресс, 1971.
• Нобиле А., Вилламайор О., Об K алгебраической -теории , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4-я серия, 1 , вып. 3, 1968, 581–616.
• Квиллен, Дэниел, Когомологии групп , Proc. ICM Nice 1970, вып. 2, Готье-Виллар, Париж, 1971, 47–52.
• Куиллен, Дэниел, Высшая алгебраическая K -теория I , Алгебраическая K -теория I, Конспект лекций по математике, том. 341, Springer Verlag, 1973, 85–147.
• Квиллен, Дэниел, Высшая алгебраическая К -теория , Proc. Стажер. Конгресс Математики, Ванкувер, 1974, т. 1, с. Я, Канада. Математика. Сок., 1975, стр. 171–176.
• Сигал, Грэм (1974). «Категории и теории когомологий» . Топология . 13 (3): 293–312. дои : 10.1016/0040-9383(74)90022-6 .
• Зибенманн, Ларри, Препятствие к нахождению границы для открытого многообразия размерности больше пяти , диссертация, Принстонский университет (1965).
• Смейл, С. (1962). «О строении многообразий». амер. Дж. Математика . 84 (3): 387–399. дои : 10.2307/2372978 . JSTOR   2372978 .
• Стейнберг Р. Генераторы, соотношения и покрытия алгебраических групп , Коллок. Теория алгебраических групп, Готье-Виллар, Париж, 1962, стр. 113–127. (Французский)
• Свон, Ричард, Нонабелева гомологическая алгебра и К-теория , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XVII, 1970, стр. 88–123.
• Томасон, Р.В., Алгебраическая K -теория и этальные когомологии , Ann. Научный. Эк. Норм. Как дела. 18 , серия 4е (1985), 437–552; опечатка 22 (1989), 675–677.
• Томасон, Р.В., Принцип расщепления и несуществование глобальной K -теории Милнора , Топология 31 , вып. 3, 1992, 571–588.
• Томасон, Роберт В.; Тробо, Томас (1990), «Высшая алгебраическая K-теория схем и производных категорий», The Grothendieck Festschrift Volume III , Progr. Матем., вып. 88, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 247–435, doi : 10.1007/978-0-8176-4576-2_10 , ISBN.  978-0-8176-3487-2 , МР   1106918
• Вальдхаузен Ф. Алгебраическая K -теория топологических пространств . I , в Алгебраической и геометрической топологии (Proc. Sympos. Pure Math., Стэнфордский университет, Стэнфорд, Калифорния, 1976), часть 1, стр. 35–60, Proc. Симпозиумы. Чистая математика., XXXII, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1978.
• Вальдхаузен Ф., Алгебраическая K -теория пространств , в книге «Алгебраическая и геометрическая топология» (Нью-Брансуик, Нью-Джерси, 1983) , Конспекты лекций по математике, том. 1126 (1985), 318–419.
• Уолл, CTC (1965). «Условия конечности для CW-комплексов». Анналы математики . 81 (1): 56–69. дои : 10.2307/1970382 . JSTOR   1970382 .
• Уайтхед, JHC (1941). «О матрицах инцидентности, ядрах и гомотопических типах». Анналы математики . 42 (5): 1197–1239. дои : 10.2307/1970465 . JSTOR   1970465 .
• Уайтхед, JHC (1950). «Простые гомотопические типы». амер. Дж. Математика . 72 (1): 1–57. дои : 10.2307/2372133 . JSTOR   2372133 .
• Уайтхед, JHC (1939). «Симплициальные пространства, ядра и м-группы». Учеб. Лондонская математика. Соц . 45 : 243–327. дои : 10.1112/plms/s2-45.1.243 .

Внешние ссылки

• Архив препринтов теории К