Лемма Уайтхеда

Лемму об алгебрах Ли см. в лемме Уайтхеда (алгебры Ли) .

Лемма Уайтхеда — технический результат абстрактной алгебры, используемый в алгебраической K-теории . Он утверждает, что матрица вида

${\begin{bmatrix}u&0\\0&u^{-1}\end{bmatrix}}$

эквивалентна единичной матрице посредством элементарных преобразований (т.е. трансвекций):

${\begin{bmatrix}u&0\\0&u^{-1}\end{bmatrix}}=e_{21}(u^{-1})e_{12}(1-u)e_{21}(-1)e_{12}(1-u^{-1}).$

Здесь, $e_{ij}(s)$ указывает на матрицу, диагональный блок которой равен $1$ и $ij$-я запись $s$.

Название «лемма Уайтхеда» также относится к тесно связанному результату о том, что производная группа стабильной общей линейной группы является группой, порожденной элементарными матрицами . В символах,

$\operatorname {E} (A)=[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]$.

Это справедливо для стабильной группы ( прямой предел матриц конечного размера) над любым кольцом , но не вообще для нестабильных групп, даже над полем . Например, для

$\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

у одного есть:

$\operatorname {Alt} (3)\cong [\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ),\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )]<\operatorname {E} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )=\operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Sym} (3),$

где Alt(3) и Sym(3) обозначают чередующиеся соответственно. симметричная группа из 3 букв.

См. также

• Специальная линейная группа#Отношения с другими подгруппами GL( n , A )