Подгруппа коммутатора

В математике , точнее в абстрактной алгебре , подгруппа коммутатора или производная подгруппа группы порожденная — это подгруппа, всеми коммутаторами группы . ^[1]^[2]

Коммутантная подгруппа важна, потому что это наименьшая нормальная подгруппа , фактор-группа исходной группы по этой подгруппе абелева . Другими словами, $G/N$ абелева тогда и только тогда, когда $N$ содержит коммутатор подгруппы $G$ . Таким образом, в некотором смысле это дает меру того, насколько далека группа от абелевой; чем больше подгруппа коммутатора, тем «менее абелева» группа.

Коммутаторы

Для элементов $g$ и $h$ группы G коммутатор $g$ и $h$ является $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ . Коммутатор $[g,h]$ равен единичному элементу e тогда и только тогда, когда $gh=hg$ , то есть тогда и только тогда, когда $g$ и $h$ добираться. В общем, $gh=hg[g,h]$ .

Однако обозначения несколько произвольны, и существует неэквивалентный вариант определения коммутатора, который имеет обратные значения в правой части уравнения: $[g,h]=ghg^{-1}h^{-1}$ в этом случае $gh\neq hg[g,h]$ но вместо этого $gh=[g,h]hg$ .

Элемент G вида $[g,h]$ для некоторых g и h называется коммутатором. Единичный элемент e = [ e , e ] всегда является коммутатором, и это единственный коммутатор тогда и только тогда, когда G абелева.

Вот несколько простых, но полезных коммутаторных тождеств, верных для любых элементов s , g , h группы G :

$[g,h]^{-1}=[h,g],$
$[g,h]^{s}=[g^{s},h^{s}],$ где $g^{s}=s^{-1}gs$ (или, соответственно, $g^{s}=sgs^{-1}$ ) сопряженным является $g$ к $s,$
для любого гомоморфизма $f:G\to H$ , $f([g,h])=[f(g),f(h)].$

Первое и второе тождества означают, что множество коммутаторов в G замкнуто относительно обращения и сопряжения. Если в третьем тождестве мы возьмем H = G что множество коммутаторов стабильно относительно любого эндоморфизма G. , то получим , Фактически это обобщение второго тождества, поскольку мы можем взять f как автоморфизм сопряжения на G , $x\mapsto x^{s}$ , чтобы получить вторую личность.

Однако произведение двух или более коммутаторов не обязательно должно быть коммутатором. Общий пример: [ a , b ][ c , d ] в свободной группе на a , b , c , d . Известно, что наименьший порядок конечной группы, для которой существуют два коммутатора, произведение которых не является коммутатором, равен 96; на самом деле существуют две неизоморфные группы порядка 96, обладающие этим свойством. ^[3]

Определение

Это мотивирует определение подгруппы коммутатора $[G,G]$ (также называемая производной подгруппой и обозначаемая $G'$ или $G^{(1)}$ ) группы G : это подгруппа , порожденная всеми коммутаторами.

Из этого определения следует, что любой элемент $[G,G]$ имеет форму

[g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}]

для некоторого натурального числа $n$ , где g _i и h _i являются элементами G . Более того, поскольку $([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])^{s}=[g_{1}^{s},h_{1}^{s}]\cdots [g_{n}^{s},h_{n}^{s}]$ , подгруппа коммутатора нормальна в G . Для любого гомоморфизма f : G → H ,

f([g_{1},h_{1}]\cdots [g_{n},h_{n}])=[f(g_{1}),f(h_{1})]\cdots [f(g_{n}),f(h_{n})]

,

так что $f([G,G])\subseteq [H,H]$ .

Это показывает, что подгруппу коммутатора можно рассматривать как функтор категории групп , некоторые последствия которого рассматриваются ниже. Более того, если G = H, это показывает, что подгруппа-коммутант стабильна относительно любого эндоморфизма G : то есть [ G , G ] является вполне характеристической подгруппой G , а это свойство значительно сильнее, чем нормальность.

Подгруппу-коммутатор также можно определить как набор элементов g группы, которые имеют выражение в виде произведения g = g ₁ g ₂ ... g _k , которое можно переставить, чтобы получить идентичность.

Производная серия

Эту конструкцию можно повторить:

G^{(0)}:=G

G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N}

Группы $G^{(2)},G^{(3)},\ldots$ называются второй производной подгруппой , третьей производной подгруппой и т. д., а также нисходящим нормальным рядом.

\cdots \triangleleft G^{(2)}\triangleleft G^{(1)}\triangleleft G^{(0)}=G

называется производным рядом . Его не следует путать с нижним центральным рядом , члены которого $G_{n}:=[G_{n-1},G]$ .

Для конечной группы полученный ряд заканчивается идеальной группой , которая может быть или не быть тривиальной. Для бесконечной группы производный ряд не обязательно заканчивается на конечном этапе, и его можно продолжить до бесконечных порядковых номеров посредством трансфинитной рекурсии , тем самым получая трансфинитный производный ряд , который в конечном итоге заканчивается в идеальном ядре группы.

Абелианизация

Учитывая группу $G$ , факторгруппа $G/N$ абелева тогда и только тогда, когда $[G,G]\subseteq N$ .

Частное $G/[G,G]$ является абелевой группой, абелианизацией называемой $G$ или $G$ сделал абелевым . ^[4] Обычно его обозначают $G^{\operatorname {ab} }$ или $G_{\operatorname {ab} }$ .

Есть полезная категоричная интерпретация карты. $\varphi :G\rightarrow G^{\operatorname {ab} }$ . А именно $\varphi$ универсален для гомоморфизмов из $G$ в абелеву группу $H$ : для любой абелевой группы $H$ и гомоморфизм групп $f:G\to H$ существует единственный гомоморфизм $F:G^{\operatorname {ab} }\to H$ такой, что $f=F\circ \varphi$ . Как обычно для объектов, определяемых универсальными свойствами отображения, это показывает единственность абелианизации. $G^{\operatorname {ab} }$ с точностью до канонического изоморфизма, тогда как явная конструкция $G\to G/[G,G]$ показывает существование.

Функтор абелианизации является левым сопряженным функтору включения из категории абелевых групп в категорию групп. Существование функтора абелианизации Grp → Ab делает категорию Ab категории отражающей подкатегорией групп, определяемой как полная подкатегория, функтор включения которой имеет левый сопряженный.

Еще одна важная интерпретация $G^{\operatorname {ab} }$ это как $H_{1}(G,\mathbb {Z} )$ , первая группа гомологий $G$ с целыми коэффициентами.

Классы групп

Группа $G$ является абелевой группой тогда и только тогда, когда производная группа тривиальна: [ G , G ] = { e }. Эквивалентно, тогда и только тогда, когда группа равна своей абелианизации. См. выше определение абелианизации группы.

Группа $G$ является совершенной группой тогда и только тогда, когда производная группа равна самой группе: [ G , G ] = G . Эквивалентно, если и только если абелианизация группы тривиальна. Это «противоположно» абелеву.

Группа с $G^{(n)}=\{e\}$ для некоторого n из N называется разрешимой группой ; это слабее, чем абелева ситуация, когда n = 1.

Группа с $G^{(n)}\neq \{e\}$ для всех n из N называется неразрешимой группой .

Группа с $G^{(\alpha )}=\{e\}$ для некоторого порядкового числа , возможно, бесконечного, называется гипоабелевой группой ; это слабее, чем разрешимое, то есть в случае, когда α конечно (натуральное число).

Идеальная группа

Всякий раз, когда группа $G$ получила производную подгруппу, равную самой себе, $G^{(1)}=G$ , она называется идеальной группой . Сюда входят неабелевы простые группы и специальные линейные группы. $\operatorname {SL} _{n}(k)$ для фиксированного поля $k$ .

Примеры

Коммутант любой группы тривиален . абелевой
Коммутант полной линейной группы $\operatorname {GL} _{n}(k)$ над полем или телом k равна специальной линейной группе $\operatorname {SL} _{n}(k)$ при условии, что $n\neq 2$ или k не является полем с двумя элементами . ^[5]
Коммутантом знакопеременной группы А4 _{является} Клейна четверная группа .
Коммутантной подгруппой группы Sn _{является} знакопеременная группа An _{симметрической} .
Коммутатор группы кватернионов Q = {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k } равен [ Q , Q ] = {1, −1}.

Карта из Out

Поскольку производная подгруппа характеристична , любой автоморфизм группы G индуцирует автоморфизм абелианизации. Поскольку абелианизация абелева, внутренние автоморфизмы действуют тривиально, следовательно, это дает отображение

\operatorname {Out} (G)\to \operatorname {Aut} (G^{\mbox{ab}})

См. также

Разрешимая группа
Нильпотентная группа
Абелианизация H / H ' подгруппы H < G конечного индекса ( G : H ) является целью переноса Артина T ( G , H ).

Примечания

^ Даммит и Фут (2004)
^ Ланг (2002)
^ Суарес-Альварес
^ Фрэли (1976 , стр. 108)
^ Супруненко Д.А. (1976), Группы матриц , Переводы математических монографий, Американское математическое общество , Теорема II.9.4

Ссылки

Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-43334-9
Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , Springer , ISBN 0-387-95385-Х
Суарес-Альварес, Мариано. «Производные подгруппы и коммутаторы» .

Внешние ссылки

«Подгруппа коммутаторов» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Даммит и Фут (2004)

[2] Ланг (2002)

[3] Суарес-Альварес

[4] Фрэли (1976 , стр. 108)

[5] Супруненко Д.А. (1976), Группы матриц , Переводы математических монографий, Американское математическое общество , Теорема II.9.4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]