Кляйна четыре группы

В математике четырехгруппа Клейна — это абелева группа из четырех элементов, в которой каждый элемент самоинверсен (составление его с самим собой дает тождество) и в которой составление любых двух из трех неединичных элементов дает третий. . Его можно описать как группу симметрии неквадратного прямоугольника (три неидентичных элемента — горизонтальное отражение , вертикальное отражение и вращение на 180 градусов ), как группу поразрядных операций исключающего или над двухбитовыми двоичными значениями. или, более абстрактно, как $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ , прямое произведение двух копий циклической группы порядка 2 по Основной теореме о конечно порожденных абелевых группах . Он получил название Vierergruppe ( Немецкий: [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə] ^ⓘ), что означает четыре группы) Феликса Кляйна в 1884 году. ^[1] Ее еще называют группой Клейна и часто обозначают буквой $V$ или как $K_{4}$ .

Четырехгруппа Клейна с четырьмя элементами — наименьшая группа нециклическая . С точностью до изоморфизма существует только одна группа четвертого порядка: циклическая группа четвертого порядка. Обе группы абелевы.

Презентации

группы Кляйна Таблица Кэли представлена:

*	и	а	б	с
и	и	а	б	с
а	а	и	с	б
б	б	с	и	а
с	с	б	а	и

Четырехгруппа Клейна также определяется представлением группы

V=\left\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\right\rangle .

Все неединичные элементы группы Клейна имеют порядок 2, поэтому в приведенном выше представлении генераторами могут служить любые два неединичных элемента. Четырехгруппа Клейна — наименьшая нециклическая группа . Однако это абелева группа и изоморфна группе диэдра порядка (мощности) 4, символизируемой $D_{4}$ (или $D_{2}$ , используя геометрическое соглашение); кроме группы порядка 2, это единственная группа диэдра, которая является абелевой.

Четырехгруппа Клейна также изоморфна прямой сумме $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ , так что его можно представить в виде пар {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} при покомпонентном сложении по модулю 2 (или, что то же самое, битовых строк {00 , 01, 10, 11} при побитовом исключающем ИЛИ ), где (0,0) является идентификационным элементом группы. Таким образом, четырехгруппа Клейна является примером элементарной абелевой 2-группы , которую также называют булевой группой . Таким образом, четырехгруппа Клейна также является группой, порожденной симметричной разностью как бинарной операцией над подмножествами степенного набора из двух элементов, то есть над полем множеств с четырьмя элементами, например $\{\emptyset ,\{\alpha \},\{\beta \},\{\alpha ,\beta \}\}$ ; в этом случае пустой набор является идентификационным элементом группы.

Другая численная конструкция четырехгруппы Клейна — это набор {1, 3, 5, 7} с операцией умножения по модулю 8 . Здесь a равно 3, b равно 5, а c = ab равно 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .

Четырехгруппа Клейна также имеет представление в виде вещественных матриц размера 2 × 2 с операцией умножения матриц:

e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad

b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

На кубике Рубика узор «4 точки» можно сделать тремя способами, в зависимости от пары граней, которые остались пустыми; эти три позиции вместе с решенной позицией образуют пример группы Клейна, где решенная позиция служит тождеством.

Геометрия

V — группа симметрии этого креста: переворачивание его по горизонтали ( a ), по вертикали ( b ) или по обоим направлениям ( ab ) оставляет его неизменным. Четверть оборота меняет ситуацию.

В двух измерениях группа четырех Клейна представляет собой группу симметрии ромба , причем и прямоугольников , не являющихся квадратами четыре элемента представляют собой идентичность, вертикальное отражение, горизонтальное отражение и поворот на 180 °.

В трех измерениях существуют три различные группы симметрии, которые алгебраически являются четырехгруппой Клейна:

один с тремя перпендикулярными осями 2-кратного вращения: группа диэдра $D_{2}$
один с двойной осью вращения и перпендикулярной плоскостью отражения: $C_{2\mathrm {h} }=D_{1\mathrm {d} }$
один с осью вращения 2-го порядка в плоскости отражения (и, следовательно, также в перпендикулярной плоскости отражения): $C_{2\mathrm {v} }=D_{1\mathrm {h} }$ .

Представление перестановок

Три элемента второго порядка в четырехгруппе Клейна взаимозаменяемы: группа автоморфизмов V , таким образом, является группой перестановок этих трех элементов, то есть симметрической группой $S_{3}$ .

Перестановки собственных элементов четырехгруппы Клейна можно абстрактно рассматривать как ее представление перестановок в четырех точках:

V={}

{(), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

В этом представлении $V$ является нормальной подгруппой группы знакопеременной $A_{4}$ (а также симметрическая группа $S_{4}$ ) на четыре буквы. Фактически это ядро сюръективного группового гомоморфизма из $S_{4}$ к $S_{3}$ .

Другими представлениями в S ₄ являются:

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4) }

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4) }

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3) }

Они не являются нормальными подгруппами S ₄ .

Алгебра

Согласно теории Галуа , существование четырёхгруппы Клейна (и, в частности, её перестановочного представления) объясняет существование формулы для вычисления корней уравнений четвертой степени в терминах радикалов , установленной Лодовико Феррари : отображение $S_{4}\to S_{3}$ соответствует резольвентной кубике в терминах резольвенты Лагранжа .

При построении конечных колец восемь из одиннадцати колец с четырьмя элементами имеют в качестве аддитивной подструктуры четырехгруппу Клейна.

Если $\mathbb {R} ^{\times }$ обозначает мультипликативную группу ненулевых действительных чисел и $\mathbb {R} ^{+}$ мультипликативная группа положительных вещественных чисел , то $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }$ это группа единиц кольца $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ , и $\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+}$ является подгруппой $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }$ (фактически это личности составляющая $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }$ ). Факторгруппа $(\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times })/(\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+})$ изоморфна четверной группе Клейна. Аналогичным образом группа единиц расщепленного комплексного числового кольца , разделенная на ее единичный компонент, также приводит к четырехгруппе Клейна.

Теория графов

Среди простых связных графов самым простым (в смысле наличия наименьшего количества сущностей), который допускает четырехгруппу Клейна в качестве группы автоморфизмов, является ромбовидный граф, показанный ниже. Это также группа автоморфизмов некоторых других графов, которые проще в том смысле, что в них меньше сущностей. К ним относятся граф с четырьмя вершинами и одним ребром, который остается простым, но теряет связность, и граф с двумя вершинами, соединенными друг с другом двумя ребрами, который остается связным, но теряет простоту.

Музыка

В музыкальной композиции четверка — основная группа перестановок в двенадцатитоновой технике . В этом случае таблица Кэли записывается ^[2]

С	я	Р	РИ
я	С	РИ	Р
Р	РИ	С	я
РИ	Р	я	С

См. также

Ссылки

^ Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени
^ Бэббит, Милтон . (1960) «Двенадцатитоновые инварианты как композиционные детерминанты», Musical Quarterly 46 (2): 253 Специальный выпуск: Проблемы современной музыки: Принстонский семинар по передовым музыкальным исследованиям (апрель): 246–59, Oxford University Press

Дальнейшее чтение

М. А. Армстронг (1988) Группы и симметрия , Springer Verlag , стр. 53 .
У. Э. Барнс (1963) Введение в абстрактную алгебру , DC Heath & Co., стр. 20.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Группа четырех» . Математический мир .

[1] Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени

[2] Бэббит, Милтон . (1960) «Двенадцатитоновые инварианты как композиционные детерминанты», Musical Quarterly 46 (2): 253 Специальный выпуск: Проблемы современной музыки: Принстонский семинар по передовым музыкальным исследованиям (апрель): 246–59, Oxford University Press

[1]

[2]