Список малых групп

Следующий список по математике содержит конечные группы малого порядка с точностью до группового изоморфизма .

Считает

Для n = 1, 2,... число неизоморфных групп порядка n равно

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 2, 1, 5, 1, 2, 1, 14, 1, 5, 1, 5, ... (последовательность A000001 в OEIS )

Для помеченных групп см. OEIS : A034383 .

Глоссарий

Каждая группа названа библиотекой малых групп как G _o ^я , где o — порядок группы, а i — индекс, используемый для обозначения группы в этом порядке.

Общие названия групп:

• Z _n : циклическая группа порядка n (также используется обозначение C _n ; она изоморфна группе аддитивной Z / n Z )
• Dih _n : группа диэдра порядка 2 n обозначение D _n или D _{2 n} (часто используется )
  • K ₄ : группа четырех Клейна порядка 4, такая же, как Z ₂ × Z ₂ и Dih _2.
• D _{2 n} : группа диэдра порядка 2 n , такая же, как Dih _n (обозначения, используемые в разделе Список малых неабелевых групп )
• Sn _n : группа степени n , содержащая ! симметрическая перестановки n ​ элементов
• An _n : переменная группа степени n , содержащая четные перестановки n элементов порядка 1 для = 0, 1 и порядка n !/2 в противном случае.
• Dic _n или Q _{4 n} : дициклическая группа порядка 4 n
  • Q ₈ : группа кватернионов 8-го порядка, также Dic _2.

Обозначения Z _n и Dih _n имеют то преимущество, что группы точек в трех измерениях C _n и D _n не имеют одинаковых обозначений. Существует больше групп изометрии , чем эти две, одного и того же типа абстрактной группы.

Обозначение G × H обозначает прямое произведение двух групп; Г ^н обозначает прямое произведение группы на саму себя n раз. G ⋊ H обозначает полупрямое произведение , где H действует на G ; также может зависеть от выбора действия H на G. это

абелевы и простые группы Отмечаются . (Для групп порядка n < 60 простые группы — это в точности циклические группы Z _n для простых n .) Знак равенства («=") обозначает изоморфизм.

Единичный элемент на графиках циклов обозначен черным кружком. Самый низкий порядок, для которого граф циклов не представляет группу однозначно, — это порядок 16.

В списках подгрупп тривиальная группа и сама группа не указаны. При наличии нескольких изоморфных подгрупп число таких подгрупп указывается в скобках.

Угловые скобки <отношения> показывают представление группы .

Список малых абелевых групп

Конечные абелевы группы являются либо циклическими группами, либо их прямыми произведениями; см. абелеву группу . Числа неизоморфных абелевых групп порядков n = 1, 2, ... равны

1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, 1, 2, 1, 2, ... (последовательность A000688 в OEIS )

Для помеченных абелевых групп см. OEIS : A034382 .

Список всех абелевых групп до 31 порядка

Заказ	Идентификатор.	Идти ​ я	Группа	Нетривиальные собственные подгруппы	Цикл график	Характеристики
1	1	Г 1 1	Z1 = S1 = A2	–		Тривиально . Циклический. Чередование. Симметричный. Элементарно .
2	2	Г 2 1	Z2 = S2 = D2	–		Простой. Симметричный. Циклический. Элементарно. (Наименьшая нетривиальная группа.)
3	3	Г 3 1	Z3 = А3	–		Простой. Чередование. Циклический. Элементарно.
4	4	Г 4 1	Z 4 = Дик 1	З 2		Циклический.
	5	Г 4 2	З 2 2 = К 4 = Д 4	З 2 (3)		Элементарно. Продукт . ( Четверная группа Клейна . Наименьшая нециклическая группа.)
5	6	Г 5 1	ZZ5	–		Простой. Циклический. Элементарно.
6	8	Г 6 2	Z 6 = Z 3 × Z 2	З 3 , З 2		Циклический. Продукт.
7	9	G 7 1	З 7	–		Простой. Циклический. Элементарно.
8	10	Г 8 1	З 8	З 4 , З 2		Циклический.
	11	Г 8 2	З 4 × З 2	З 2 2 , З 4 (2), З 2 (3)		Продукт.
	14	Г 8 5	З 2 3	З 2 2 (7), З 2 (7)		Продукт. Элементарно. (Неединичные элементы соответствуют точкам плоскости Фано , подгруппы Z 2 × Z 2 — прямым.)
9	15	GG9 1	З 9	З 3		Циклический.
	16	GG9 2	З 3 2	З 3 (4)		Элементарно. Продукт.
10	18	Г 10 2	Z 10 = Z 5 × Z 2	З 5 , З 2		Циклический. Продукт.
11	19	Г 11 1	З 11	–		Простой. Циклический. Элементарно.
12	21	Г 12 2	Z 12 = Z 4 × Z 3	Я 6 , Я 4 , Я 3 , Я 2		Циклический. Продукт.
	24	Г 12 5	Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2	Я 6 (3), Я 3 , Я 2 (3), Я 2 2		Продукт.
13	25	Г 13 1	З 13	–		Простой. Циклический. Элементарно.
14	27	Г 14 2	Z 14 = Z 7 × Z 2	З 7 , З 2		Циклический. Продукт.
15	28	Г 15 1	Z 15 = Z 5 × Z 3	З 5 , З 3		Циклический. Продукт.
16	29	Г 16 1	З 16	Я 8 , Я 4 , Я 2		Циклический.
	30	Г 16 2	З 4 2	Я 2 (3), Я 4 (6), Я 2 2 , З 4 × З 2 (3)		Продукт.
	33	Г 16 5	З 8 × З 2	Я 2 (3), Я 4 (2), Я 2 2 , Z 8 (2), Z 4 × Z 2		Продукт.
	38	Г 16 10	З 4 × З 2 2	Я 2 (7), Я 4 (4), Я 2 2 (7), З 2 3 , З 4 × З 2 (6)		Продукт.
	42	Г 16 14	З 2 4 = К 4 2	З 2 (15), З 2 2 (35), З 2 3 (15)		Продукт. Элементарно.
17	43	Г 17 1	З 17	–		Простой. Циклический. Элементарно.
18	45	Г 18 2	Z 18 = Z 9 × Z 2	Я 9 , Я 6 , Я 3 , Я 2		Циклический. Продукт.
	48	Г 18 5	Z 6 × Z 3 = Z 3 2 × З 2	З 2 , З 3 (4), З 6 (4), З 3 2		Продукт.
19	49	Г 19 1	С 19	–		Простой. Циклический. Элементарно.
20	51	GG20 2	Z 20 = Z 5 × Z 4	Я 10 , Я 5 , Я 4 , Я 2		Циклический. Продукт.
	54	GG20 5	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2	З 2 (3), К 4 , З 5 , З 10 (3)		Продукт.
21	56	Г 21 2	Z 21 = Z 7 × Z 3	З7 , З3		Циклический. Продукт.
22	58	Г 22 2	Z 22 = Z 11 × Z 2	З 11 , З 2		Циклический. Продукт.
23	59	Г 23 1	З 23	–		Простой. Циклический. Элементарно.
24	61	Г 24 2	Z 24 = Z 8 × Z 3	Я 12 , Я 8 , Я 6 , Я 4 , Я 3 , Я 2		Циклический. Продукт.
	68	Г 24 9	Z 12 × Z 2 = Z 6 × Z 4 = З 4 × З 3 × З 2	Я 12 , Я 6 , Я 4 , Я 3 , Я 2		Продукт.
	74	Г 24 15	З 6 × З 2 2 = Z 3 × Z 2 3	Я 6 , Я 3 , Я 2		Продукт.
25	75	Г 25 1	З 25	ZZ5		Циклический.
	76	Г 25 2	ZZ5 2	ZZ5		Продукт. Элементарно.
26	78	Г 26 2	Z 26 = Z 13 × Z 2	З 13 , З 2		Циклический. Продукт.
27	79	Г 27 1	З 27	Z9 , Z3		Циклический.
	80	Г 27 2	З 9 × З 3	Z9 , Z3		Продукт.
	83	Г 27 5	З 3 3	З 3		Продукт. Элементарно.
28	85	Г 28 2	Z 28 = Z 7 × Z 4	Я 14 , Я 7 , Я 4 , Я 2		Циклический. Продукт.
	87	Г 28 4	Z 14 × Z 2 = Z 7 × Z 2 2	Я 14 , Я 7 , Я 4 , Я 2		Продукт.
29	88	Г 29 1	З 29	–		Простой. Циклический. Элементарно.
30	92	Г 30 4	Z 30 = Z 15 × Z 2 = Z 10 × Z 3 = Z 6 × Z 5 = Z 5 × Z 3 × Z 2	Я 15 , Я 10 , Я 6 , Я 5 , Я 3 , Я 2		Циклический. Продукт.
31	93	Г 31 1	З 31	–		Простой. Циклический. Элементарно.

Список малых неабелевых групп

Числа неабелевых групп по порядку подсчитываются (последовательность A060689 в OEIS ). Однако во многих порядках неабелевы группы отсутствуют. Порядки, для которых существует неабелева группа:

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 46, 48, 50, ... (последовательность A060652 в OEIS )

Список всех неабелевых групп до 31 порядка.

Заказ	Идентификатор.	Идти ​ я	Группа	Нетривиальные собственные подгруппы	Цикл график	Характеристики
6	7	Г 6 1	D6 = S3 = Z3 ⋊ Z2	З 3 , З 2 (3)		Группа диэдра , Dih 3 , наименьшая неабелева группа, симметрическая группа, наименьшая группа Фробениуса .
8	12	Г 8 3	Д 8	З 4 , З 2 2 (2), З 2 (5)		Группа диэдра, Dih 4 . Экстраспециальная группа . Нильпотент .
	13	Г 8 4	QQ8	З 4 (3), З 2		Группа кватернионов , гамильтонова группа (все подгруппы нормальны, но группа не абелева). Наименьшая группа G, что для нормальной подгруппы H факторгруппа показывающая , G / H не обязательно должна быть изоморфна подгруппе G . Экстраспециальная группа . Дик 2 , Бинарная группа диэдра <2,2,2>. Нильпотент.
10	17	Г 10 1	Д 10	З 5 , З 2 (5)		Группа диэдра, Dih 5 , группа Фробениуса.
12	20	Г 12 1	Q 12 = Z 3 ⋊ Z 4	З 2 , З 3 , З 4 (3), З 6		Дициклическая группа Dic 3 , Бинарная группа диэдра, <3,2,2>
	22	Г 12 3	А 4 знак равно К 4 ⋊ Z 3 знак равно (Z 2 × Z 2 ) ⋊ Z 3	З 2 2 , З 3 (4), З 2 (3)		Альтернативная группа . Нет подгрупп 6-го порядка, хотя 6 делит его порядок. Наименьшая группа Фробениуса, не являющаяся группой диэдра. Киральная тетраэдрическая симметрия (T)
	23	Г 12 4	Д 12 = Д 6 × Z 2	З 6 , Д 6 (2), З 2 2 (3), З 3 , З 2 (7)		Группа диэдра, Dih 6 , произведение.
14	26	Г 14 1	Д 14	З 7 , З 2 (7)		Группа диэдра, Dih 7 , группа Фробениуса
16	31	Г 16 3	Г 4,4 = К 4 ⋊ Z 4	З 2 3 , Z 4 × Z 2 (2), Z 4 (4), Z 2 2 (7), З 2 (7)		Имеет такое же количество элементов каждого порядка, как и группа Паули. Нильпотент.
	32	Г 16 4	Я 4 ⋊ Я 4	З 2 2 × З 2 (3), З 4 (6), З 2 2 , З 2 (3)		Квадраты элементов не образуют подгруппу. Имеет то же количество элементов каждого порядка, что и Q 8 × Z 2 . Нильпотент.
	34	Г 16 6	З 8 ⋊ З 2	З 8 (2), З 2 2 × Z 2 , Z 4 (2), Z 2 2 , З 2 (3)		Иногда ее называют модулярной группой 16-го порядка, хотя это вводит в заблуждение, поскольку абелевы группы и Q 8 × Z 2 также являются модулярными. Нильпотент.
	35	Г 16 7	D 16	З 8 , Д 8 (2), З 2 2 (4), З 4 , З 2 (9)		Группа диэдра, Dih 8 . Нильпотент.
	36	Г 16 8	кварталов 16	Я 8 , Д 8 , Д 8 , Я 4 (3), Я 2 2 (2), З 2 (5)		порядка 16 Группа квазидиэдра . Нильпотент.
	37	Г 16 9	Вопрос 16	Я 8 , Я 8 (2), Я 4 (5), Я 2		Обобщенная группа кватернионов , Дициклическая группа Dic 4 , Бинарная группа диэдра, <4,2,2>. Нильпотент.
	39	Г 16 11	Д 8 × З 2	Д 8 (4), З 4 × З 2 , З 2 3 (2), З 2 2 (13), З 4 (2), З 2 (11)		Продукт. Нильпотент.
	40	Г 16 12	Q8 × Z2	Вопрос 8 (4), З 2 2 × З 2 (3), З 4 (6), З 2 2 , З 2 (3)		Гамильтонова группа , произведение. Нильпотент.
	41	Г 16 13	(Z 4 × Z 2 ) ⋊ Z 2	К 8 , Д 8 (3), З 4 × З 2 (3), З 4 (4), З 2 2 (3), З 2 (7)		Группа Паули, порожденная матрицами Паули . Нильпотент.
18	44	Г 18 1	Д 18	З 9 , Д 6 (3), З 3 , З 2 (9)		Группа диэдра, Dih 9 , группа Фробениуса.
	46	Г 18 3	Z 3 ⋊ Z 6 знак равно D 6 × Z 3 = S 3 × Z 3	З 3 2 , Д 6 , З 6 (3), З 3 (4), З 2 (3)		Продукт.
	47	Г 18 4	(Z 3 × Z 3 ) ⋊ Z 2	З 3 2 , Д 6 (12), З 3 (4), З 2 (9)		Группа Фробениуса.
20	50	GG20 1	Вопрос 20	З 10 , З 5 , З 4 (5), З 2		Дициклическая группа Dic 5 , Бинарная группа диэдра, <5,2,2>.
	52	GG20 3	Я 5 ⋊ Я 4	Д 10 , Я 5 , Я 4 (5), Я 2 (5)		Группа Фробениуса.
	53	GG20 4	Д 20 = Д 10 × З 2	З 10 , Д 10 (2), З 5 , З 2 2 (5), З 2 (11)		Группа диэдра, Dih 10 , произведение.
21	55	Г 21 1	Я 7 ⋊ Я 3	З 7 , З 3 (7)		Наименьшая неабелева группа нечетного порядка. Группа Фробениуса.
22	57	Г 22 1	Д 22	З 11 , З 2 (11)		Группа диэдра Dih 11 , группа Фробениуса.
24	60	Г 24 1	Я 3 ⋊ Я 8	Я 12 , Я 8 (3 ), Я 6 , Я 4 , Я 3 , Я 2		Центральное расширение S 3 .
	62	Г 24 3	СЛ (2,3) = Q 8 ⋊ Z 3	Q 8 , Z 6 (4), Z 4 (3), Z 3 (4), Z 2		Бинарная тетраэдрическая группа , 2T = <3,3,2>.
	63	Г 24 4	Q24 = Z3 ⋊ Q8	Z 12 , Q 12 (2), Q 8 (3), Z 6 , Z 4 (7), Z 3 , Z 2		Дициклическая группа Dic 6 , Бинарный диэдр, <6,2,2>.
	64	Г 24 5	Д 6 × Z 4 = S 3 × Z 4	Z 12 , D 12 , Q 12 , Z 4 × Z 2 (3), Z 6 , D 6 (2), Z 4 (4), Z 2 2 (3), З 3 , З 2 (7)		Продукт.
	65	Г 24 6	Д 24	З 12 , Д 12 (2), Д 8 (3), З 6 , Д 6 (4), З 4 , З 2 2 (6), З 3 , З 2 (13)		Группа диэдра, Dih 12 .
	66	Г 24 7	Q 12 × Z 2 знак равно Z 2 × ( Z 3 ⋊ Z 4 )	Z 6 × Z 2 , Q 12 (2), Z 4 × Z 2 (3), Z 6 (3), Z 4 (6), Z 2 2 , З 3 , З 2 (3)		Продукт.
	67	Г 24 8	(Z 6 × Z 2 ) ⋊ Z 2 знак равно Z 3 ⋊ Dih 4	Z 6 × Z 2 , D 12 , Q 12 , D 8 (3), Z 6 (3), D 6 (2), Z 4 (3), Z 2 2 (4), З 3 , З 2 (9)		Двойное покрытие группы диэдра.
	69	Г 24 10	Д 8 × З 3	Z 12 , Z 6 × Z 2 (2), D 8 , Z 6 (5), Z 4 , Z 2 2 (2), З 3 , З 2 (5)		Продукт. Нильпотент.
	70	Г 24 11	Q8 × Z3	Z 12 (3), Q 8 , Z 6 , Z 4 (3), Z 3 , Z 2		Продукт. Нильпотент.
	71	Г 24 12	С 4	А 4 , Д 8 (3), Д 6 (4), З 4 (3), З 2 2 (4), З 3 (4), З 2 (9)		Симметричная группа. Не имеет нормальных силовских подгрупп . Хиральная октаэдрическая симметрия (O), ахиральная тетраэдрическая симметрия (T d )
	72	Г 24 13	А 4 × З 2	А 4 , З 2 3 , З 6 (4), З 2 2 (7), З 3 (4), З 2 (7)		Продукт. Пиритоэдрическая симметрия (T h )
	73	Г 24 14	Д 12 × З 2	З 6 × З 2 , Д 12 (6), З 2 3 (3), З 6 (3), Д 6 (4), З 2 2 (19), З 3 , З 2 (15)		Продукт.
26	77	Г 26 1	Д 26	З 13 , З 2 (13)		Группа диэдра, Dih 13 , группа Фробениуса.
27	81	Г 27 3	З 3 2 ⋊ Я 3	З 3 2 (4), З 3 (13)		Все нетривиальные элементы имеют порядок 3. Экстраспециальная группа . Нильпотент.
	82	Г 27 4	Я 9 ⋊ Я 3	З 9 (3), З 3 2 , З 3 (4)		Экстраспециальная группа . Нильпотент.
28	84	Г 28 1	Я 7 ⋊ Я 4	Я 14 , Я 7 , Я 4 (7), Я 2		Дициклическая группа Dic 7 , Бинарная группа диэдра, <7,2,2>.
	86	Г 28 3	Д 28 = Д 14 × З 2	З 14 , Д 14 (2), З 7 , З 2 2 (7), З 2 (9)		Группа диэдра, Dih 14 , произведение.
30	89	Г 30 1	Д 6 × З 5	Я 15 , Я 10 (3 ), Д 6 , Я 5 , Я 3 , Я 2 (3)		Продукт.
	90	Г 30 2	Д 10 × З 3	Я 15 , Д 10 , Я 6 (5), Я 5 , Я 3 , Я 2 (5)		Продукт.
	91	Г 30 3	Д 30	З 15 , Д 10 (3), Д 6 (5), З 5 , З 3 , З 2 (15)		Группа диэдра, Dih 15 , группа Фробениуса.

Классификация групп малого порядка

Малые группы простого порядка степени p ^н даны следующим образом:

• Порядок p : Единственная группа является циклической.
• Заказать п ² : Есть всего две группы, обе абелевы.
• Заказать п ³ : Существует три абелевы группы и две неабелевы группы. Одна из неабелевых групп является полупрямым произведением нормальной циклической подгруппы порядка p ² циклической группой порядка p . Другой — группа кватернионов для p = 2 и группа показателя p для p > 2 .
• Заказать п ⁴ : Классификация сложна и становится еще сложнее по мере увеличения показателя степени p .

Большинство групп малого порядка имеют силовскую p -подгруппу P с нормальным p -дополнением N для некоторого простого числа p, делящего порядок, поэтому их можно классифицировать в терминах возможных простых чисел p , p -групп P , групп N и действий P. на Н. ​В некотором смысле это сводит классификацию этих групп к классификации р -групп. Некоторые из небольших групп, не имеющих нормального p -дополнения, включают:

• Порядок 24: Симметричная группа S ₄
• Порядок 48: Бинарная октаэдрическая группа и произведение S ₄ × Z ₂
• Порядок 60: Переменная группа А ₅ .

Наименьший порядок, для которого неизвестно, сколько существует неизоморфных групп, равен 2048 = 2. ¹¹ .

Библиотека малых групп

Система GAP компьютерной алгебры содержит пакет под названием «Библиотека малых групп», который обеспечивает доступ к описаниям групп небольших порядков. Группы перечислены с точностью до изоморфизма . В настоящее время в библиотеке имеются следующие группы:

• заказ максимум 2000 кроме порядка 1024 ( в библиотеке 423 164 062 групп; группы порядка 1024 пришлось пропустить, так как имеется дополнительно 49 487 367 289 неизоморфных 2-групп порядка 1024 );
• бескубного порядка не более 50 000 (395 703 группы);
• те, что имеют бесквадратный порядок;
• порядка р ^н для n не более 6 и p простого числа;
• порядка р ⁷ для p = 3, 5, 7, 11 (907 489 групп);
• порядка pq ^н где q ^н делит 2 ⁸ , 3 ⁶ , 5 ⁵ или 7 ⁴ и p — произвольное простое число, отличное от q ;
• те, чьи порядки разлагаются не более чем на 3 простых числа (не обязательно различных).

Он содержит подробные описания доступных групп в машиночитаемом формате.

Наименьший заказ, по которому в библиотеке малых групп нет информации, — 1024.

См. также

• Классификация конечных простых групп
• Композиционная серия
• Список конечных простых групп
• Количество групп данного порядка
• Малые латинские квадраты и квазигруппы
• Теоремы Силова

Ссылки

• Коксетер, HSM и Мозер, WOJ (1980). Генераторы и соотношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-09212-9 . , Таблица 1. Неабелевы группы порядка <32.
• Холл-младший, Маршалл ; Старший, Джеймс К. (1964). «Группы второго порядка». ^н ( n ≤ 6)». MathSciNet . Macmillan. MR   0168631. решетки Каталог 340 групп порядка, делящего 64, с таблицами определяющих соотношений, констант и подгрупп каждой группы.

Внешние ссылки

• Отдельные группы в Wiki свойств групп.
• Беше, Ху; Эйк, Б.; О'Брайен, Э. «Библиотека для небольших групп» . Архивировано из оригинала 5 марта 2012 г.
• База данных GroupNames
• Холл-младший, Маршалл; Старший, Джеймс Кун (1964). Группы порядка 2 ^н ( п ≤ 6) . Нью-Йорк: Macmillan / Лондон: Collier-Macmillan Ltd. LCCN 64016861