Список конечных простых групп

В математике классификация конечных простых групп утверждает, что каждая конечная простая группа является циклической , или знакопеременной , или принадлежит к одному из 16 семейств групп лиева типа , или к одной из 26 спорадических групп .

В списке ниже приведены все конечные простые группы вместе с их порядком , размером множителя Шура , размером внешней группы автоморфизмов , обычно некоторыми небольшими представлениями и списками всех дубликатов.

Резюме

В следующей таблице представлен полный список 18 семейств конечных простых групп и 26 спорадических простых групп, а также их порядки. В списке перечислены все непростые члены каждого семейства, а также все члены, дублирующиеся внутри семейства или между семействами. (При удалении дубликатов полезно отметить, что никакие две конечные простые группы не имеют одинакового порядка, за исключением того, что группы A ₈ = A ₃ (2) и A ₂ (4) имеют порядок 20160 и что группа B _n ( q ) имеет тот же порядок, что и C _n ( q ) для q нечетного, n > 2. Наименьшими из последних пар групп являются B ₃ (3) и C ₃ (3), которые обе имеют порядок 4585351680.)

Существует досадный конфликт между обозначениями знакопеременных групп An _и групп лиева типа ( _An q ) . Некоторые авторы используют разные шрифты для обозначения A _n , чтобы различать их. В частности,в этой статье мы проводим различие, выделяя чередующиеся группы A _n латинским шрифтом и группы лиева типа A _n ( q ) курсивом.

Далее n — целое положительное число, а q — положительная степень простого числа p с отмеченными ограничениями. Обозначение ( a , b ) представляет собой наибольший общий делитель целых чисел a и b .

Сорт	Семья	Заказ	Исключения	Дубликаты
Циклические группы	З п	п премьер	Никто	Никто
Чередование групп	н ​ п > 4	${\frac {n!}{2}}$	Никто	A 5 ≃ A 1 (4) ≃ A 1 (5) A 6 ≃ A 1 (9) А 8 ≃ А 3 (2)
Классические группы Шевалле	А п ( q )	${\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)$	А 1 (2), А 1 (3)	A 1 (4) ≃ A 1 (5) ≃ A 5 А 1 (7) ≃ А 2 (2) A 1 (9) ≃ A 6 А 3 (2) ≃ А 8
	Б п ( q ) п > 1	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	Б 2 (2)	Б н (2 м ) ≃ C н (2 м ) Б 2 (3) ≃ 2 А 3 (2 2 )
	C п ( q ) п > 2	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	Никто	С н (2 м ) ≃ Б н (2 м )
	Д п ( q ) п > 3	${\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	Никто	Никто
Исключительные группы Шевалле	Е 6 ( q )	${\frac {q^{36}}{(3,q-1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right)$	Никто	Никто
	Е 7 ( q )	${\frac {q^{63}}{(2,q-1)}}\prod _{i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right)$	Никто	Никто
	Е 8 ( q )	$q^{120}\prod _{i\in \{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\left(q^{i}-1\right)$	Никто	Никто
	Ф 4 ( д )	$q^{24}\prod _{i\in \{2,6,8,12\}}\left(q^{i}-1\right)$	Никто	Никто
	г 2 ( q )	$q^{6}\prod _{i\in \{2,6\}}\left(q^{i}-1\right)$	Г 2 (2)	Никто
Классические группы Штейнберга	2 А н ( q 2 ) п > 1	${\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)$	2 А 2 (2 2 )	2 А 3 (2 2 ) ≃ Б 2 (3)
	2 Д н ( q 2 ) п > 3	${\frac {q^{n(n-1)}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	Никто	Никто
Исключительные группы Штейнберга	2 Е 6 ( q 2 )	${\frac {q^{36}}{(3,q+1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right)$	Никто	Никто
	3 Д 4 ( q 3 )	$q^{12}\left(q^{8}+q^{4}+1\right)\left(q^{6}-1\right)\left(q^{2}-1\right)$	Никто	Никто
Группы Сузуки	2 Б 2 ( q ) д = 2 2н 1 +	$q^{2}\left(q^{2}+1\right)\left(q-1\right)$	Никто	Никто
Группы Ри + Группа сисек	2 Ф 4 ( д ) д = 2 2н 1 +	$q^{12}\left(q^{6}+1\right)\left(q^{4}-1\right)\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)$	Никто	Никто
	2 Ф 4 (2)′	2 12 (2 6 + 1)(2 4 − 1)(2 3 + 1)(2 − 1)/2 = 17 971 200
	2 г 2 ( q ) д = 3 2н 1 +	$q^{3}\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)$	Никто	Никто
Группы Матье	М 11	7920
	М 12	95 040
	М 22	443 520
	М 23	10 200 960
	М 24	244 823 040
Группы Янко	Дж 1	175 560
	Дж 2	604 800
	Дж 3	50 232 960
	Дж 4	86 775 571 046 077 562 880
Группы Конвея	CoСо3	495 766 656 000
	Со 2	42 305 421 312 000
	Ко 1	4 157 776 806 543 360 000
Группы Фишера	Фи 22	64 561 751 654 400
	Фи 23	4 089 470 473 293 004 800
	Фи 24 ′	1 255 205 709 190 661 721 292 800
Группа Хигмана – Симса	HS	44 352 000
Группа Маклафлина	МакЛ	898 128 000
Состоявшаяся группа	Он	4 030 387 200
Группа Рудвалис	Ру	145 926 144 000
Спорадическая группа Suzuki	вода	448 345 497 600
группа О'Нан	НА	460 815 505 920
Группа Харада-Нортон	HN	273 030 912 000 000
Лионская группа	Ли	51 765 179 004 000 000
Группа Томпсона	че	90 745 943 887 872 000
Группа «Бэби-монстр»	Б	4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
Группа монстров	М	808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

Циклические группы, Z _p

Простота: просто для p простого числа.

Порядок: п

Множитель Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: циклика порядка p − 1.

Другие названия: Z/ p Z, C _p

Примечания: Это единственные простые группы, которые не являются совершенными .

Переменные группы, An _, n > 4

Простота: разрешимо для n <5, в остальном просто.

Порядок: n !/2, когда n > 1.

Множитель Шура: 2 для n = 5 или n > 7, 6 для n = 6 или 7; см. Накрывающие группы знакопеременных и симметрических групп.

Группа внешних автоморфизмов: В общем случае 2. Исключения: при n = 1, n = 2 она тривиальна, а при n = 6 имеет порядок 4 (элементарный абелев).

Другие названия: Alt _n .

Изоморфизмы: A ₁ и A ₂ тривиальны. A ₃ циклический порядка 3. A ₄ изоморфен A ₁ (3) (разрешим). A ₅ изоморфен A ₁ (4) и A ₁ (5). A ₆ изоморфна A ₁ (9) и производной группе B ₂ (2)′. A ₈ изоморфен A ₃ (2).

Примечания: Подгруппа индекса 2 симметричной группы перестановок n точек, когда n > 1.

Группы типа Лия

Обозначения: n — целое положительное число, q > 1 — степень простого числа p , а также порядок некоторого лежащего в его основе конечного поля . Порядок внешней группы автоморфизмов записывается как d ⋅ f ⋅ g , где d — порядок группы «диагональных автоморфизмов», f — порядок (циклической) группы «полевых автоморфизмов» (порожденной фробениусовым автоморфизм ), а g — порядок группы «автоморфизмов графа» (происходящих из автоморфизмов диаграммы Дынкина ). Группа внешних автоморфизмов часто, но не всегда, изоморфна полупрямому произведению $D\rtimes (F\times G)$ где все эти группы $D,F,G$ являются циклическими порядка d, f, g соответственно , за исключением типа $D_{n}(q)$, $q$ нечетный, где группа порядка $d=4$ является $C_{2}\times C_{2}$, и (только когда $n=4$) $G=S_{3}$, симметрическая группа из трех элементов. Обозначение ( a , b ) представляет собой наибольший общий делитель целых чисел a и b .

Группы Шевалле , A _n ( q ), B _n ( q ) n > 1, C _n ( q ) n > 2, D _n ( q ) n > 3

	Группы Шевалле , A n ( q ) линейные группы	Группы Шевалле , B n ( q ) n > 1 ортогональные группы	Группы Шевалле , C n ( q ) n > 2 симплектические группы	Группы Шевалле , D n ( q ) n > 3 ортогональные группы
Простота	A 1 (2) и A 1 (3) разрешимы, остальные простые.	B 2 (2) не является простой, но ее производная группа B 2 (2)′ является простой подгруппой индекса 2; остальные простые.	Все просто	Все просто
Заказ	${\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)$	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	${\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)$	${\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$
Множитель Шура	Для простых групп она циклическая порядка ( n +1, q −1), за исключением A 1 (4) (порядок 2), A 1 (9) (порядок 6), A 2 (2) (порядок 2), A 2 (4) (порядок 48, произведение циклических групп порядков 3, 4, 4), A 3 (2) (порядок 2).	(2, q −1) за исключением B 2 (2) = S 6 (порядок 2 для B 2 (2), порядок 6 для B 2 (2)′) и B 3 (2) (порядок 2) и B 3 (3) (порядок 6).	(2, q −1), за исключением C 3 (2) (порядок 2).	Порядок: (4, q н −1) (циклический при n нечетном, элементарный абелев при четном n ), за исключением D 4 (2) (порядок 4, элементарный абелев).
Группа внешних автоморфизмов	(2, q −1)⋅ f ⋅1 для n = 1; ( n +1, q −1)⋅ f ⋅2 для n > 1, где q = p ж	(2, q −1)⋅ f ⋅1 для q нечетного или n > 2; (2, q −1)⋅ f ⋅2 для четного q и n = 2, где q = p ж	(2, q −1)⋅ f ⋅1, где q = p ж	(2, q −1) 2 ⋅ f ⋅ S 3 для n = 4, (2, q −1) 2 ⋅ f ⋅2 при n > 4 четном, (4, q н −1)⋅ f ⋅2 для n нечетного , где q = p ж , а S 3 — симметрическая группа порядка 3! на 3 балла.
Другие имена	Проективные специальные линейные группы , PSL n +1 ( q ), L n +1 ( q ), PSL( n + 1, q )	O 2 n +1 ( q ), Ω 2 n +1 ( q ) (при q нечетном).	Проективная симплектическая группа, PSp 2 n ( q ), PSp n ( q ) (не рекомендуется), S 2 n ( q ), абелева группа (архаичная).	О 2 н + ( q ), ПОм 2 n + ( q ). « Гипоабелева группа » — архаичное название этой группы в характеристике 2.
Изоморфизмы	A 1 (2) изоморфна симметрической группе в 3 точках порядка 6. A 1 (3) изоморфна знакопеременной группе A 4 (разрешима). A 1 (4) и A 1 (5) изоморфны знакопеременной группе A 5 . A 1 (7) и A 2 (2) изоморфны. A 1 (8) изоморфна производной группе 2 Г 2 (3)′. A 1 (9) изоморфна A 6 и производной группе B 2 (2)′. A 3 (2) изоморфен A 8 .	Б н (2 м ) изоморфен C n (2 м ). B 2 (2) изоморфна симметрической группе в 6 точках, а производная группа B 2 (2)′ изоморфна A 1 (9) и A 6 . B 2 (3) изоморфен 2 А 3 (2 2 ).	С н (2 м ) изоморфен B n (2 м )
Примечания	Эти группы получаются из общих линейных групп GL n +1 ( q ) путем взятия элементов определителя 1 (давая специальные линейные группы SL n +1 ( q )) и последующего факторизации по центру.	Это группа, полученная из ортогональной группы в размерности 2 n + 1 путем взятия ядра определителя и отображений спинорной нормы . B 1 ( q ) также существует, но это то же самое, что и A 1 ( q ). B 2 ( q ) имеет нетривиальный автоморфизм графа, когда q является степенью 2.	Эта группа получается из симплектической группы в 2 n измерениях факторизацией центра. C 1 ( q ) также существует, но это то же самое, что и A 1 ( q ). C 2 ( q ) также существует, но это то же самое, что B 2 ( q ).	Это группа, полученная из расщепленной ортогональной группы в размерности 2 n путем взятия ядра определителя (или инварианта Диксона в характеристике 2) и отображений спинорной нормы , а затем уничтожения центра. Группы типа D 4 имеют необычно большую группу диаграммных автоморфизмов порядка 6, содержащую автоморфизм тройственности . D 2 ( q ) также существует, но это то же самое, что A 1 ( q ) × A 1 ( q ). D 3 ( q ) также существует, но это то же самое, что и A 3 ( q ).

Группы Шевалле , E ₆ ( q ), E ₇ ( q ), E ₈ ( q ), F ₄ ( q ), G ₂ ( q )

	Группы Шевалле , E 6 ( q )	Chevalley groups , E 7 ( q )	Группы Шевалле , E 8 ( q )	Группы Шевалле , F 4 ( q )	Группы Шевалле , G 2 ( q )
Простота	Все просто	Все просто	Все просто	Все просто	G 2 (2) не является простой, но ее производная группа G 2 (2)′ является простой подгруппой индекса 2; остальные простые.
Заказ	д 36 ( q 12 −1)( q 9 −1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 5 −1)( q 2 −1)/(3, q −1)	д 63 ( q 18 −1)( q 14 −1)( q 12 −1)( q 10 −1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 2 −1)/(2, q −1)	д 120 ( q 30 −1)( q 24 −1)( q 20 −1)( q 18 −1)( q 14 −1)( q 12 −1)( q 8 −1)( q 2 −1)	д 24 ( q 12 −1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 2 −1)	д 6 ( q 6 −1)( q 2 −1)
Множитель Шура	(3, q −1)	(2, q −1)	Тривиальный	Тривиально, за исключением F 4 (2) (порядок 2)	Тривиально для простых групп, за исключением G 2 (3) (порядок 3) и G 2 (4) (порядок 2).
Группа внешних автоморфизмов	(3, q −1)⋅ f ⋅2, где q = p ж	(2, q −1)⋅ f ⋅1, где q = p ж	1⋅ f ⋅1, где q = p ж	1⋅ f ⋅1 для q нечетного , 1⋅ f ⋅2 для четного q , где q = p ж	1⋅ f ⋅1 для q, не являющегося степенью 3, 1⋅ f ⋅2 для q, степени 3, где q = p ж
Другие имена	Исключительная группа Chevalley	Исключительная группа Chevalley	Исключительная группа Chevalley	Исключительная группа Chevalley	Исключительная группа Chevalley
Изоморфизмы					Производная группа G 2 (2)′ изоморфна 2 А 2 (3 2 ).
Примечания	Имеет два представления размерности 27 и действует на алгебре Ли размерности 78.	Имеет представления размерности 56 и действует на соответствующей алгебре Ли размерности 133.	Она действует на соответствующей алгебре Ли размерности 248. E 8 (3) содержит простую группу Томпсона.	Эти группы действуют на 27-мерных исключительных йордановых алгебрах , что дает им 26-мерные представления. Они также действуют на соответствующих алгебрах Ли размерности 52. F 4 ( q ) имеет нетривиальный автоморфизм графа, когда q является степенью 2.	Эти группы являются группами автоморфизмов 8-мерных алгебр Кэли над конечными полями, что дает им 7-мерные представления. Они также действуют на соответствующих алгебрах Ли размерности 14. G 2 ( q ) имеет нетривиальный автоморфизм графа, когда q является степенью 3. Более того, они появляются как группы автоморфизмов некоторых геометрий точечных линий, называемых расщепляемыми обобщенными шестиугольниками Кэли. .

группы Штейнберга , ² А _н ( q ² ) n > 1, ² Д _н ( q ² ) n > 3, ² Е ₆ ( q ² ), ³ Д ₄ ( q ³ )

	группы Штейнберга , 2 А н ( q 2 ) п > 1 унитарные группы	группы Штейнберга , 2 Д н ( q 2 ) п > 3 ортогональные группы	группы Штейнберга , 2 Е 6 ( q 2 )	группы Штейнберга , 3 Д 4 ( q 3 )
Простота	2 А 2 (2 2 ) разрешима, остальные простые.	Все просто	Все просто	Все просто
Заказ	${1 \over (n+1,q+1)}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)$	${1 \over (4,q^{n}+1)}q^{n(n-1)}(q^{n}+1)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)$	д 36 ( q 12 −1)( q 9 +1)( д 8 −1)( q 6 −1)( q 5 +1)( д 2 −1)/(3, q +1)	д 12 ( q 8 + д 4 +1)( д 6 −1)( q 2 −1)
Множитель Шура	Циклические порядка ( n +1, q +1) для простых групп, за исключением 2 А 3 (2 2 ) (порядок 2), 2 А 3 (3 2 ) (порядок 36, произведение циклических групп порядков 3,3,4), 2 А 5 (2 2 ) (порядок 12, произведение циклических групп порядков 2,2,3)	Циклическая порядка (4, q н +1)	(3, q +1) за исключением 2 Е6 2 ( 2 ) (порядок 12, произведение циклических групп порядков 2,2,3).	Тривиальный
Группа внешних автоморфизмов	( n +1, q +1)⋅ f ⋅1, где q 2 = п ж	(4, q н +1)⋅ f ⋅1, где q 2 = п ж	(3, q +1)⋅ f ⋅1, где q 2 = п ж	1⋅ f ⋅1, где q 3 = п ж
Другие имена	Скрученная группа Шевалле, проективная специальная унитарная группа, PSU n +1 ( q ), PSU( n + 1, q ), Un +1 ( q ) , 2 А н ( q ), 2 А п ( q , q 2 )	2 Д н ( q ), О 2 н − ( q ), ПОм 2 n − ( q ), скрученная группа Шевалле. «Гипоабелева группа» — архаичное название этой группы в характеристике 2.	2 E 6 ( q ), скрученная группа Шевалле	3 Д 4 ( д ), Д 4 2 ( q 3 ), Скрученные группы Шевалле
Изоморфизмы	Разрешимая группа 2 А 2 (2 2 ) изоморфно расширению группы кватернионов 8-го порядка элементарной абелевой группой 9-го порядка. 2 А 2 (3 2 ) изоморфна производной группе G 2 (2)′. 2 А 3 (2 2 ) изоморфен B 2 (3).
Примечания	Это получается из унитарной группы в n + 1 измерениях путем взятия подгруппы элементов определителя 1 и последующего факторизации по центру.	Это группа, полученная из нерасщепимой ортогональной группы в размерности 2 n путем взятия ядра определителя (или инварианта Диксона в характеристике 2) и отображений спинорной нормы , а затем уничтожения центра. 2 Д 2 ( q 2 ) тоже существует, но это то же самое, что A 1 ( q 2 ). 2 Д 3 ( q 2 ) тоже существует, но это то же самое, что и 2 А 3 ( q 2 ).	Одна из исключительных двойных каверов 2 Е6 2 ( 2 ) является подгруппой группы младенцев-монстров, а исключительное центральное расширение элементарной абелевой группы порядка 4 является подгруппой группы монстров.	3 Д 4 (2 3 ) действует на единственной четной 26-мерной решетке определителя 3, не имеющей корней.

Группы Сузуки , ² Б2 ₂ ( ^{2н 1 +} )

Простота: просто для n ≥ 1. Группа ² B ₂ (2) разрешима.

Порядок: q ² ( q ² + 1)( q − 1),где д = 2 ^{2н 1 +} .

Множитель Шура: тривиальный для n ≠ 1, элементарный абелиан порядка 4.для ² Б2 _{( 8} ).

Группа внешних автоморфизмов:

1⋅ f ⋅1,

где f = 2 n + 1.

Другие названия: Суз(2 ^{2н 1 +} ), Сз(2 ^{2н 1 +} ).

Изоморфизмы: ² B ₂ (2) — группа Фробениуса порядка 20.

Замечания: Группа Сузуки — это группы Цассенхауза, действующие на множествах размера (2 ^{2н 1 +} ) ² + 1 и имеют 4-мерные представления над полем с 2 ^{2н 1 +} элементы. Это единственные нециклические простые группы, порядок которых не делится на 3. Они не связаны со спорадической группой Сузуки.

Группы Ри и группа Титса , ² Ф ₄ (2 ^{2н 1 +} )

Простота: просто для n ≥ 1. Производная группа ² F ₄ (2)′ является простым индекса 2в ² F ₄ (2), и называется группой Титса ,назван в честь бельгийского математика Жака Титса .

Порядок: q ¹² ( q ⁶ + 1)( q ⁴ − 1)( q ³ + 1)( q − 1),где д = 2 ^{2н 1 +} .

Группа Титсов имеет порядок 17971200 = 2. ¹¹ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 13.

Множитель Шура: тривиален для n ≥ 1 и для группы Титса.

Группа внешних автоморфизмов:

1⋅ f ⋅1,

где f = 2 n + 1. Порядок 2 для группы Титса.

Примечания: В отличие от других простых групп лиева типа, группа Титса не имеет BN-пары , хотя ее группа автоморфизмов имеет такую ​​пару. Большинство авторов считают ее своего рода почетной группой лиева типа.

группы Ри , ² Г ₂ (3 ^{2н 1 +} )

Простота: просто для n ≥ 1. Группа ² G ₂ (3) не простая, а ее производная группа ² G ₂ (3)′ — простая подгруппа индекса 3.

Порядок: q ³ ( q ³ + 1)( q − 1),где д = 3 ^{2н 1 +}

Множитель Шура: тривиален для n ≥ 1 и для ² Г ₂ (3)′.

Группа внешних автоморфизмов:

1⋅ f ⋅1,

где f = 2 n + 1.

Другие имена: Ри(3 ^{2н 1 +} ), Р(3 ^{2н 1 +} ), _Е2 ^∗ (3 ^{2н 1 +} ) .

Изоморфизмы: производная группа ² G ₂ (3)′ изоморфен A ₁ (8).

Примечания: ² Г ₂ (3 ^{2н 1 +} ) имеет дважды транзитивное представление перестановок на 3 ^{3(2н + 1)} + 1 точек и действует в 7-мерном векторном пространстве над полем с 3 ^{2н 1 +} элементы.

группы

Группы Матье , М ₁₁ , М ₁₂ , М ₂₂ , М ₂₃ , М ₂₄

	Группа Матье, М 11	Группа Матье, М 12	Группа Матье, М 22	Группа Матье, М 23	Группа Матье, М 24
Заказ	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11 = 7920	2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 95040	2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 443520	2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 10200960	2 10 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040
Множитель Шура	Тривиальный	Заказ 2	Циклический порядка 12	Тривиальный	Тривиальный
Группа внешних автоморфизмов	Тривиальный	Заказ 2	Заказ 2	Тривиальный	Тривиальный
Примечания	4-транзитивная группа перестановок на 11 точках и является стабилизатором точки M 12 (в 5-транзитивном 12-точечном представлении перестановок M 12 ). Группа М 11 также содержится в М 23 . Подгруппу M 11 , фиксирующую точку в 4-транзитивном 11-точечном представлении перестановок, иногда называют M 10 , и она имеет подгруппу индекса 2, изоморфную знакопеременной группе A 6 .	5-транзитивная группа перестановок по 12 точкам, содержащаяся в M 24 .	3-транзитивная группа перестановок на 22 точках и является стабилизатором точки M 23 (в 4-транзитивном 23-точечном представлении перестановок M 23 ). Подгруппа M 22 , фиксирующая точку в 3-транзитивном 22-точечном представлении перестановок, иногда называется M 21 и изоморфна PSL(3,4) (т.е. изоморфна A 2 (4)).	4-транзитивная группа перестановок на 23 точках и является стабилизатором точки M 24 (в 5-транзитивном 24-точечном представлении перестановок M 24 ).	5-транзитивная группа перестановок по 24 точкам.

Группы Янко , J ₁ , J ₂ , J ₃ , J ₄

	Группа Янко, J 1	Группа Янко, J 2	Группа Янко, J 3	Группа Янко, J 4
Заказ	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 175560	2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 = 604800	2 7 ⋅ 3 5 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 19 = 50232960	2 21 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 3 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 43 = 86775571046077562880
Множитель Шура	Тривиальный	Заказ 2	Заказ 3	Тривиальный
Группа внешних автоморфизмов	Тривиальный	Заказ 2	Заказ 2	Тривиальный
Другие имена	Дж(1), Дж(11)	Группа Холла – Янко, HJ	Группа Хигмана-Янко-Маккея, HJM
Примечания	Это подгруппа группы G 2 (11), поэтому она имеет 7-мерное представление над полем из 11 элементов.	Группа автоморфизмов J2 : 2 графа J2 — это группа автоморфизмов графа ранга 3 на 100 точках, называемого графом Холла-Янко . Это также группа автоморфизмов правильного почти восьмиугольника, называемого ближним восьмиугольником Холла-Янко. Группа J2 содержится в ( G2 4).	J 3 , кажется, не связан ни с какими другими спорадическими группами (или с чем-либо еще). Его тройное накрытие имеет 9-мерное унитарное представление над полем из 4 элементов.	Имеет 112-мерное представление над полем из 2-х элементов.

Группы Конвея , Co ₁ , Co ₂ , Co ₃

	Группа Конвей, Ко 1	Группа Конвея, Ко 2	Группа Конвей, Ко 3
Заказ	2 21 ⋅ 3 9 ⋅ 5 4 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 23 = 4157776806543360000	2 18 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 42305421312000	2 10 ⋅ 3 7 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 495766656000
Множитель Шура	Заказ 2	Тривиальный	Тривиальный
Группа внешних автоморфизмов	Тривиальный	Тривиальный	Тривиальный
Другие имена	·1	·2	·3, С 3
Примечания	Совершенное двойное накрытие Co 0 группы Co 1 является группой автоморфизмов решетки Лича и иногда обозначается ·0.	Подгруппа Co 0 ; фиксирует вектор нормы 4 в решетке Лича .	Подгруппа Co 0 ; фиксирует вектор нормы 6 в решетке Лича . Он имеет дважды транзитивное представление перестановок в 276 точках.

Группы Фишера , Fi ₂₂ , Fi ₂₃ , Fi ₂₄ ′

	Группа Фишера, Fi 22	Группа Фишера, Fi 23	Группа Фишера, Fi 24 ′
Заказ	2 17 ⋅ 3 9 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 64561751654400	2 18 ⋅ 3 13 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 = 4089470473293004800	2 21 ⋅ 3 16 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 29 = 1255205709190661721292800
Множитель Шура	Заказ 6	Тривиальный	Заказ 3
Группа внешних автоморфизмов	Заказ 2	Тривиальный	Заказ 2
Другие имена	М (22)	М (23)	М (24)′, Ф 3+
Примечания	3-транспозиционная группа, двойное накрытие которой содержится в Fi 23 .	3-транспозиционная группа, содержащаяся в Fi 24 ′.	Тройное укрытие содержится в группе монстров.

Группа Хигмана-Симса , HS

Заказ: 2 ⁹ ⋅ 3 ² ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

Множитель Шура: Порядок 2.

Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.

Примечания: Она действует как группа перестановок ранга 3 на графе Хигмана Симса со 100 точками и содержится в Co ₂ и Co ₃ .

Группа Маклафлина , McL

Заказ: 2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

Множитель Шура: Порядок 3.

Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.

Примечания: Действует как группа перестановок ранга 3 на графе Маклафлина с 275 точками и содержится в Co ₂ и Co ₃ .

Состоялась группа , Он

Заказ: 2 ¹⁰ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ³ ⋅ 17 = 4030387200

Множитель Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.

Другие названия: группа Хелда-Хигмана-Маккея, HHM, F ₇ , HTH.

Примечания: Централизует элемент порядка 7 в группе монстров.

Группа Рудвалис , Ру

Заказ: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

Множитель Шура: Порядок 2.

Группа внешних автоморфизмов: Тривиальная.

Примечания: Двойное накрытие действует на 28-мерной решетке над целыми гауссовыми числами .

группа ,

Заказ: 2 ¹³ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

Множитель Шура: порядка 6.

Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.

Другие названия: Сз.

Примечания: 6-кратное накрытие действует на 12-мерной решетке над целыми числами Эйзенштейна . Она не связана с группами Сузуки типа Ли.

Группа ОН , ОН

Заказ: 2 ⁹ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ⋅ 7 ³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

Множитель Шура: Порядок 3.

Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.

Другие названия: группа О'Нана – Симса, О'НС, О – С.

Примечания: Тройное накрытие имеет два 45-мерных представления над полем из 7 элементов, замененных внешним автоморфизмом.

Группа Харада-Нортон , HN

Заказ: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

Множитель Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: порядок 2.

Другие названия: Ф ₅ , Д

Примечания: Централизует элемент 5-го порядка в группе монстров.

Группа Лайонс , Ли

Заказ: 2 ⁸ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

Множитель Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: Тривиальная.

Другие названия: группа Лайонса – Симса, LyS.

Примечания: Имеет 111-мерное представление над полем из 5 элементов.

Группа Томпсона , Че

Заказ: 2 ¹⁵ ⋅ 3 ¹⁰ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

Множитель Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: Тривиальная.

Другие названия: F ₃ , E

Примечания: Централизует в монстре элемент порядка 3. Имеет 248-мерное представление, которое при уменьшении по модулю 3 приводит к включению в E ₈ (3).

Группа Baby Monster , B

Заказ:

   2 ⁴¹ ⋅ 3 ¹³ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

Множитель Шура: Порядок 2.

Группа внешних автоморфизмов: Тривиальная.

Другие названия: Ф ₂

Примечания: Двойная обложка содержится в группе монстров. Он имеет представление размерности 4371 над комплексными числами (без нетривиального инвариантного произведения) и представление размерности 4370 над полем с двумя элементами, сохраняющими коммутативное, но неассоциативное произведение.

Фишера-Грисса Группа монстров , М

Заказ:

   2 ⁴⁶ ⋅ 3 ²⁰ ⋅ 5 ⁹ ⋅ 7 ⁶ ⋅ 11 ² ⋅ 13 ³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

Множитель Шура: тривиальный.

Группа внешних автоморфизмов: Тривиальная.

Другие названия: F ₁ , M ₁ , Группа монстров, Дружественный гигант, Монстр Фишера.

Примечания: Содержит все остальные спорадические группы, кроме шести, в качестве подчастных. Относится к чудовищному самогону . Монстр является группой автоморфизмов 196 883-мерной алгебры Грисса и бесконечномерной алгебры вершинных операторов- монстров и естественным образом действует на алгебре Ли-монстра .

Нециклические простые группы малого порядка

Заказ	Факторизованный заказ	Группа	Множитель Шура	Группа внешних автоморфизмов
60	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5	A 5 ≃ A 1 (4) ≃ A 1 (5)	2	2
168	2 3 ⋅ 3 ⋅ 7	А 1 (7) ≃ А 2 (2)	2	2
360	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5	А 6 ≃ А 1 (9) ≃ Б 2 (2)′	6	2×2
504	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 7	А 1 (8) ≃ 2 Г 2 (3)′	1	3
660	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11	А 1 (11)	2	2
1092	2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13	А 1 (13)	2	2
2448	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 17	А 1 (17)	2	2
2520	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	A 7	6	2
3420	2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 19	А 1 (19)	2	2
4080	2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17	А 1 (16)	1	4
5616	2 4 ⋅ 3 3 ⋅ 13	А 2 (3)	1	2
6048	2 5 ⋅ 3 3 ⋅ 7	2 А 2 (9) ≃ Г 2 (2)′	1	2
6072	2 3 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23	А 1 (23)	2	2
7800	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13	А 1 (25)	2	2×2
7920	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11	М 11	1	1
9828	2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 7 ⋅ 13	А 1 (27)	2	6
12180	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 29	А 1 (29)	2	2
14880	2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 31	А 1 (31)	2	2
20160	2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	А 3 (2) ≃ А 8	2	2
20160	2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	А 2 (4)	3×4 2	Д 12
25308	2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 19 ⋅ 37	А 1 (37)	2	2
25920	2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 5	2 А 3 (4) ≃ Б 2 (3)	2	2
29120	2 6 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13	2 Б 2 (8)	2 2	3
32736	2 5 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 31	А 1 (32)	1	5
34440	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 41	А 1 (41)	2	2
39732	2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 43	А 1 (43)	2	2
51888	2 4 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 47	А 1 (47)	2	2
58800	2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2	А 1 (49)	2	2 2
62400	2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13	2 А 2 (16)	1	4
74412	2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 13 ⋅ 53	А 1 (53)	2	2
95040	2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11	М 12	2	2

(Выполняется для заказов менее 100 000)

Холл (1972) перечисляет 56 нециклических простых групп порядка меньше миллиона.

См. также

• Список малых групп

Дальнейшее чтение

• Простые группы типа лжи , Роджер В. Картер , ISBN   0-471-50683-4
• Конвей, Дж. Х .; Кертис, RT; Нортон, СП ; Паркер, РА; и Уилсон, Р.А .: « Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп ». Оксфорд, Англия, 1985.
• Дэниел Горенштейн , Ричард Лайонс, Рональд Соломон Классификация конечных простых групп (том 1) , AMS, 1994 (том 3) , AMS, 1998
• Холл, Маршалл-младший (1972), «Простые группы порядка менее миллиона», Journal of Algebra , 20 : 98–102, doi : 10.1016/0021-8693(72)90090-7 , ISSN   0021-8693 , MR   0285603
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN.  978-1-84800-987-5 , Збл   1203.20012
• Атлас представлений конечных групп : содержит представления и другие данные для многих конечных простых групп, включая спорадические группы.
• Порядки неабелевых простых групп до 10 ¹⁰ , и до 10 ⁴⁸ с ограничениями по званию.

Внешние ссылки

• Порядки неабелевых простых групп до порядка 10 000 000 000.