Лионская группа

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Лайонса Ly или группа Лайонса-Симса LyS представляет собой спорадическую простую группу порядка .

51,765,179,004,000,000

= 2 ⁸ · 3 ⁷ · 5 ⁶ · 7 · 11 · 31 · 37 · 67

≈ 5 × 10 ¹⁶.

История

Ly — одна из 26 спорадических групп, открытая Ричардом Лайонсом и Чарльзом Симсом в 1972–73 годах. Лайонс охарактеризовал 51765179004000000 как единственный возможный порядок любой конечной простой группы, в которой централизатор некоторой инволюции изоморфен группы нетривиальному центральному расширению знакопеременной группы A ₁₁ степени 11 с помощью циклической C ₂ . Симс (1973) доказал существование такой группы и ее единственность с точностью до изоморфизма с помощью комбинации теории групп перестановок и машинных вычислений.

Когда была открыта спорадическая группа Маклафлина , было замечено, что централизатор одной из ее инволюций является идеальным двойным накрытием знакопеременной группы А ₈ . Это позволило рассматривать двойные накрытия остальных знакопеременных групп как _An возможные централизаторы инволюций в простых группах. Случаи n ≤ 7 исключаются теоремой Брауэра–Сузуки , случай n = 8 приводит к группе Маклафлина, случай n = 9 исключил Звонимир Янко , сам Лайонс исключил случай n = 10 и нашел Группа Лайона для n = 11, а случаи n ≥ 12 были исключены Дж. Г. Томпсоном и Рональдом Соломоном .

Мультипликатор Шура и автоморфизмов тривиальны . внешняя группа

Поскольку 37 и 67 не являются суперсингулярными простыми числами, группа Лайона не может быть подчастным группы монстров . Таким образом, это одна из 6 спорадических групп, называемых париями .

Представительства

Мейер, Нойч и Паркер (1985) показали, что группа Лайона имеет модульное представление размерности 111 над полем из пяти элементов, что является наименьшей размерностью любого точного линейного представления и одним из самых простых способов вычислений с его помощью. Это также было дано в нескольких сложных представлениях с точки зрения генераторов и отношений, например, представленных Симсом (1973) или Гебхардтом (2000) .

Наименьшим точным представлением перестановок является представление перестановок ранга 5 на 8835156 точках со стабилизатором G2 ₍ 5). Существует также немного большее представление перестановок 5-го ранга на 9606125 точек со стабилизатором 3.McL:2.

Максимальные подгруппы

Уилсон (1985) нашел 9 классов сопряженности максимальных подгрупп Ly следующим образом:

Максимальные подгруппы Ly
Нет.	Структура	Заказ	Комментарии
1	Г ₂ (5)	5,859,000,000 = 2 ⁶·3 ³·5 ⁶·7·31
2	3 ^·МКЛ:2	5,388,768,000 = 2 ⁸·3 ⁷·5 ³·7·11	нормализатор подгруппы порядка 3 (класс 3А)
3	5 ^3·Л ₃ (5)	46,500,000 = 2 ⁵·3·5 ⁶·31
4	2 ^·И ₁₁	39,916,800 = 2 ⁸·3 ⁴·5 ²·7·11	централизатор инволюции
5	5 ¹⁺⁴:4.С ₆	9,000,000 = 2 ⁶·3 ²·5 ⁶	нормализатор подгруппы порядка 5 (класс 5А)
6	3 ⁵:(2 × М ₁₁ )	3,849,120 = 2 ⁵·3 ⁷·5·11
7	3 ²⁺⁴: _5.Д 8 _2.А	699,840 = 2 ⁶·3 ⁷·5
8	67:22	1,474 = 2·11·67
9	37:18	666 = 2·3 ²·37

Ссылки

Ричард Лайонс (1972,5) «Свидетельства существования новой конечной простой группы», Journal of Algebra 20:540–569 и 34:188–189.
Гебхардт, Волкер (2000). «Две короткие презентации для спорадической простой группы Лиона» . Экспериментальная математика . 9 (3): 333–8. дои : 10.1080/10586458.2000.10504410 . S2CID 8361971 .
Мейер, Вернер; Нойч, Вольфрам; Паркер, Ричард (1985), «Минимальное 5-представление спорадической группы Лайона», Mathematische Annalen , 272 (1): 29–39, doi : 10.1007/BF01455926 , ISSN 0025-5831 , MR 0794089 , S2CID 120696430
Симс, Чарльз К. (1973), «Существование и уникальность группы Лайона», Конечные группы '72 (Proc. Gainesville Conf., Univ. Florida, Gainesville, Fla., 1972) , North-Holland Math. Исследования, том. 7, Амстердам: Северная Голландия, стр. 138–141, MR 0354881.
Уилсон, Роберт А. (1985), «Максимальные подгруппы группы Лайона», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 97 (3): 433–436, doi : 10.1017/S0305004100063003 , ISSN 0305-0041 , MR 0778677 , S2CID 119577612

Внешние ссылки