Спорадическая группа Маклафлина

В области современной алгебры, известной как теория групп , группа Маклафлина McL представляет собой спорадическую простую группу порядка .

2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898,128,000

≈ 9 × 10 ⁸.

История и свойства

McL является одной из 26 спорадических групп и была открыта Джеком Маклафлином ( 1969 ) как подгруппа индекса 2 группы перестановок ранга 3, действующей на графе Маклафлина с 275 = 1 + 112 + 162 вершинами. Он фиксирует треугольник 2-2-3 в решетке Лича и, таким образом, является подгруппой групп Конвея. $\mathrm {Co} _{0}$ , $\mathrm {Co} _{2}$ , и $\mathrm {Co} _{3}$ . Ее мультипликатор Шура имеет порядок 3, а ее внешняя группа автоморфизмов имеет порядок 2. Группа 3.McL:2 является максимальной подгруппой группы Лайона .

McL имеет один класс сопряженности инволюции (элемент порядка 2), централизатором которого является максимальная подгруппа типа 2.A ₈ . Он имеет центр порядка 2; фактор по модулю центра изоморфен знакопеременной группе A ₈ .

Представительства

В группе Конвея Co ₃ McL имеет нормализатор McL:2, максимальный в Co ₃ .

McL имеет 2 класса максимальных подгрупп, изоморфных группе Матье M ₂₂ . Внешний автоморфизм меняет местами два класса _{групп M22} . Этот внешний автоморфизм реализуется на McL, вложенном как подгруппа Co ₃ .

Удобное представление М ₂₂ состоит в матрицах перестановок последних 22 координат; он фиксирует треугольник 2-2-3 с вершинами в начале координат и типа 2 точками x = (−3, 1 ²³) и y = (−4,-4,0 ²²) '. Ребро треугольника x - y = (1, 5, 1 ²²) относится к типу 3 ; он фиксируется Co ₃ . Эта M22 _{является} мономом и максимальной подгруппой представления McL.

Wilson (2009) (стр. 207) показывает, что подгруппа McL четко определена. Предположим, что в решетке Лича точка v типа 3 фиксируется экземпляром $\mathrm {Co} _{3}$ . типа 2 Подсчитайте точки w такие, что скалярное произведение v · w = 3 (и, следовательно, v - w относится к типу 2). Он показывает, что их число 552 = 2. ³⋅3⋅23 и что этот Co ₃ транзитивен на этих w .

|Макл| = |Co3|/552 = 898 128 000.

McL — единственная спорадическая группа, допускающая неприводимые представления кватернионного типа . У него есть два таких представления: одно размерности 3520 и одно размерности 4752.

Максимальные подгруппы

Финкельштейн (1973) нашел 12 классов сопряженности максимальных подгрупп McL следующим образом:

U ₄ (3) порядка 3 265 920 индекс 275 – точечный стабилизатор своего действия на графе Маклафлина
М ₂₂ порядка 443 520, индекс 2 025 (два класса, слитые под внешним автоморфизмом)
У ₃ (5) порядок 126 000 индекс 7 128
3 ¹⁺⁴:2.S ₅ порядок 58 320 индекс 15 400
3 ⁴: М ₁₀ порядок 58 320 индекс 15 400
L ₃ (4):2 ₂ порядок 40 320 индекс 22 275
2.А ₈ порядок 40320 индекс 22275 – централизатор инволюции
2 ⁴:A ₇ порядка 40 320, индекс 22 275 (два класса, слитые под внешним автоморфизмом)
М ₁₁ заказ 7920 индекс 113400
5 ₊¹⁺²:3:8 порядок 3000 индекс 299376

Классы сопряженности

Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении McL. ^[1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп. ^[2]

Показаны циклические структуры в перестановочном представлении ранга 3 степени 275 группы McL. ^[3]

Сорт	Централизуйте порядок	Количество элементов	След	Тип цикла
1А	898,128,000	1	24
2А	40,320	3 ⁴ ⋅ 5 ² ⋅ 11	8	1 ³⁵, 2 ¹²⁰
3А	29,160	2 ⁴ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11	-3	1 ⁵, 3 ⁹⁰
3Б	972	2 ³ ⋅ 3 ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11	6	1 ¹⁴, 3 ⁸⁷
4А	96	2 ² ⋅ 3 ⁵ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11	4	1 ⁷, 2 ¹⁴, 4 ⁶⁰
5А	750	2 ⁶ ⋅ 3 ⁵ ⋅ ⋅ 7 ⋅ 11	-1	5 ⁵⁵
5Б	25	2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11	4	1 ⁵, 5 ⁵⁴
6А	360	2 ⁴ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11	5	1 ⁵, 3 ¹⁰, 6 ⁴⁰
6Б	36	2 ⁵ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11	2	1 ², 2 ⁶, 3 ¹¹, 6 ³⁸
7А	14	2 ⁶ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 11	3	1 ², 7 ³⁹	эквивалент мощности
7Б	14	2 ⁶ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 11	3	1 ², 7 ³⁹	эквивалент мощности
8А	8	2 ⁴ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11	2	1, 2 ³, 4 ⁷, 8 ³⁰
9А	27	2 ⁷ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11	3	1 ², 3, 9 ³⁰	эквивалент мощности
9Б	27	2 ⁷ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11	3	1 ², 3, 9 ³⁰	эквивалент мощности
10А	10	2 ⁶ ⋅ 3 ⁵ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11	3	5 ⁷, 10 ²⁴
11А	11	2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7	2	11 ²⁵	эквивалент мощности
11Б	11	2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7	2	11 ²⁵	эквивалент мощности
12А	12	2 ⁵ ⋅ 3 ⁵ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11	1	1, 2 ², 3 ², 6 ⁴, 12 ²⁰
14А	14	2 ⁶ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 11	1	2, 7 ⁵, 14 ¹⁷	эквивалент мощности
14Б	14	2 ⁶ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 11	1	2, 7 ⁵, 14 ¹⁷	эквивалент мощности
15А	30	2 ⁶ ⋅ 3 ⁵ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11	2	5, 15 ¹⁸	эквивалент мощности
15Б	30	2 ⁶ ⋅ 3 ⁵ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11	2	5, 15 ¹⁸	эквивалент мощности
30А	30	2 ⁶ ⋅ 3 ⁵ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11	0	5, 15 ², 30 ⁸	эквивалент мощности
30Б	30	2 ⁶ ⋅ 3 ⁵ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11	0	5, 15 ², 30 ⁸	эквивалент мощности

Обобщенный чудовищный самогон

Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром. Ларисса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций измерений спорадических групп. Для групп Конвея соответствующий ряд Маккея – Томпсона имеет вид $T_{2A}(\tau )$ и $T_{4A}(\tau )$ .

Ссылки

^ Конвей и др. (1985)
^ «ATLAS: MCL — Представление перестановок по 275 точкам» .
^ «ATLAS: MCL — Представление перестановок по 275 точкам» .

Конвей, Дж. Х .; Кертис, RT; Нортон, СП ; Паркер, РА; и Уилсон, Р.А .: « Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп ». Оксфорд, Англия, 1985.
Финкельштейн, Ларри (1973), «Максимальные подгруппы группы Конвея C ₃ и группы Маклафлина», Journal of Algebra , 25 : 58–89, doi : 10.1016/0021-8693(73)90075-6 , ISSN 0021-8693 , МР 0346046
Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4 , МР 1707296
Маклафлин, Джек (1969), «Простая группа порядка 898 128 000», у Брауэра, Р .; Сах, Чих-хан (ред.), Теория конечных групп (симпозиум, Гарвардский университет, Кембридж, Массачусетс, 1968) , Бенджамин, Нью-Йорк, стр. 109–111, MR 0242941
Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для аспирантов по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN. 978-1-84800-987-5 , Збл 1203.20012

Внешние ссылки

[1] Конвей и др. (1985)

[2] «ATLAS: MCL — Представление перестановок по 275 точкам» .

[3] «ATLAS: MCL — Представление перестановок по 275 точкам» .

[1]

[2]

[3]