Группа внешних автоморфизмов

В математике внешняя группа автоморфизмов группы G G $.$ — это фактор Aut $(G)/Inn(G)$ , где $Aut(внутренних)$ — группа автоморфизмов группы $G$ , а $Inn(G$ ) — подгруппа, состоящая из автоморфизмов . Внешнюю группу автоморфизмов обычно обозначают $Out(G)$ . Если $Out(G)$ тривиален и $G$ имеет тривиальный центр , то $G$ называется полным .

Автоморфизм группы, не являющийся внутренним, называется внешним автоморфизмом . ^[1]Тогда смежные классы Inn $(G)$ по внешним автоморфизмам являются элементами $Out(G)$ ; это пример того факта, что факторы групп, вообще говоря, не являются подгруппами (изоморфными). Если группа внутренних автоморфизмов тривиальна (когда группа абелева), группа автоморфизмов и внешняя группа автоморфизмов естественным образом отождествляются; то есть внешняя группа автоморфизмов действует на группу.

Например, для группы знакопеременной $An .$ внешней группой автоморфизмов обычно является группа порядка 2, за исключениями, указанными ниже Рассматривая $An, точнее ,$ как подгруппу симметричной группы Sn $, сопряжение$ любой нечетной перестановкой является внешним автоморфизмом $An или$ «представляет класс (нетривиального) внешнего автоморфизма An $»,$ но внешний автоморфизм не соответствует сопряжению каким-либо конкретным нечетным элементом, и все сопряжения нечетными элементами эквивалентны с точностью до сопряжения четным элементом.

Структура [ править ]

утверждает Гипотеза Шрайера , что $Out(G)$ всегда является разрешимой группой , если $G$ — конечная простая группа . Сейчас известно, что этот результат верен как следствие классификации конечных простых групп , хотя более простое доказательство не известно.

Как двойник центра [ править ]

Внешняя группа автоморфизмов двойственна центру в следующем смысле: сопряжение элементом из $G$ является автоморфизмом, дающим отображение $σ : G \to Aut(G)$ . Ядро коядро отображения сопряжения — это центр, а — внешняя группа автоморфизмов (а образ — внутренняя группа автоморфизмов ). Это можно резюмировать точной последовательностью

Z(G)\hookrightarrow G\,{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}\,\mathrm {Aut} (G)\twoheadrightarrow \mathrm {Out} (G)

Приложения [ править ]

Группа внешних автоморфизмов группы действует на классы сопряженности и, соответственно, на таблицу характеров . Подробности смотрите в таблице символов: внешние автоморфизмы .

Топология поверхностей [ править ]

Внешняя группа автоморфизмов важна в топологии поверхностей , потому что существует связь, обеспечиваемая теоремой Дена-Нильсена : расширенная группа классов отображений поверхности является внешней группой автоморфизмов ее фундаментальной группы .

В конечных группах [ править ]

Для внешних групп автоморфизмов всех конечных простых групп см. список конечных простых групп . Спорадические простые группы и знакопеременные группы (кроме знакопеременной группы $; А6$ см. ниже) все имеют внешние группы автоморфизмов порядка 1 или 2. Внешняя группа автоморфизмов конечной простой группы лиева типа является расширением группы " за исключением $Dn диагональные автоморфизмы» (циклические , (q)$ , когда он имеет порядок 4), группа «автоморфизмов полей» (всегда циклических) и группа «автоморфизмов графов» (порядка 1 или 2, за исключением $D4). (q)$ , когда это симметрическая группа в 3 точках). Эти расширения не всегда являются полупрямыми произведениями случай знакопеременной группы $; А6$ , как показывает Точный критерий для того, чтобы это произошло, был дан в 2003 году. ^[2]

Группа	Параметр	$Выход(Г)$	$\| Выход(г) \|$
$С$		$С 2$	$2$ : тождество и внешний автоморфизм $x \mapsto - x$
$С н$	$п > 2$	$(ℤ/ н ℤ) \times$	$φ (п) знак равно$ $n\prod _{p\|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)$ ; соответствующий умножению на обратимый элемент в кольце $ℤ/ n ℤ$ .
$З п н$	$p$ простое число, $n > 1$	$ГЛ н (п)$	$(п н - 1)(п н - п)(п н - п 2)...(п н - п п -1)$
$С н$	$п \neq 6$	$С 1$	$1$
$S S6$		$С 2$ (см. ниже)	$2$
$н $	$п \neq 6$	$С 2$	$2$
$А 6$		$С 2 \times С 2$ (см. ниже)	$4$
$ПСЛ 2 (п)$	$р > 3$ простое	$С 2$	$2$
$ПСЛ 2 (2 н)$	$п > 1$	$С н$	$н$
$ПСЛ 3 (4) = М 21$		$Дих 6$	$12$
$М н$	$п € {11, 23, 24}$	$С 1$	$1$
$М н$	$п € {12, 22}$	$С 2$	$2$
$Co С$	$п € {1, 2, 3}$	$С 1$	$1$

^{[ нужна цитата ]}

В симметричных и чередующихся группах [ править ]

Группа внешних автоморфизмов конечной простой группы в некотором бесконечном семействе конечных простых групп почти всегда может быть задана единой формулой, которая работает для всех элементов семейства. Из этого есть только одно исключение: ^[3]знакопеременная группа $A6 нечетной$ имеет внешнюю группу автоморфизмов порядка 4, а не 2, как другие простые знакопеременные группы (задаваемые сопряжением перестановкой ). симметрическая группа $S6 Эквивалентно ,$ — единственная симметрическая группа с нетривиальной внешней группой автоморфизмов.

{\begin{aligned}n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})&=\mathrm {C} _{1}\\n\geq 3,\ n\neq 6:\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})&=\mathrm {C} _{2}\\\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\\\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{6})&=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}\end{aligned}}

Обратите внимание, что в случае $G = A 6 = PSL(2, 9)$ последовательность $1 ⟶ G ⟶ Aut(G) ⟶ Out(G) ⟶ 1$ не расщепляется. Аналогичный результат верен для любого $PSL(2, q 2)$ , $q$ нечетно.

В редуктивных алгебраических группах [ править ]

Симметрии диаграммы D Дынкина $4 соответствуют$ внешним автоморфизмам $Spin(8)$ в тройственности.

Пусть $теперь G$ — связная редуктивная группа над алгебраически замкнутым полем . Тогда любые две борелевские подгруппы сопряжены внутренним автоморфизмом, поэтому для изучения внешних автоморфизмов достаточно рассмотреть автоморфизмы, фиксирующие данную борелевскую подгруппу. С подгруппой Бореля связан набор простых корней , и внешний автоморфизм может переставлять их, сохраняя при этом структуру ассоциированной диаграммы Дынкина . Таким образом, можно отождествить группу автоморфизмов диаграммы Дынкина группы $G$ с подгруппой $Out(G)$ .

$D 4$ имеет очень симметричную диаграмму Дынкина, которая дает большую внешнюю группу автоморфизмов $Spin(8)$ , а именно $Out(Spin(8)) = S 3$ ; это называется триальность .

В сложных и действительно простых алгебрах Ли [ править ]

Предыдущая интерпретация внешних автоморфизмов как симметрий диаграммы Дынкина следует из общего факта, что для комплексной или действительно простой алгебры Ли $𝔤$ группа автоморфизмов $Aut(𝔤)$ является полупрямым произведением Inn $(𝔤)$ и $Out(𝔤)$ ; т.е. короткая точная последовательность

1 ⟶ Inn(𝔤) ⟶ Aut(𝔤) ⟶ Out(𝔤) ⟶ 1

расколы. В сложном простом случае это классический результат: ^[4] тогда как для реальных простых алгебр Ли этот факт был доказан совсем недавно, в 2010 году. ^[5]

Игра слов [ править ]

Термин «внешний автоморфизм» поддается игре слов : термин «внешний автоморфизм» иногда используется для обозначения внешнего автоморфизма , а конкретная геометрия , на которую $действует Out(F n)$ , называется внешним пространством .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Несмотря на название, они не образуют элементы внешней группы автоморфизмов. термин « невнутренний автоморфизм» . По этой причине иногда предпочитают
^ А. Луккини, Ф. Менегаццо, М. Мориги (2003), « О существовании дополнения для конечной простой группы в ее группе автоморфизмов », Illinois J. Math. 47, 395–418.
^ АТЛАС с. xvi
^ ( Фултон и Харрис 1991 , Предложение D.40)
^ JLT20035

Внешние ссылки [ править ]

ATLAS представлений конечных групп-V3 содержит много информации о различных классах конечных групп (в частности, спорадических простых группах), включая порядок $Out(G)$ для каждой перечисленной группы.

[1] Несмотря на название, они не образуют элементы внешней группы автоморфизмов. термин « невнутренний автоморфизм» . По этой причине иногда предпочитают

[2] А. Луккини, Ф. Менегаццо, М. Мориги (2003), « О существовании дополнения для конечной простой группы в ее группе автоморфизмов », Illinois J. Math. 47, 395–418.

[3] АТЛАС с. xvi

[4] ( Фултон и Харрис 1991 , Предложение D.40)

[JOLT-5] JLT20035

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]