Автоморфизмы симметрических и знакопеременных групп

В теории групп , разделе математики , автоморфизмы и внешние автоморфизмы симметричных групп и знакопеременных групп являются как стандартными примерами этих автоморфизмов, так и объектами изучения сами по себе, в частности, исключительный внешний автоморфизм S ₆ , симметрической группы. на 6 элементах.

Краткое содержание

$n$	$\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})$	$\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})$
$n\neq 2,6$	$\mathrm {S} _{n}$	$\mathrm {C} _{1}$
$n=2$	$\mathrm {C} _{1}$	$\mathrm {C} _{1}$
$n=6$	$\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}$ ^[1]	$\mathrm {C} _{2}$

$n$	$\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})$	$\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})$
$n\geq 4,n\neq 6$	$\mathrm {S} _{n}$	$\mathrm {C} _{2}$
$n=1,2$	$\mathrm {C} _{1}$	$\mathrm {C} _{1}$
$n=3$	$\mathrm {C} _{2}$	$\mathrm {C} _{2}$
$n=6$	$\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}$	$\mathrm {V} =\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}$

Общий случай

$n\neq 2,6$ : $\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}$ , и таким образом $\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {C} _{1}$ .

Формально,

\mathrm {S} _{n}

является полным и естественная карта

\mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})

является изоморфизмом.

$n\neq 1,2,6$ : $\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{n})=\mathrm {S} _{n}/\mathrm {A} _{n}=\mathrm {C} _{2}$ , а внешний автоморфизм представляет собой сопряжение нечетной перестановкой .
$n\neq 2,3,6$ : $\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})=\mathrm {S} _{n}$

Действительно, естественные карты

\mathrm {S} _{n}\to \operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{n})\to \operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{n})

являются изоморфизмами.

Исключительные случаи

$n=1,2$ : тривиально:

\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{1})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{1})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{1})=\mathrm {C} _{1}

\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{2})=\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{2})=\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{2})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{2})=\mathrm {C} _{1}

$n=3$ : $\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{3})=\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{3})=\mathrm {S} _{3}/\mathrm {A} _{3}=\mathrm {C} _{2}$
$n=6$ : $\operatorname {Out} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {C} _{2}$ , и $\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}$ является полупрямым продуктом .
$n=6$ : $\operatorname {Out} (\mathrm {A} _{6})=\mathrm {C} _{2}\times \mathrm {C} _{2}$ , и $\operatorname {Aut} (\mathrm {A} _{6})=\operatorname {Aut} (\mathrm {S} _{6})=\mathrm {S} _{6}\rtimes \mathrm {C} _{2}.$

Исключительный внешний автоморфизм _S6

Среди симметрических групп только S6 _имеет нетривиальный внешний автоморфизм:которые можно назвать исключительными (по аналогии с исключительными алгебрами Ли ) или экзотическими . Фактически Out(S ₆ ) = C ₂ . ^[2]

Это было обнаружено Отто Гёльдером в 1895 году. ^[2]^[3]

Специфика внешнего автоморфизма состоит в следующем. 360 перестановок в четной подгруппе (A ₆ ) преобразуются между собой:

единственная перестановка идентичности отображается сама на себя;
3-цикл, такой как (1 2 3), отображается в произведение двух 3-циклов, таких как (1 4 5) (2 6 3), и наоборот, что составляет 40 перестановок в каждом направлении;
5-цикл, такой как (1 2 3 4 5), отображается в другой 5-цикл, такой как (1 3 6 5 2), что составляет 144 перестановки;
продукт двух 2-циклов, таких как (1 2) (3 4), отображается в другой продукт двух 2-циклов, такой как (3 5) (4 6), что составляет 45 перестановок;
произведение 2-цикла и 4-цикла, например (1 2 3 4)(5 6), отображается в другую такую перестановку, например (1 4 2 6)(3 5), что составляет 90 оставшихся перестановок.

И нечетная часть также сохраняется:

2-цикл, такой как (1 2), отображается в произведение трех 2-циклов, таких как (1 2) (3 4) (5 6), и наоборот, существует 15 перестановок в каждом направлении;
произведение 2-цикла и 3-цикла, например (1 2 3) (4 5), отображается в 6-цикл, например (1 2 5 3 4 6), и наоборот, что составляет 120 перестановок в каждом направлении;
4-цикл, такой как (1 2 3 4), отображается в другой 4-цикл, такой как (1 6 2 4), что составляет 90 оставшихся перестановок.

Таким образом, учтены все 720 перестановок по 6 элементам. Внешний автоморфизм не сохраняет структуру цикла в целом, отображая некоторые одиночные циклы в произведение двух или трех циклов и наоборот.

Это также дает другой внешний автоморфизм A6 _, и это единственный исключительный внешний автоморфизм конечной простой группы: ^[4] для бесконечных семейств простых групп существуют формулы для числа внешних автоморфизмов, и ожидается, что простая группа порядка 360, рассматриваемая как A ₆ , будет иметь два внешних автоморфизма, а не четыре.Однако, когда A ₆ рассматривается как PSL(2, 9), внешняя группа автоморфизмов имеет ожидаемый порядок. (Для спорадических групп , т. е. тех, которые не входят в бесконечное семейство, понятие исключительного внешнего автоморфизма плохо определено, поскольку не существует общей формулы.)

Строительство

Существуют многочисленные конструкции, перечисленные в ( Януш и Ротман, 1982 ).

Обратите внимание, что как внешний автоморфизм это класс автоморфизмов, хорошо определенных только с точностью до внутреннего автоморфизма, поэтому естественного автоморфизма не существует, который можно было бы записать.

Один из методов:

Построить экзотическое отображение (вложение) S ₅ → S ₆ ; см. ниже
S6 _SX шести сопряженных элементах этой подгруппы, давая отображение S6 _→ , _{действует путем сопряжения на} где X — множество сопряженных элементов. Отождествление X с числами 1, ..., 6 (что зависит от выбора нумерации сопряженных, т. е. с точностью до элемента из S ₆ (внутренний автоморфизм)) дает внешний автоморфизм S ₆ → S ₆ .
Это отображение является внешним автоморфизмом, поскольку транспозиция не отображается в транспозицию, но внутренние автоморфизмы сохраняют структуру цикла.

В дальнейшем можно работать с действием умножения на смежных классах или действием сопряжения на сопряженных.

Чтобы убедиться в том, что S6 _имеет внешний автоморфизм, напомним, что гомоморфизмы из группы G в симметрическую группу Sn _по существу то же самое, что и действиягруппы G на множестве из n элементов, и подгруппа, фиксирующая точку, тогда является подгруппой индекса не более n в G . И наоборот, если у нас есть подгруппа индекса n в G , действие на смежных классах дает транзитивное действие G на n точках и, следовательно, гомоморфизм в _Sn .

Построение из разбиений графа

Прежде чем приступить к более математически строгим построениям, полезно разобраться с простой конструкцией.

Возьмем полный граф с 6 вершинами, K ₆ . Он имеет 15 ребер, которые можно разделить на идеальные паросочетания 15 различными способами, причем каждое идеальное паросочетание представляет собой набор из трех ребер, ни одно из которых не имеет общей вершины. Можно найти набор из 5 идеальных паросочетаний из набора из 15 таких, что никакие два паросочетания не имеют общего ребра и что между ними есть все 5 × 3 = 15 ребер графа; Эту факторизацию графа можно выполнить шестью различными способами.

Рассмотрим перестановку шести вершин и посмотрим, как она повлияет на шесть различных факторизаций. Мы получаем карту от 720 входных перестановок к 720 выходным перестановкам. Это отображение и есть внешний автоморфизм _S6 .

Будучи автоморфизмом, карта должна сохранять порядок элементов, но в отличие от внутренних автоморфизмов она не сохраняет структуру цикла, тем самым указывая, что она должна быть внешним автоморфизмом . Например, 2-цикл отображается в произведение трех 2-циклов; Легко видеть, что 2-цикл каким-то образом влияет на все 6 факторизаций графа и, следовательно, не имеет фиксированных точек, если рассматривать его как перестановку факторизаций. Тот факт, что этот автоморфизм вообще можно построить, зависит от большого числа числовых совпадений, которые применимы только к n = 6 .

Экзотическая карта S ₅ → S ₆

Существует подгруппа (действительно, 6 сопряженных подгрупп) группы S6 _, которая абстрактно изоморфна S5 _, но действует транзитивно как подгруппа группы S6 _на множестве из 6 элементов. (Образ очевидного отображения Sn _→ Sn _{+1 фиксирует} элемент и, следовательно, не является транзитивным.)

Силовские 5-подгруппы

Януш и Ротман строят это следующим образом:

S5 _{действует} транзитивно путем сопряжения на множестве своих 6 силовских 5-подгрупп , давая вложение S5 _→ S6 _как транзитивную подгруппу порядка 120.

Это следует из проверки 5-циклов: каждый 5-цикл порождает группу порядка 5 (таким образом, силовскую подгруппу), существует 5!/5 = 120/5 = 24 5-циклов, что дает 6 подгрупп (поскольку каждая подгруппа также включает единицу), а Sn _{действует} транзитивно сопряжением на множестве циклов данного класса, а значит, транзитивно сопряжением на этих подгруппах.

В качестве альтернативы можно использовать теоремы Силова, которые в общем утверждают, что все силовские p-подгруппы сопряжены.

ПГЛ(2,5)

Проективная линейная группа размерности два над конечным полем с пятью элементами PGL(2, 5) действует на проективной прямой над полем с пятью элементами P ¹( F ₅ ), который имеет шесть элементов. Далее, это действие точное и 3- транзитивное , как всегда имеет место действие проективной линейной группы на проективной прямой. Это дает отображение PGL(2, 5) → S ₆ как транзитивную подгруппу. Отождествление PGL(2, 5) с S ₅ и проективной специальной линейной группы PSL(2, 5) с A ₅ дает искомые экзотические отображения S ₅ → S ₆ и A ₅ → A ₆ . ^[5]

Следуя той же философии, внешний автоморфизм можно реализовать как следующие два неэквивалентных действия S6 _на множестве из шести элементов: ^[6]

обычное действие в виде группы перестановок;
шесть неэквивалентных структур абстрактного 6-элементного набора как проективная прямая P ¹( F ₅ ) – прямая имеет 6 точек, а проективная линейная группа действует 3-транзитивно, поэтому, фиксируя 3 точки, остается 3! = 6 различных способов расставить оставшиеся 3 точки, что даст желаемое альтернативное действие.

Группа Фробениуса

Другой способ:Чтобы построить внешний автоморфизм S6 _, нам нужно построить «необычная» подгруппа индекса 6 в S6 _, другими словами, та, которая не является одной из шести очевидных подгрупп S5 _, фиксирующих точку (которые как раз соответствуют внутренним автоморфизмам S6 ₎ .

Группа Фробениуса аффинных преобразований F отображения ₅ ( $x\mapsto ax+b$ где a ≠ 0) имеет порядок 20 = (5 − 1) · 5 и действует на поле с 5 элементами, следовательно, является подгруппой S ₅ .(Действительно, это нормализатор силовской 5-группы, упомянутой выше, рассматриваемой как группа трансляций 5-го порядка F ₅ .)

S ₅ действует транзитивно на смежном пространстве, которое представляет собой набор из 120/20 = 6 элементов (или путем сопряжения, что дает действие, указанное выше).

Другие конструкции

Эрнст Витт нашел копию Aut(S6 ₎ в группе Матье M12 _{изоморфной} (подгруппе T, S6 _, и элементу σ , который нормализует T и действует посредством внешнего автоморфизма). Подобно тому, как S ₆ действует на набор из 6 элементов двумя разными способами (имея внешний автоморфизм), M ₁₂ действует на набор из 12 элементов двумя разными способами (имеет внешний автоморфизм), хотя, поскольку M ₁₂ сам по себе является исключительным, этот внешний автоморфизм сам по себе не считается исключительным.

Полная группа автоморфизмов A ₆ естественным образом появляется как максимальная подгруппа группы Матье M ₁₂ двумя способами: либо как подгруппа, фиксирующая разделение 12 точек на пару 6-элементных множеств, либо как подгруппа, фиксирующая подмножество из 2 баллов.

Другой способ убедиться в том, что S ₆ имеет нетривиальный внешний автоморфизм, — использовать тот факт, что A ₆ изоморфен PSL ₂ (9), группой автоморфизмов которой является проективная полулинейная группа PΓL ₂ (9), в которой PSL ₂ (9) имеет индекс 4, что дает внешнюю группу автоморфизмов порядка 4. Самый наглядный способ увидеть этот автоморфизм - дать интерпретацию с помощью алгебраической геометрии над конечными полями следующим образом. Рассмотрим действие S6 _на аффинном 6-пространстве над полем k с тремя элементами. Это действие сохраняет несколько вещей: гиперплоскость H, на которой сумма координат равна 0, линию L в H , где все координаты совпадают, и квадратичную форму q, заданную суммой квадратов всех 6 координат. Ограничение q на H имеет дефектную линию L , поэтому существует индуцированная квадратичная форма Q на 4-мерном H / L , которую можно проверить на невырожденность и нерасщепимость. Нулевая схема Q в H / L определяет гладкую квадрику X в ассоциированном проективном 3-пространстве над k . замыканием k Над алгебраическим X является произведением двух проективных прямых, поэтому по аргументу спуска X — ограничение Вейля на k проективной прямой над квадратичной этальной K. алгеброй Поскольку Q не расщепляется над k , вспомогательный аргумент со специальными ортогональными группами над k заставляет K быть полем (а не продуктом двух копий k ). Естественное S6 _- действие на все, что находится в поле зрения, определяет отображение S6 _в k - группу автоморфизмов X , которая является полупрямым произведением G группы PGL ₂ ( K ) = PGL ₂ (9) на инволюцию Галуа. Это отображение нетривиально переносит простую группу A ₆ в (а следовательно, и на) подгруппу PSL ₂ (9) индекса 4 в полупрямом произведении G , поэтому S ₆ идентифицируется как подгруппа индекса 2 группы G (а именно, подгруппа группы G , порожденная PSL ₂ (9) и инволюцией Галуа). Сопряжение любым элементом G вне S6 _{определяет} нетривиальный внешний автоморфизм _S6 .

Структура внешнего автоморфизма

На циклах он меняет перестановки типа (12) на (12)(34)(56) (класс 2 ¹ со 2 классом ³) и типа (123) с (145)(263) (класс 3 ¹ с 3 классом ²). Внешний автоморфизм также меняет местами перестановки типа (12)(345) на (123456) (класс 2 ¹3 ¹ с 6 классом ¹). Для каждого из остальных типов циклов в S6 _{внешний} автоморфизм фиксирует класс перестановок типа цикла.

На A ₆ он меняет местами 3-циклы (типа (123)) с элементами класса 3. ² (например (123)(456)).

Никаких других внешних автоморфизмов

Чтобы увидеть, что ни одна из других симметрических групп не имеет внешних автоморфизмов, проще всего выполнить два шага:

Сначала покажите, что любой автоморфизм, сохраняющий класс сопряженности транспозиций, является внутренним автоморфизмом. (Это также показывает, что внешний автоморфизм S ₆ уникален; см. ниже.) Обратите внимание, что автоморфизм должен переводить каждый класс сопряженности (характеризуемый циклической структурой , которую разделяют его элементы) в (возможно, другой) класс сопряженности.
Во-вторых, покажите, что любой автоморфизм (кроме указанного выше для S6 ₎ стабилизирует класс транспозиций.

Последнее можно показать двумя способами:

Для каждой симметрической группы, отличной от S6 _, не существует другого класса сопряженности, состоящего из элементов порядка 2, который имел бы то же количество элементов, что и класс транспозиций.
Или следующим образом:

Каждая перестановка второго порядка (называемая инволюцией ) представляет собой произведение k > 0 непересекающихся транспозиций, так что она имеет циклическую структуру 2 ^к1 ^{п -2 к}. Что особенного в классе транспозиций ( k = 1)?

Если образовать произведение двух различных транспозиций τ ₁ и τ ₂ , то всегда получится либо 3-цикл, либо перестановка типа 2. ²1 ^{п -4}, поэтому порядок произведенного элемента равен 2 или 3. С другой стороны, если кто-то образует произведение двух различных инволюций σ ₁ , σ ₂ типа k > 1 , то при условии n ≥ 7 всегда можно создайте элемент порядка 6, 7 или 4 следующим образом. Мы можем организовать, чтобы продукт содержал либо

два 2-цикла и 3-цикл (при k = 2 и n ≥ 7)
7-цикл (при k = 3 и n ≥ 7)
два 4-цикла (при k = 4 и n ≥ 8)

При k ≥ 5 присоедините к перестановкам σ ₁ , σ ₂ последнего примера избыточные 2-циклы, которые компенсируют друг друга, и мы все равно получим два 4-цикла.

переводится Теперь мы приходим к противоречию, поскольку если класс транспозиций посредством автоморфизма f в класс инволюций, имеющий k > 1, то существуют две транспозиции τ ₁ , τ ₂ такие, что f ( τ ₁ ) f ( τ ₂ ) имеет порядок 6, 7 или 4, но мы знаем, что τ ₁ τ ₂ имеет порядок 2 или 3.

Никаких других внешних автоморфизмов S ₆

S6 _S6 имеет ровно один (класс) внешних автоморфизмов: Out( ₎ = _C2 .

Чтобы убедиться в этом, заметим, что существует только два класса сопряженности S6 _{размера} 15: транспозиции и классы 2. ³. Каждый элемент Aut(S6 ₎ либо сохраняет каждый из этих классов сопряженности, либо меняет их местами. Любой представитель построенного выше внешнего автоморфизма меняет местами классы сопряженности, а подгруппа индекса 2 стабилизирует транспозиции. Но автоморфизм, который стабилизирует транспозиции, является внутренним, поэтому внутренние автоморфизмы образуют подгруппу индекса 2 группы Aut(S6 ₎ , поэтому Out(S6 ₎ = _C2 .

Более лаконично: автоморфизм, стабилизирующий транспозиции, является внутренним, и существует только два класса сопряженности порядка 15 (транспозиции и тройные транспозиции), следовательно, внешняя группа автоморфизмов не превышает 2 порядка.

Маленький н

Симметричный

При n = 2 S2 ₌ C2 ₌ Z / 2 и группа автоморфизмов тривиальна (очевидно, но более формально, поскольку Aut( Z /2) = GL(1, Z /2) = Z /2 ^* = С ₁ ). Таким образом, группа внутренних автоморфизмов также тривиальна (также потому, что S2 _{абелева} ).

Чередование

Для n = 1 и 2 A ₁ = A ₂ = C ₁ тривиально, поэтому группа автоморфизмов также тривиальна. При n = 3 A ₃ = C ₃ = Z /3 абелева (и циклическая): группа автоморфизмов — это GL(1, Z /3 ^*) = C ₂ , а внутренняя группа автоморфизмов тривиальна (поскольку она абелева).

Примечания

^ Януш и Ротман 1982 .
^ Jump up to: ^а ^б Лам, Тай , и Лип, Д.Б. (1993). «Комбинаторная структура на группе автоморфизмов S6 _» . Expositiones Mathematicae , 11 (4), 289–308.
^ Отто Гёльдер (1895), «Формирование составных групп», Mathematical Annals , 46, 321–422.
^ Конвей, Дж. Х. ; Кертис, RT; Нортон, СП ; Паркер, РА ; Уилсон, Р.А. (2003), АТЛАС конечных групп , Oxford University Press, стр. xvi, ISBN 978-0-19-853199-9
^ Карнахан, Скотт (27 октября 2007 г.), «Малые конечные множества» , Секретный семинар по ведению блогов , заметки к выступлению Жан-Пьера Серра . {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
^ Снайдер, Ной (28 октября 2007 г.), «Внешний автоморфизм S ₆ » , секретный семинар по ведению блогов.

Ссылки

https://web.archive.org/web/20071227060045/http://polyomino.f2s.com/david/haskell/outers6.html
Некоторые мысли о числе 6 Джона Баэза: связывает внешний автоморфизм с правильным икосаэдром.
«12 точек в PG (3, 5) с 95040 самопреобразованиями» в «Красоте геометрии» Коксетера: внешний автоморфизм обсуждается на первых двух страницах.
Януш, Джеральд; Ротман, Джозеф (июнь – июль 1982 г.), «Внешние автоморфизмы S ₆ », The American Mathematical Monthly , 89 (6): 407–410, doi : 10.2307/2321657 , JSTOR 2321657
Фурнель, Томас А. (1 января 1993 г.), «Симметрии куба и внешние автоморфизмы S ₆ », The American Mathematical Monthly , 100 (4): 377–380, doi : 10.2307/2324961 , JSTOR 2324961
Лоример, П.Дж. (1 января 1966 г.), «Внешние автоморфизмы S ₆ », The American Mathematical Monthly , 73 (6): 642–643, doi : 10.2307/2314806 , JSTOR 2314806
Миллер, Дональд В. (1 января 1958 г.), «К теореме Гёльдера», The American Mathematical Monthly , 65 (4): 252–254, doi : 10.2307/2310241 , JSTOR 2310241

[FOOTNOTEJanuszRotman1982-1] Януш и Ротман 1982 .

[auto-2] Jump up to: ^а ^б Лам, Тай , и Лип, Д.Б. (1993). «Комбинаторная структура на группе автоморфизмов S6 _» . Expositiones Mathematicae , 11 (4), 289–308.

[3] Отто Гёльдер (1895), «Формирование составных групп», Mathematical Annals , 46, 321–422.

[4] Конвей, Дж. Х. ; Кертис, RT; Нортон, СП ; Паркер, РА ; Уилсон, Р.А. (2003), АТЛАС конечных групп , Oxford University Press, стр. xvi, ISBN 978-0-19-853199-9

[5] Карнахан, Скотт (27 октября 2007 г.), «Малые конечные множества» , Секретный семинар по ведению блогов , заметки к выступлению Жан-Пьера Серра . {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

[6] Снайдер, Ной (28 октября 2007 г.), «Внешний автоморфизм S ₆ » , секретный семинар по ведению блогов.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]