Jump to content

Идеальное соответствие

В теории графов идеальное паросочетание в графе — это паросочетание , охватывающее каждую вершину графа. Более формально, для данного графа G = ( V , E ) идеальным паросочетанием в G является подмножество M множества ребер E такое, что каждая вершина в множестве вершин V смежна ровно с одним ребром в M. ,

Идеальное совпадение также называется 1-факторным ; см . в разделе «Факторизация графа» объяснение этого термина термин полное совпадение . В некоторой литературе используется .

Каждое совершенное паросочетание является паросочетанием максимальной мощности , но обратное неверно. Например, рассмотрим следующие графики: [1]

В графе (b) имеется идеальное паросочетание (размера 3), поскольку все 6 вершин совпадают; в графах (a) и (c) существует паросочетание максимальной мощности (размера 2), которое не является идеальным, поскольку некоторые вершины не совпадают.

Идеально сочетается также боковая крышка минимального размера . Если существует идеальное паросочетание, то и число совпадений, и число реберного покрытия равны | В | / 2 .

Идеальное совпадение может произойти только в том случае, если граф имеет четное число вершин. Почти идеальное совпадение — это совпадение, при котором ровно одна вершина не совпадает. Это может произойти только в том случае, если граф имеет нечетное число вершин, и такое совпадение должно быть максимальным. На рисунке выше часть (c) показывает почти идеальное совпадение. Если для каждой вершины графа существует почти идеальное паросочетание, в котором отсутствует только эта вершина, граф также называется факторно-критическим .

Характеристики

[ редактировать ]

Теорема Холла о браке дает характеристику двудольных графов, имеющих идеальное паросочетание.

Теорема Тутте дает характеристику произвольным графам.

Идеальное паросочетание — это охватывающий 1-регулярный подграф, также известный как 1-фактор . В общем случае, остовный k -регулярный подграф представляет собой k -фактор .

Спектральная характеристика графа, имеющего идеальное паросочетание, дается Хассани Монфаредом и Малликом следующим образом: Пусть быть графиком на четном вершины и быть различные ненулевые чисто мнимые числа . Затем имеет идеальное паросочетание тогда и только тогда, когда существует действительная кососимметричная матрица с графиком и собственные значения . [2] Обратите внимание, что (простой) график вещественной симметричной или кососимметричной матрицы порядка имеет вершины и ребра, заданные ненулевыми недиагональными элементами .

Вычисление

[ редактировать ]

Решение о том, допускает ли граф идеальное паросочетание, может быть выполнено за полиномиальное время с использованием любого алгоритма поиска паросочетания максимальной мощности .

Однако подсчет количества идеальных паросочетаний, даже в двудольных графах , является #P-полным . Это связано с тем, что вычисление перманента произвольной матрицы 0–1 (еще одна #P-полная проблема) аналогично вычислению количества идеальных паросочетаний в двудольном графе, имеющем данную матрицу в качестве матрицы двусмежности .

Замечательная теорема Кастелейна утверждает, что количество идеальных паросочетаний в плоском графе можно вычислить точно за полиномиальное время с помощью алгоритма FKT .

Количество идеальных паросочетаний в полном графе K n четным n ) определяется двойным факториалом : [3]

Подключение к раскраске графа

[ редактировать ]

Граф с раскрашенными ребрами может вызвать количество (не обязательно правильных) раскрасок вершин, равное количеству идеальных паросочетаний, поскольку каждая вершина покрывается ровно один раз в каждом паросочетании. Это свойство было исследовано в квантовой физике. [4] и теория сложности вычислений . [5]

Идеально совпадающий многогранник

[ редактировать ]

Многогранник совершенного соответствия графа — это многогранник в R |Е| в котором каждый угол представляет собой вектор инцидентности идеального паросочетания.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Алан Гиббонс, Алгоритмическая теория графов, издательство Кембриджского университета, 1985, Глава 5.
  2. ^ Кейван Хассани Монфаред и Судипта Маллик, Теорема 3.6, Спектральная характеристика паросочетаний в графах, Линейная алгебра и ее приложения 496 (2016) 407–419, https://doi.org/10.1016/j.laa.2016.02.004
  3. ^ Каллан, Дэвид (2009), Комбинаторный обзор тождеств для двойного факториала , arXiv : 0906.1317 , Bibcode : 2009arXiv0906.1317C .
  4. ^ Марио Кренн, Сюэмей Гу, Антон Цайлингер , Квантовые эксперименты и графики: многосторонние состояния как когерентные суперпозиции идеальных совпадений , Phys. Преподобный Летт. 119, 240403 – опубликовано 15 декабря 2017 г.
  5. ^ Моше Ю. Варди , Живэй Чжан, Решение квантовых задач идеального соответствия с помощью гибридных логических ограничений на основе теоремы Тутте , arXiv:2301.09833 [cs.AI], IJCAI'23
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: c84ac4fcbbba95071dd08f03b8d4d0a3__1687165500
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/c8/a3/c84ac4fcbbba95071dd08f03b8d4d0a3.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Perfect matching - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)